1、2022-12-28空间几何体的表面积空间几何体的表面积和体积和体积考点一空间几何体的表面积考点一空间几何体的表面积1.(2011北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是()A.32B.16+16 C.48D.16+3222A A组组 自主命题自主命题北京卷题组北京卷题组五年高考答案答案B由三视图知,四棱锥是底面边长为4,高为2的正四棱锥,四棱锥的表面积是16+442=16+16,故选B.12222.(2012北京,7,5分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.28+6B.30+6C.56+12D.60+125555答案答案B如图所示,将三棱锥置于长方体中.
2、此长方体长为5、宽为4、高为4,三棱锥为P-ABC,P在底面内的射影为P,SP-ABC=SPAB+SPBC+SPAC+SABC=26+45+54+54=6+10+10+10=30+6.故选B.12512121255评析评析把三视图正确地转化为直观图是解决问题的关键.考点二空间几何体的体积考点二空间几何体的体积(2013北京,10,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.答案答案3解析解析由三视图可知四棱锥的底面是边长为3的正方形,高为1.故体积V=Sh=331=3.1313考点一空间几何体的表面积考点一空间几何体的表面积1.(2018课标全国,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别
3、为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12B.12C.8D.1022B B组组 统一命题、省统一命题、省(区、市区、市)卷题组卷题组答案答案B本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2,圆柱的表面积S=2r2+2rh=4+8=12.故选B.2解题关键解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.2.(2016课标,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.C.8D.4323答案答案A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.
4、设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S=4R2=12.故选A.33评析评析本题考查了正方体和球的切接问题.正方体的体对角线即为其外接球的直径.3.(2016课标,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28283答案答案A由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则R3=,故R=2,从而它的表面积S=4R2+R2=17.故选A.1878432837834解后反思解后反思球的表面积公式和体积公式要记准、记牢;在计算表面积时“不重不漏”是关键所在.评析评析
5、本题考查了球的表面积和体积,考查了三视图和直观图.4.(2015课标,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答案答案CAOB的面积为定值,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由R3=36得R=6.从而球O的表面积S=4R2=144.故选C.165.(2017课标全国,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案
6、答案36解析解析解法一:由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=R.连接OA,OB,则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所以OAOB,则AB=R,所以ABC是边长为R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1平面ABC,CO1=R=R,则OO1=R,则VS-ABC=2VO-ABC=2(R)2R=R3=9,22223322632263RR33133423313所以R=3.所以球O的表面积S=4R2=36.解法二:由题意得AOSC,BOS
7、C,所以AOB是平面SCA与平面SCB所成二面角的平面角,又因为AOBO=O,所以SC平面ABO.因为平面SCA平面SCB,所以AOB=90,所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO=SC=9.由于OA=OB=SC,从而球O的半径R=OA=OB=3,故球O的表面积S=4R2=36.1312AO BO126.(2017课标全国,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案答案14解析解析本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2=,所以球
8、O的表面积为4R2=14.72疑难突破疑难突破长方体的体对角线为球的直径是求解的关键.易错警示易错警示易因用错球的表面积公式而致错.7.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.3答案答案12解析解析设六棱锥的高为h,斜高为h0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形,所以底面面积为22sin606=6,则6h=2,得h=1,所以h0=2,所以该六棱锥的侧面积为226=12.12313333 1128.(2017课标全国,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平
9、面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.83解析解析(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解法一:在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=ABADPE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为P
10、APD+PAAB+PDDC+BC2sin60=6+2.解法二:由题设条件和(1)可知四棱锥P-ABCD是一个正方体的一部分,底面ABCD是正方体的一个对角面,P是正方体的一个顶点(如图),2221313138322121212123设正方体的棱长为a,则VP-ABCD=aaa=a3,由题设得a3=,解得a=2,从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2,故四棱锥P-ABCD的侧面积为PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin60=6+2.13222131383221212121239.(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1
11、)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.63解析解析(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(5分)(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=ACGDBE=x3=.故x=2.(9分)从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3
12、,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.(12分)322x3222131262463655考点二空间几何体的体积考点二空间几何体的体积1.(2018课标全国,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.8223答案答案C本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角.如图,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1,BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影,AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角,即AC1B=30,在RtABC1中,AB=2,AC1B=3
13、0,BC1=2,在RtBCC1中,CC1=2,该长方体的体积V=222=8,故选C.3221BCBC22(2 3)2222易错警示易错警示不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.方法总结方法总结用定义法求线面角的步骤:(1)找出斜线上的某一点在平面内的射影;(2)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角;(3)构建直角三角形,求解得出结论.2.(2018课标全国,12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5433333答案答案B本题考查空间几何体的体
14、积及与球有关的切接问题.设等边ABC的边长为a,则有SABC=aasin60=9,解得a=6.设ABC外接圆的半径为r,则2r=,解得r=2,则球心到平面ABC的距离为=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18,故选B.1236sin603224(2 3)1333方法总结方法总结解决与球有关的切、接问题的策略:(1)“接”的处理:构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题.空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等).利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线.(2)“切”的处理:体积分割法求内切球
15、半径.作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解.多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.3.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案答案C本题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式.由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1cm,2cm,高为2cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V=22=6cm3.122思路分析思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱;(2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.4
16、.(2016课标,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.92323答案答案B易得AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=R3=.故选B.1212324392评析评析本题考查了球的体积公式和空间想象能力.5.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.+B.+C.+D.1+13231323132626答案答案C由三视图
17、可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线,所以球的直径2R=,即R=,所以半球的体积为R3=,又正四棱锥的体积为121=,所以该几何体的体积为+.故选C.222232613131326易错警示易错警示不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=.12评析评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图并准确地计算是解题关键.6.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是()锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高A.3B.2C.D.1133答案答案D由俯
18、视图可知,三棱锥底面是边长为2的等边三角形.由侧视图可知,三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V=2=1.31312337.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.12B.18C.24D.30答案答案C由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1截掉一个三棱锥D-A1B1C1得到的,其中AC=4,BC=3,AA1=5,AD=2,BCAC,所以该几何体的体积V=ACBCAA1-A1C1B1C1A1D=435-433=30-6=24.1213121213128.(2018课标全国,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底
19、面所成角为30.若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.答案答案8解析解析本题主要考查圆锥的性质和体积,直线与平面所成的角.设圆锥底面半径为r,母线长为l,高为h,因为母线SA与底面所成的角为30,所以l=r.由SAB的面积为8得l2=8,即r2=8,所以r2=12,h=r=2.所以圆锥的体积为r2h=122=8.2 33121243331313疑难突破疑难突破由母线与底面所成的角找到圆锥的底面半径r与母线长l、高h的等量关系是解决本题的突破口.9.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案答案43解析解析本题考查组合体体积的计算.多面体
20、由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为,高为1,其体积为()21=,多面体的体积为.2132234310.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案答案13解析解析本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积.四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1=,又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1-BB1D1D的高为A1C1=,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为=.221222132221311.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆
21、柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.12VV答案答案32解析解析本题考查空间几何体的体积.设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,=.12VV23243RRR3212.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案答案92解析解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意可知6a2=18,所以a=,由题意知R=a=,因此这个球的体积V=R3=.3323243433329213.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长
22、为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案答案124解析解析三棱柱ABC-A1B1C1的直观图如图,由题意知CC1=AB=AC=1,ABAC.N,P分别为BC,B1C1的中点,NPCC1,CC1AA1,NPAA1,又AA1 平面MNP,NP平面MNP,AA1平面MNP.A1到平面MNP的距离等于A到平面MNP的距离,由题意知,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,AA1平面ABC,AA1AM,AMNP.M,N分别为AB,BC的中点,MNAC.ACAB,AMMN.MNNP=N,AM平面MNP,A1到平
23、面MNP的距离即为线段AM的长.=AMSMNP=1=.1P AMNV1AMNPV131312121212414.(2018课标全国,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.23解析解析(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所
24、以BP=2.作QEAC,垂足为E,则QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=QESABP=132sin45=1.2232131313122规律总结规律总结证明空间线面位置关系的一般步骤:(1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系;(2)明确方向:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线;(3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明;(4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确.解题关键解题关键(1)利用平行关系将ACM=90转化
25、为BAC=90是求证第(1)问的关键;(2)利用翻折的性质将ACM=90转化为ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键.15.(2017课标全国,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.127解析解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC 平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(
26、2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.1223取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=x.因为PCD的面积为2,所以xx=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=2=4.142712214273132(24)23316.(2016课标,19
27、,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.542解析解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得=.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC
28、平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分)又由=得EF=.AEADCFCDOHDOAEAD1422ABAO2EFACDHDO92五边形ABCFE的面积S=68-3=.(10分)所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.(12分)12129269413694223 22评析评析本题考查了线线垂直的判定、线面垂直的判定和性质,考查了锥体的体积的计算,考查了空间想象能力和逻辑推理能力.属中档题.17.(2015课标,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.
29、过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.22EHEM9779也正确18.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将A
30、BE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.2122解析解析(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC.即在题图2中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=
31、a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=SA1O=a2a=a3,122222213132226由a3=36,得a=6.262评析评析本题首先借“折叠”问题考查空间想象能力,同时考查线面垂直的判定及面面垂直性质的应用.19.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解析解析(1)证明:AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)解法一:由AB平面BCD,得ABBD.AB=BD=1,
32、SABD=.M是AD的中点,SABM=SABD=.由(1)知,CD平面ABD,三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此VA-MBC=VC-ABM=SABMh=.解法二:由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,如图,过点M作MNBD交BD于点N,12121413112则MN平面BCD,且MN=AB=,又CDBD,BD=CD=1,SBCD=.三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=ABSBCD-MNSBCD=.1212121313112考点一空间几何体的表面积考点一空间几何体的表面积1.(2016课标,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何
33、体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20B.24C.28D.32C C组组 教师专用题组教师专用题组答案答案C由三视图知圆锥的高为2,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为44=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为44=16,从而该几何体的表面积为8+16+4=28,故选C.3122.(2014福建,3,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2B.C.2D.1答案答案A由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1.圆柱的侧面积S=2rl=2.故选A.考点二空间几何体的体积考点二空间几何体的体积1.(2017课标全国,9,5分
34、)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.3424答案答案B设圆柱的底面圆半径为r,由题意可得12+(2r)2=22,解得r=.圆柱的体积V=r21=,故选B.32342.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.2D.42 234 2322答案答案B依题意知,该几何体是以为底面半径,为高的两个同底圆锥组成的组合体,则其体积为()22=,故选B.2213224 233.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工
35、件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=()A.B.C.D.新工件的体积原工件的体积89827324(21)38(21)答案答案A由三视图可知,原工件是一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则圆锥的高为2,新工件是该圆锥的内接正方体,如图,此截面中的矩形为正方体的对角面,设正方体的棱长为x,则=,解得x=.所以正方体的体积V1=,又圆锥的体积V2=122=,所以原工件材料的利用率为=,故选A.2221x2 22 2x2 2332 2316 2271322 2312VV894.(2014湖北,10,5分)算数书竹简
36、于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.B.C.D.13627522725815750355113答案答案B设圆锥底面半径为r,则2r=L,r=.圆锥的体积V=r2h=h=,12,=,故选B.2L13322L212L h75275242585.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),
37、则该几何体的体积是()A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3323403答案答案C由三视图知,该几何体是由棱长为2cm的正方体和底面边长为2cm,高为2cm的正四棱锥组合而成的几何体.所以该几何体的体积V=23+222=cm3,故选C.133236.(2015课标,6,5分,0.451)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,
38、估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案答案B设圆锥底面的半径为R尺,由2R=8得R=,从而米堆的体积V=R25=(立方尺),因此堆放的米约有22(斛).故选B.141614131620316 203 1.627.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案答案83解析解析由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1m,两个圆锥的高均为1m,圆柱的高为2m.因此该几何体的体积为V=2121+122=(m3).13838.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱
39、体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为.14答案答案2+2解析解析本题考查空间几何体的三视图及空间几何体的体积.由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下:该几何体的体积V=211+1=2+.1229.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案答案203解析解析由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体,其体积为222+124=m3.1320310.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存
40、在点M,使得ACBM,并求的值.PMMC解析解析(1)由题设AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=SABCPA=.(2)在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.在直角BAN中,AN=ABcosBAC=,从而NC=AC-AN=.由MNPA,得=.123213361232PMMCANNC13评析评析本题考查线
41、面垂直的判定与性质及三棱锥的体积计算.11.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EFDC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MFCF.(1)证明:CF平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.解析解析(1)证明:PD平面ABCD,AD平面ABCD,PDAD.四边形ABCD是矩形,ADDC.又PDDC=D,AD平面PCD.CF平面PCD,ADCF.又MFCF,MFAD=M,CF平面MDF.(2)由(1)知CFDF,PDDC,在PCD中,DC2=CFPC.CF=.又
42、EFDC,=ED=.PE=ME=-=,SCDE=DCED=1=.在RtMDE中,MD=,VM-CDE=SCDEMD=.2CDPC12PCPDFCEDPD FCPC1322343343 341212343822MEED621313386221612.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析解
43、析(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),0h6,1321B1321B21O21B222a13133263从而V
44、=(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=2或h=-2(舍).当0h0,V是单调增函数;当2h6时,V0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.263333333方法小结方法小结(1)注意正四棱锥与正四棱柱底面相同,高的倍数关系.(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来.再把容积表示成主变量的函数.转化成求函数最值的问题.再考虑用导数求解.评析本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.考点一空间几何体的表面积考点
45、一空间几何体的表面积1.(2017北京朝阳一模,7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是()A.B.C.D.12321434三年模拟A A组组 2012016 62012018 8年年高考模拟高考模拟基础题基础题组组答案答案D根据三视图将四棱锥还原到正方体中,如图中四棱锥P-ABCD,底面面积为=.故选D.(0.5 1)12342.(2016北京朝阳一模,6)已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是()A.3+B.3+C.1+2D.1+23636答案答案B将三视图还原成立体图形并嵌在长方体中,如图中四棱锥P-ABCD.由三视图得AB=2,P为A1B1的中点,BB1=1,
46、BC=,PB=PA=.PD=PC=.易知PCD中DC边上的高=2.S侧=SPAB+SPBC+SPAD+SPCD=21+22=3+.32522(5)112122312231263.(2018北京海淀期末,12)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面的面积中最大的值是.答案答案32解析解析根据三视图得三棱锥的直观图,如图,且PA垂直于底面.根据各个侧面的图形特点,知PBC的面积最大,PBC的面积S=.1226232考点二空间几何体的体积考点二空间几何体的体积1.(2018北京东城期末,7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为()A.B.C.D.4 2343283答案答案B由三视图可知,
47、该三棱锥的直观图是D1-ABB1(图中正方体的棱长为2),三棱锥D1-ABB1的体积为222=,故选B.131243点睛方法点睛方法本题考查空间几何体的三视图以及学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见的题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键.要注意三视图中“长对正、高平齐、宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对于简单组合体的三视图问题,先看俯视图确定底面形状,然后根据正视图和侧视图,确定几何体的形状.2.(2018北京朝阳一模,6)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A.
48、B.C.D.13231234答案答案A抠点法.在长方体ABCD-A1B1C1D1中抠点,(1)由正视图可知:C1D1上没有点;(2)由侧视图可知:B1C1上没有点;(3)由俯视图可知:CC1上没有点;(4)由正(俯)视图可知:D,E处有点,由俯视图中虚线可知B,F处有点,A点排除.由上述可还原出四棱锥为A1-BEDF,如图所示,S四边形BEDF=11=1,=11=,故选A.1ABEDFV13133.(2018北京顺义二模,4)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A.B.C.8D.168 331633答案答案B根据三视图,在长方体中作出三棱锥的直观图,如图中三棱锥A-BCD.则该三棱
49、锥的体积V=442=,故选B.13121634.(2016北京海淀一模,5)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为()A.B.C.D.33322 332 63答案答案A根据三视图将几何体还原并嵌到长方体中,如图中三棱锥P-AEC.由三视图得EC=2,CC1=1,BC=,所以体积V=SAEC1=1=.31313232335.(2018北京朝阳二模,12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案答案16解析解析由三视图,在正方体中作出三棱锥的直观图,如图中三棱锥A-BCD.所以V=111=.131216考点空间几何体的体积考点空间几何体的体积1.(2018北京丰台一模,7)某三棱锥的三
50、视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.B.4C.D.4383233B B组组 2012016 62012018 8年年高考模拟高考模拟综合题综合题组组答案答案A根据三视图将几何体还原到正方体中,如图中三棱锥P-ABC.则体积为222=.故选A.131243点睛方法点睛方法利用三视图还原空间几何体,首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽,侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.2.(2018北京石景山一模,7)若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是()
