1、 第一章 解三角形 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 明目标、知重点 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题. 填要点记疑点 填要点记疑点 (1) a sin A b sin B c sin C . 1.正弦定理及其变形 2R (2)a ，b ，c . 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 填要点记疑点 2.余弦定理及其推论 (1)a2 ，b2 ， c2 . b2c22bc
2、cos A c2a22cacos B a2b22abcos C (2)cos A ； cos B ； cos C . b2c2a2 2bc c2a2b2 2ca a2b2c2 2ab (3)在ABC中，c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 . 直角 钝角 锐角 填要点记疑点 3.三角变换公式 (1)cos() ； (2)cos() ； (3)cos 2 . cos cos sin sin cos cos sin sin cos2sin2 2cos21 12sin2 探要点究所然 探要点究所然 探究点一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形 思考1 已知三角形的两边及其中
3、一边的对角，解三角形 的一般思路是什么？ 答 先利用正弦定理求出另一边所对的角，然后利用三角 形内角和定理求出第三个角，最后再由正弦定理求出第三 个边. 探要点究所然 思考2 对于思考1中的这一类问题能否直接利用余弦定理 来解三角形？ 答 设三角形的第三边为x，通过余弦定理得到三边及已 知角的余弦值之间的关系式，利用方程的思想，通过解方 程即可得到x的值. 探要点究所然 例1 已知ABC中，a8，b7，B60，求c. 解 由余弦定理b2a2c22accos B， 得7282c228ccos 60， 整理得c28c150，解得c3或c5. 探要点究所然 反思与感悟 在三角形的6个元素中要已知三个
4、(至少有一 边)才能求解，已知一边和两角用正弦定理解，已知三边 用余弦定理解，已知两边和夹角及已知两边和其中一边 的对角解三角形时，正、余弦定理可能都要用到. 探要点究所然 跟踪训练 1 在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、c，若 A 3，a 3，b1，则 c 等于( ) A.1 B.2 C. 31 D. 3 解析 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc ， 1 2 1c23 21c ，c22c，c2 或 c1(舍). B 探要点究所然 探究点二 利用正、余弦定理判断三角形形状 例2 在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A 2sin Bcos
5、 C，试判断ABC的形状. 解 由(abc)(bca)3bc， 得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc， cos Ab 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2， 探要点究所然 0A，A 3. 又sin A2sin Bcos C. 由正、余弦定理得 a2b a2b2c2 2ab a 2b2c2 a ， b2c2，bc， ABC为等边三角形. 探要点究所然 反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过一 个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系 转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转 化为边的关系来判断. 探要点究所然 跟踪训练2 在ABC中，若B60，2bac，试判
6、断 ABC的形状. 解 方法一 根据余弦定理得b2a2c22accos B. B60，2bac， ac 2 2a2c22accos 60 ， 整理得(ac)20，ac. 探要点究所然 又2bac，2b2c，即bc. ABC是等边三角形. 方法二 根据正弦定理， 2bac可转化为2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120.C120A， 2sin 60sin Asin(120A)， 整理得sin(A30)1，A60，C60. ABC是等边三角形. 当堂测查疑缺 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于( ) A.60 B.45或135 C.120 D
7、.30 解析 b2a2c22accos Ba2c2ac， cos B1 2，0 B180 ，B120 . C 当堂测查疑缺 1 2 3 4 2.在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定 是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 2cos Bsin Asin C， 2a 2c2b2 2ac ac， ab.故ABC为等腰三角形. C 当堂测查疑缺 1 2 3 4 3.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2c2b2 3ac，则角 B 的值为 . 解析 a2c2b2 3ac， cos Ba 2c2b2 2ac
8、 3ac 2ac 3 2 ， 0B，B 6. 6 当堂测查疑缺 1 2 3 4 4.在ABC 中，若B30 ，AB2 3，AC2，则满足 条件的三角形有几个？ 解 设BCa，ACb，ABc， 由余弦定理，得b2a2c22accos B， 22a2(2 3)22a2 3cos 30 ， 即a26a80，解得a2或a4. 当堂测查疑缺 1 2 3 4 当 a2 时，三边为 2,2,2 3可组成三角形； 当 a4 时，三边为 4,2,2 3也可组成三角形. 满足条件的三角形有两个. 当堂测查疑缺 呈重点、现规律 1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用 正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意 进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方 程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 当堂测查疑缺 3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的 观点，可以知三求一. 4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是 余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次 方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所 应满足的基本条件.
