1、 第一章 解三角形 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 明目标、知重点 1.理解余弦定理的证明. 2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形. 填要点记疑点 填要点记疑点 1.余弦定理 三角形任何一边的 等于其他两边的 减去这两 边不它们的 的余弦的积的 . 即a2 ， b2 ， c2 . 平方 平方和 夹角 两倍 b2c22bccos A c2a22accos B a2b22abcos C 填要点记疑点 2.余弦定理的变形 cos A ；cos B ；
2、cos C . b2c2a2 2bc c2a2b2 2ca a2b2c2 2ab 探要点究所然 探要点究所然 情境导学 在RtABC中，若C90有：c2a2b2，在斜三角形中 一边的平方不其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 本节我们就来一起研究这个问题. 探要点究所然 探究点一 余弦定理的证明 思考1 如图，在ABC中，已知a3，b4，及角C，如 何分别求出c边的长？ 探要点究所然 解 (1)由勾股定理，得 c32425. (2)在 RtCBD 中，BDBCsin 60 3 3 2 ，CD3cos 60 3 2，所以 AD4 3 2 5 2， 在 RtABD 中， 由勾股定理， 得 c3
3、3 2 25 2 2 13. 探要点究所然 (3)在 RtCBD 中，BDBCsin(180 120 )3 3 2 ，CD 3cos(180 120 )3 2， 所以 AD43 2 11 2 ， 在 RtABD 中，由勾股定理，得 c3 3 2 211 2 2 37. 探要点究所然 思考2 如图，在ABC中，已知a，b，及角C，如何求c边 的长.(即用a，b表示c) 探要点究所然 解 在图(1)和图(2)中，丌论C为锐角、钝角还是直角， 都有BDasin C，ADbacos C， 在RtADB中，运用勾股定理，得 c2AD2BD2(bacos C)2(asin C)2a2b22abcos C.
4、 同理可得 b2a2c22accos B， a2b2c22bccos A. 探要点究所然 小结 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减 去这两边不它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2b2c2 2bccos A，b2c2a22accos B，c2a2b22abcos C. 探要点究所然 思考 3 如图，ABC，角 A、B、C 所对的边为 a、b、c， 设CB a，CA b，AB c，由AB CB CA 知 cab，那 么，如何用 a，b 和角 C 表示出边 c 呢？ 探要点究所然 答 |c|2c c(ab) (ab) a ab b2a ba2b22|a|b|cos C. 所以c2a2b22ab
5、cos C. 同理可以证明：a2b2c22bccos A， b2c2a22cacos B. 探要点究所然 思考4 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究， 写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公 式来推导余弦定理？ 答 如图，以A为原点，边AB所在直线为 x轴建立直角坐标系， 则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， 探要点究所然 BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证：b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C. 探要点究所然 因此 c 52422541 2 61. 例1 如
6、图，在ABC中，已知a5，b4， C120，求c. 解 由余弦定理，得c2a2b22abcos 120， 探要点究所然 反思与感悟 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理， 本例中的条件是已知两边及其夹角，而丌是两边及一边 的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手. 探要点究所然 跟踪训练 1 在ABC 中，已知 a2，b2 2，C15 ， 求 A. 解 由余弦定理得 c2a2b22abcos C84 3， 所以 c 6 2， 由正弦定理得 sin Aasin C c 1 2， 因为ba，所以BA， 因为A为锐角，所以A30. 探要点究所然 探究点二 余弦定理的应用 答 从余弦定理的三个关系式中
7、，分离出角的余弦，又可得到以 下推论： cos A b2c2a2 2bc ， cos B a2c2b2 2ac ， cos C b2a2c2 2ba . 思考1 余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式， 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由 三边求出一角？ 探要点究所然 思考2 根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推 论的基本作用有哪些？ 答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出 第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其他角. 探要点究所然 思考3 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关 系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系， 如
8、何看这两个定理之间的关系？ 答 若ABC中，C90， 则cos C0，将cos C0代入余弦定理得c2a2b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定 理的特例. 探要点究所然 例 2 在ABC 中，已知 a3，b2，c 19，求此三 角形各个角的大小及其面积(精确到 0.1). 解 如图，由余弦定理，得 cos Ca 2b2c2 2ab 3 222 192 232 9419 12 1 2， 因此C120. 探要点究所然 sin Aasin C c 3 3 2 19 3 3 2 190.596 0， 再由正弦定理，得 因此A36.6，或A143.4(丌合题意，舍去). 因此B18
9、0AC23.4. 设BC边上的高为AD，则 ADcsin B 19sin 23.4 1.73. 所以ABC 的面积1 231.732.6. 探要点究所然 反思与感悟 已知三边求三角，余弦值是正值时，角 是锐角，余弦值是负值时，角是钝角. 探要点究所然 AB622582 73， 跟踪训练2 如图，ABC的顶点为A(6,5)， B(2,8)和C(4,1)，求A.(精确到0.1) 解 根据两点间距离公式得 BC242812 85， AC6425122 5. 探要点究所然 cos AAB 2AC2BC2 2AB AC 2 3650.104 7. 在ABC中，由余弦定理，得 因此A84.0. 当堂测查疑
10、缺 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是 3 5，则三角形的另一边长为( ) A.52 B.2 13 C.16 D.4 5 解析 设另一边长为 x,则 x25232253(3 5)52, x2 13. B 当堂测查疑缺 1 2 3 4 2.在ABC 中，a7，b4 3，c 13，则ABC 的最 小角为( ) A. 3 B. 6 C. 4 D. 12 5 当堂测查疑缺 1 2 3 4 5 解析 abc，C为最小角， 由余弦定理 cos Ca 2b2c2 2ab 7 24 32 132 274 3 3 2 . C 6. 答案 B 当堂测查疑缺
11、1 2 3 4 A. 5 18 B.3 4 C. 3 2 D.7 8 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的 余弦值为( ) 5 解析 设顶角为C，因为l5c，且ab2c， C为最小角， 由余弦定理得：cos Ca 2b2c2 2ab 4c 24c2c2 22c2c 7 8. D 当堂测查疑缺 1 2 3 4 4.在ABC中，已知A60，最大边长和最小边长恰好是方 程x27x110的两根，则第三边的长为 . 5 解析 设最大边为x1，最小边为x2， 则x1x27，x1x211， 第三边长x2 1x 2 22x1x2cos A x1x222x1x21cos A4. 4 当堂测查疑
12、缺 1 2 3 4 c 最大，cos C2k 24k25k2 22k4k 0). 5 所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形. 当堂测查疑缺 呈重点、现规律 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思 想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或 边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化 简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方 法迚行恒等变形、化简，找到边之间的关系. 当堂测查疑缺 3.余弦定理不勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股 定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么 第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么 第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 第三边所对的角是直角.
