1、第二章 有理数 知识点全归纳按正负分按定义分整数分数正有理数0负有理数有理数的有关概念比较有理数的大小乘除及乘方混合运算有理数用计算器进行有理数的简单运算有理数的混合运算加减混合运算运算交换律: a+b=b+a结合律: (a+b)+c=a+(b+c)分配律近似数科学记数法:无理数：无限不循环小数；第1讲 有理数的意义知能解读 (一)正数和负数的意义(1)像，l，8，这样大于0的数(“”通常省略不写)叫作正数(2)像，这样在正数前面加上“”(读负号)的数叫作负数，负数小于0注意：(1)0既不是正数也不是负数，它是一个整数，它表示正数和负数的分界(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为带“”的数
2、是正数，带“”的数是负数如是0，也是0；当时，就是正数(二)具有相反意义的量正数和负数是根据实际需要而产生的，比如一些具有相反意义的量：收入200元与支出200元，上升7米与下降3米，零上2与零下7等虽然它们都表示一定的数量，却意义相反，那么我们如何去表示它们呢?我们把一种意义的量规定为正的(如收入200元规定为元)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(如支出200元规定为元)，于是就产生了正数和负数注意：(1)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义的量规定为正，是可以任意选定的(如将上升2米规定为米或米都可以)，一旦选定一种意义的量为正，则另一种意义相反的量就只能为负(2)具有相反意义
3、的量的特点：具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为具有相反意义的量；与一个量意义相反的量不止一个；具有相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量；具有相反意义的量必须是同类量，如节约3吨油与浪费1吨水不是具有相反意义的量(三)有理数的分类1有理数的定义:凡能写成形式的数，都是有理数;正整数、0、负整数统称整数正分数和负分数统称分数整数和分数统称有理数2有理数的分类：(1)按定义分类：自然数有理数整数 分数 （有限小数或无限循环小数也是分数）(2)按正负分类：有理数注意：(1)在对有理数进行分类时，要做到不重不漏(2)在分类时，注意0的地位和意义(3)正整数，0统
4、称非负整数(也叫自然数)；负整数，0统称非正整数(四)无理数：无限不循环小数角无理数； 注：无理数的常见形式：（1）无限不循环小数形式：-2.010010001 （2）含的形式： （3）含有根号的：（初二上学期学）(五)数轴规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫数轴；它满足以下要求：(1)在直线上任取个点表示数0，这个0点叫作原点；(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示l，2，3，；从原点向左，用类似方法依次表示，(如图所示)点拨：(1)利用数轴，我们可以表示任意一个有理
5、数，还可以表示任意一个无理数(2)数轴是研究数学的重要工具，也是“数形结合”的重要体现(3)数轴的定义包含三层含义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；数轴有三要素：原点、单位长度、正方向；原点的位置、单位长度、正方向都是根据实际需要规定的(六)绝对值一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即点拨：因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即(七)相反数只有符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数其中一个数是另一个数的相反数；特别地，0的相反数是0(1)在数轴上，互
6、为相反数的两个数对应的点与原点的距离相等(几何意义)且在原点两侧；(2)数的相反数是若，互为相反数，则(或，或)(八)有理数大小比较的常用方法(1)数轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大(2)代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小(3)差值比较法：设，是两个任意数，若，则；若，则；若，则；(4)商值比较法：设，是两个正数，若，则；若，则；若，则（初中基本不用，高中用）此外，还有倒数比较法、中间值比较法、平方比较法、换元比较法等（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
7、(九)绝对值的非负性(拓展点)(1)正数和零统称非负数，绝对值的意义揭示了绝对值的一个重要性质：非负性，即对于任何有理数，都有如，故绝对值最小的数是0(2)非负数的重要性质：非负数有最小值，是0；若几个非负数之和等于0，每个非负数都等于0，即若，则，；有限个非负数之和仍是非负数等于本身的数汇总：相反数等于本身的数：0倒数等于本身的数：1，-1绝对值等于本身的数：正数和0平方等于本身的数：0,1立方等于本身的数：0,1，-1.(十)正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；方法技巧归纳方法技巧 (一)有理数的识别方法识别有理数的依据是有理数的定义及分类标准(二)求相反数的方
8、法与多层性质符号的化简方法(1)求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“”即可若求一个代数式(含和、差形式)的相反数，则把这个代数式作为一个整体用括号括起来，再在前面加一个“”，如的相反数是，即(2)含多层性质符号的式子，其化简结果的符号只与“”的个数有关，正号直接省略；若“”有偶数个，则结果为正；若“”有奇数个，则结果为负(三)绝对值的求法求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值号，顺序为“先判后去”，即先判断绝对值号内的数(或式)的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值号(四)绝对值非负性的应用我们知道，对于任意有理数，有若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0(五)数轴上两点间的距离数轴
9、上两点间的距离等于表示该两点的数的差的绝对值如：数轴上表示数a和b的两个点之间的距离为：第2讲 有理数的运算知能解读 (一)有理数的加法(1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数(2)加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即点拨：（1）有理数的加法运算可概括为：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑；相反数相加“零”正好（
10、2）多个有理数相加的运算技巧：看看有没有互为相反数的数，有就放在一起加；和为整数的放一起加；同分母的放一起加；同符号的放一起加；有小数和分数的最好统一成一种形式；(二)有理数的减法有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算可表示为点拨：有理数相减，符号有两变，先把减变加，减数变相反，统一成加后，再把结果算(三)有理数的乘法(1)有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0(2)有理数乘法法则的推广：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数几个数相乘，有一
11、个因数为0，积就为0几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘(3)乘法运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即；分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即说明：(1)多个有理数相乘，负号当家起作用，奇负偶正规律定，一数为0积为0(2)由有理数乘法法则得出以下结论：如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负；如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负；如果两个数的积为0，那么这两个数中至少有一个是0(四)有理数的除法(1)倒数：乘积是l的两个数互为倒
12、数巧记为“分子分母颠倒位置”，如的倒数为一般地，即若是不等于0的有理数，则的倒数为(2)有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，也可表示为两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0注意：(1)0不能作除数(2)巧记“除法化乘法，倒数是关键”(3)求倒数的方法：求一个整数(不为0)的倒数，只要写成这个整数分之一即可；求一个真分数的倒数，只要把分数的分子和分母颠倒位置即可；求一个带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再求它的倒数；求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，再求它的倒数(五)有理数的乘方(1)乘方的概念：求个相同因数的积的运算，叫
13、作乘方，乘方的结果叫作幂在中，叫作底数，叫作指数一个数可以看作这个数本身的1次方(2)乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0注意：(1)一个数可以看作这个数本身的1次方，指数l通常省略不写；(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数；(3)0的0次幂无意义(2) 注意以下幂的书写和意义的不同： ，它的底数是-2，指数是2；读作：-2的平方；而，它的底数是2，指数是2；读作：2平方的相反数；底数是分数的书写时一定要加括号；否则意思也不一样； 如：，它的底数为，指数为2；读作：的平方； 而，底数为2，指
14、数为2；读作：2平方除以3；(六)有理数的混合运算顺序运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号、大括号依次进行注意：(1)运算过程中，带分数一般化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤；另外有些运算可同时进行，也可简化解题步骤(2)在进行混合运算时，除遵守以上原则外，还需注意灵活使用运算律，使运算准确而快捷(七)科学记数法(1)把一个绝对值大于10的数表示成的形式(其中，是正整数)，使用的是科学记数法注意：中只有一位整数，等于原数的整数位数减1(2)把一个绝对值小于1的非零数表示成的形式，
15、其中，是一个负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字左面所有的0的个数(包括小数点左面的那个0)(八)近似数近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫作这个数的近似数，也叫近似值精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位注意：(1)一个数要精确到哪一位，只要将它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数时不能连续从未位向前四舍五入(2)一个近似数的末尾的0不可省略，省略后原数的精确度会改变方法技巧归纳方法技巧 (一)有理数加法运算的解题技巧(1)在进行有理数加法运算时，首先要弄清两个加数的情况，其次按照“一定，二求，三和差”的步骤完成
16、解题任务“一定”即先确定和的符号；“二求”即求加数的绝对值；“三和差”即分析确定绝对值是相加还是相减(2)在运算中可灵活运用运算律，使运算简化(二)有理数减法运算的解题规律有理数的减法，不像算术里那样直接减，而是把它转化为加法，借助加法进行计算关键是准确理解减法法则，注意“两变”和“一不变”“两变”即改变运算符号(减加)和改变减数的性质符号(变为相反数)；“一不变”即被减数和减数的位置不能交换(三)有理数加减混合运算的规律技巧有理数的加减混合运算的方法：(1)运用有理数减法法则，将有理数加减混合运算中的减法运算统一为加法运算，然后省略加号和括号；(2)运用运算律，使运算简便(四)正确进行有理数
17、的乘法运算，灵活运用运算律(1)有理数乘法运算步骤为：第一步，确定符号；第二步，因数的绝对值相乘(2)有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”专对“两数相乘”而言(五)正确进行有理数的除法运算在有理数的除法中，一般能整除的，在确定符号后可直接整除；在不能整除的情况下，特别是当除数是分数时，往往把除法转化为乘法较方便在乘除混合运算中，注意运算顺序，从左向右依次运算(六)有理数乘方运算的解题方法(1)乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果有理数乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先确定幂的符号，然后再计算绝对值(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角
18、写上指数，指数要写得小一些，例如不能写为(七)有理数混合运算的方法与技巧(1)把握好运算顺序是关键有理数运算分三级运算，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方与开方(后面讲)是第三级运算运算顺序：先算高级运算，后算低级运算；若是同级运算，从左向右依次计算；若有括号，就先算括号里面的(2)牢记五种运算的运算法则、运算技巧及运算律，以简化计算，从而提高解题的速度和准确率(八)用科学记数法表示数的方法把绝对值大于10的数表示成的形式时，是正整数且等于原数的整数位数减1(九)巧用“拆项法”解决有理数的混合运算问题在有理数的运算中常把带分数拆分成整数部分和小数部分和的形式，或把拆成(其中)的形式这样就可把复杂的有理数运算转化为简单的计算
