1、第三章第三章 微分中值定理微分中值定理 和导数的应用和导数的应用第七节第七节 曲率曲率 曲率曲率.M1M2M3 曲率曲率.M1M2M3 曲率曲率.M1M2M3 曲率曲率.ABB 故定义曲线故定义曲线ABABkS 曲率曲率.A 弧微分弧微分NTA0 xMxxx .),()(内内具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数baxfxyo.),(:00作作为为度度量量弧弧长长的的基基点点在在曲曲线线上上取取点点yxA),(yxM对对于于曲曲线线上上任任意意一一点点规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向曲曲线线的的正正向向为为 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时
2、时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM)(xss 易看出：弧长：弧长 是是x的单调增函数的单调增函数.)(xss 下面求下面求 的导数与微分的导数与微分,),(上上的的另另一一点点为为曲曲线线设设yyxxN MNs NMTA0 xxxx xyo.12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式曲率的计算公式曲率的计算公式设设)(xfy 二阶可导二阶可导,曲率的计算公式曲率的计算公式:.)1(|2/32yyK 如果曲线方程由参数方程给定如果曲线方程由参数方程给定:,)()(txtx 其中其中),(t)(t 二阶可导二阶可导.)()(|)()()()(|2/322ttttttK 例例1 抛物线抛物
3、线cbxaxy 2上上哪一点的曲率最大哪一点的曲率最大?点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 23010,6,(1)1.yxxxRlOAlOAOAOlRlRAR通通常常用用三三次次抛抛物物线线，作作为为缓缓冲冲段段，其其中中 为为的的长长度度，验验证证缓缓冲冲段
4、段在在始始端端的的曲曲率率为为零零 并并且且当当很很小小时时，在在终终端端的的曲曲率率近近似似为为xyoR),(00yxA)0,(0 xCl曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半径曲率半径 xyo例例3求曲线求曲线xytan 在点在点 1,4 处的曲率与曲处的曲率与曲
5、率半径率半径.例例4 求椭圆求椭圆 tbytaxsincos),0(b在在点处点处的曲率及曲的曲率及曲率半径率半径.例例5 飞机沿抛物线飞机沿抛物线40002xy (单位为米单位为米)俯冲飞行，俯冲飞行，飞行员体重飞行员体重70千克千克.求俯冲到原点时，求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力飞行员对座椅的压力.在原点处速度为在原点处速度为400 v米米/秒，秒，例例6)0(),0(ff 存在存在,设设为过原点的一条曲线为过原点的一条曲线,)(xfy 又知有一条抛物线又知有一条抛物线)(xgy )(xfy 与曲线与曲线在原点相切在原点相切,在该点处有相同的曲率在该点处有相同的曲率,近此二曲线有相同的凹向近此二曲线有相同的凹向,求求).(xg且在该点附且在该点附
