1、第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等柯西不等式与排序不等式式 柯西不等式（柯西不等式（2 2）一一:二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理：定理：（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式）若都是实数，则若都是实数，则当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立a,b,c,da,b,c,dad=bcad=bc 2222222222(a+b)(c+d)(ac+bd)(a+b)(c+d)(ac+bd)(a,b)(a,b)(c,d)(c,d)O O x xy y定理定理:设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,bn n 是实数是实数,
2、则则当且仅当当且仅当b bi i=0(i=1,2,3,=0(i=1,2,3,n),n)或存在一个数或存在一个数k k使得使得a ai i=kb=kbi i(i=1,2,3,(i=1,2,3,n),n)时时,等号成立等号成立.2 22 22 22 22 22 23 32 22 21 12 23 3n n1 12 23 3n n1 1 1 12 2 2 2n nn n(a a+a a+a a+a a)(b b+b b+b b+b b)(a a b b+a a b b+a a b b)柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式注注:简记简记;积和方不大于方和积积和方不大于方和积定理定理:设设a a1
3、1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,bn n 是实数是实数,则则当且仅当当且仅当b bi i=0(i=1,2,3,=0(i=1,2,3,n),n)或或b bi i0 0(i=1,2,3,(i=1,2,3,n),n)时时,等号成立等号成立.2 22 22 22 22 22 23 32 22 21 12 23 3n n1 12 23 3n n1 1 1 12 2 2 2n nn n(a a+a a+a a+a a)(b b+b b+b b+b b)(a a b b+a a b b+a a b b)12n12n12b12baaaaaa=bbbb
4、bb12n+12n+22222212n12n12n12n12n12n12n12n问题：已知a,a,a R，求证问题：已知a,a,a R，求证na+a+aa+a+ana+a+aa+a+a111111nnnn+aaaaaa当且仅当a=a=a 时取等号。当且仅当a=a=a 时取等号。调和平均数调和平均数算术平均数算术平均数均方平均数均方平均数 问题问题:已知已知 都是实数都是实数,求证求证123n123na,a,a,aa,a,a,a21)22222222123n23n123n23n1 1(a+a+a+aa+a+a+a(a+a+a+aa+a+a+an n问题问题:已知已知 是不全相等的正数是不全相等的
5、正数,求明求明da,b,c,a,b,c,22222222a+b+c+dab+bc+cd+daa+b+c+dab+bc+cd+da问题问题:已知已知 ,求求 的最小值的最小值.x+2y+3z=1x+2y+3z=1222222x+y+zx+y+z问题：问题：对于和为的正数对于和为的正数求证求证,12n12na,a,aa,a,a 2222222212n-1n12n-1n1223n-1nn11223n-1nn1aaaaaaaa1 1+a+aa+aa+aa+a2a+aa+aa+aa+a2作业作业:P41 2 2、4 4、5 5、6 6问题问题:已知已知A A、B B都是锐角都是锐角,且且cosA+cosB-cos(A+B)=,cosA+cosB-cos(A+B)=,求求A A、B B的值的值2 23 3
