1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 3 从速度的倍数到数乘向量从速度的倍数到数乘向量 31 数乘向量数乘向量 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1掌握数乘向量的运算及其几何意义 2 理解两个向量共线的含义， 掌握向量共线的判定定理和性质 定理 3了解向量线性运算的性质及其几何意义 【核心扫描】 1向量的线性运算及向量共线的判定和性质定理(重点) 2数乘向量分配律所表达的几何意义(难点) 3线性运算中的数形结合思想(方法) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 1数乘向量 (1)定义：实数 与向量 a 的积是一个 ，记作 (
2、2)长度：|a| |a| . (3)方向：|a|的方向 当0时，与a的方向相同； 当0时，与a的方向相反. 向量 a. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2a 的几何意义将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩，当| 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(0)或反方向(0) 上伸长为原来的|倍；当|1 时，表示向量 a 的有向线段在原 方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的|倍 3数乘向量的运算律 (1)(a)( )a；(，R) (2)()a ；(，R) (3)(ab) .(R) aa ab 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 4向量共线的判定定理和性质定理
3、(1)判定定理：a 是一个 向量，若存在一个实数 ，使 得 ，则向量 b 与非零向量 a 共线 (2)性质定理：若向量 b 与 a 共线，则存在一个实数 ，使得 . 5向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算， 对于任意向量 a、b，以及任意实数 、1、2，恒有 (1a 2b) . 非零 ba 非零向量 ba 加 减 数乘 1a2b 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 三点共线 (1)三点共线的判定： 对于平面内任意三点 A， B， C， 若存在一个实数 ， 使得AB AC (或AB BC 或AC BC )，则根据共线向量基本定理，可知AB ， AC
4、共线(或AB ，BC 共线或AC ，BC 共线)，又由于它们具有公共 点 A(或 B 或 C)，则可知 A，B，C 三点共线除此之外我们又 有： 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 对于平面内任意三点 A，B，C，O 为不同于 A，B，C 的任意一 点，设OC OA OB ，若实数 ， 满足 1，则三点 A， B，C 共线 事实上，由 1 可得 1，代入OC OA OB 中可 得OC (1)OA OB ，即OC OA (OB OA )，也即AC AB ，从而 A，B，C 三点共线 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)三点共线的性质： 根据向量共线的性质定理
5、及三点共线的判定可得：若平面内三 点 A，B，C 共线，O 为不同于 A，B，C 的任意一点，若OC OA OB ，则 1.事实上，若 A，B，C 三点共线，则一 定存在实数 m，使得AC mAB ，即OC OA m(OB OA )，从 而OC (1m)OA mOB ，令 1m，m，则 (1 m)m1. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型一 向量的线性运算 【例 1】 计算：(1)6(3a2b)9(2ab)； (2)1 2 3a2b2 3ab 7 6 1 2a 3 7 b7 6a ； (3)6(abc)4(a2bc)2(2ac) 思路探索 向量的线性运算类似于代数多项式的
6、运算，主要是 “合并同类项”，“提取公因式”，这里的“同类项”，“公 因式”指向量，实数看作是向量的系数向量也可以通过列方 程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的思想方法 求解 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 (1)原式18a12b18a9b3b. (2)原式1 2 3a2 3a2bb 7 6 1 2a 1 2a 3 7b 1 2 7 3ab 7 6 a3 7b 7 6a 1 2b 7 6a 1 2b0. (3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c) 6a2b. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律
7、方法 (1)向量的线性运算 类比 合并同类项、去括号、提取公因式等 代数多项式的运算； (2)数乘向量的运算律 ,实数的运算律； (3)向量的线性运算的结果还是一个向量 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 已知 ae12e2，b3e12e2，求 ab，ab 与 3a2b. 解 abe12e23e12e24e1. abe12e23e12e22e14e2. 3a2b3(e12e2)2(3e12e2) 3e16e26e14e210e23e1. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 向量的线性表示 【例 2】 如图，ABCD 的两条对角线 相交于点
8、M，且AB a，AD b，你能用 a、b 表示MA 、MB 、MC 和MD 吗？ 思路探索 本例的解答要用到平行四边形的性质与平行四边 形法则 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 在ABCD 中， AC AB AD ab，DB AB AD ab. 又平行四边形的两条对角线互相平分， MA 1 2AC 1 2(ab) 1 2a 1 2b MB 1 2DB 1 2(ab) 1 2a 1 2b， MC 1 2AC 1 2a 1 2b， MD MB 1 2DB 1 2a 1 2b. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 结合向量加法和减法的平行四边形法则和三
9、角形法 则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关 键 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 2】 已知ABC 的重心为 G，O 为坐标原点，OA a， OB b，OC c，求证：OG 1 3(abc) 解 如图连接 AG 并延长，设 AG 交 BC 于 M. AB ba，AC ca，BC cb， AM AB 1 2BC (ba)1 2(cb) 1 2(cb2a) AG 2 3AM 1 3(cb2a) OG OA AG a1 3(cb2a) 1 3(abc) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 向量共线的判定及应用 【例 3】 (12
10、分)已知两个非零向量 a、 b 不共线， OA ab， OB a2b，OC a3b. (1)证明：A、B、C 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 与 akb 共线 审题指导 (1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指 定的向量来表示，向量共线的应用是存在实数 使两向量互相 表示 (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表 示，进而互相表示，从而判断共线 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【解题流程】 规范解答 (1)由于OA ab， OB a2b， OC a3b， 则AB OB OA a2b(ab)b， 而AC OC OA a3b(ab)2b，
11、 于是AC 2AB ，即AC 与AB 共线 (6 分) 又 AC 与 AB 有公共点 A，所以 A、B、C 三点共线 (8 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)由于 a、b 为非零向量且不共线，所以 akb0， 若 kab 与 akb 共线，则必存在唯一实数 ， 使 kab(akb)，整理得(k)a(k1)b， 因此 k0， k10， 解得 k1， 1， 或 k1， 1， (10 分) 即存在实数 1，使 kab 与 akb 共线，此时 k1，或存在 实数 1， 使 kab 与 akb 共线， 此时 k1， 因此 k 1 都满足题意 (12 分) 课前探究学习课前探
12、究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【题后反思】 (1)利用向量法证明三点共线，其依据为向量共 线的判定和性质定理，如利用AB BC ，便可说明 A、B、C 三 点共线 (2)已知向量共线，探寻相应的参数值的题目，求解时，立足于 向量共线的性质定理，建立有关参变量的方程(组)，用方程(组) 的观点求解 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 3】 已知非零向量 e1，e2不共线 如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)， 求证：A、B、D 三点共线. 证明 AB e1e2， BD BC CD 2e18e23e13e25(e1 e2)5AB . AB ，BD
13、 共线，且有公共点 B，A、B、D 三点共线 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 方法技巧 线性运算中的数形结合思想 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种思想方法数形结合思想通 过“以形助数，以数释形”使复杂的问题简单化，抽象问题具 体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本 质，它是数学的规律性表现 本节中的数形结合主要体现在：(1)让向量的分解更加直观；(2) 让向量的计算有形可依 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【示例】 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是 线段
14、OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若AC 等于 a， BD b，则AF ( ) A.1 4a 1 2b B. 2 3a 1 3b C.1 2a 1 4a D. 1 3a 2 3b 思路分析 根据题意画出满足条件的图形，边结合图形边运用 三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算，注意转 化的目标方向 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解析 如图，E 是 OD 的中点， OE 1 4BD 1 4b. 又ABEFDE， AE EF BE DE 3 1. AE 3EF ，AE 3 4AF . 在AOE 中，AE AO OE 1 2a 1 4b. AF 4 3AE 2 3a 1 3b. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 答案 B 方法点评 在一些综合性题中，因为向量的数与形的双重属性， 所以在有关向量的相关运算中， 我们一定要结合它的几何运算， 利用数形结合进行解题
