1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 2.3 抛物线抛物线 第第1课时课时 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 如图，我们在黑板上画一条直 线EF，然后取一个三角板，将 一条拉链AB固定在三角板的一 条直角边上，并将拉链下边一 半的一端固定在C点，将三角 板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D处放置一支粉笔， 上下拖动三角板，粉笔会画出 一条曲线，画出的曲线是什么 形状？ 1.在平面内到两定点F1、F2的距离之和(大于 |F1F2|)为常数的点的轨迹是什么
2、？ 2在平面内，到两定点F1、F2的距离之差 (小于|F1F2|)的绝对值为常数的点的轨迹是什 么？ 答案：1.椭圆 2.双曲线 一 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛 物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 注意：(1)定义的实质可归纳为“一动三 定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛 物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)； 一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l 的距离之比等于1) (2)定点F不在定直线l上，否则定点M的轨迹 不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条 直线 过点A(3,0)与y轴相切的圆的圆心轨迹为
3、 ( ) A圆 B椭圆 C直线 D抛物线 答案 D 解析 设P为轨迹上一点，则P到A的距离等 于P到y轴的距离，所以P的轨迹为以A为焦 点，y轴为准线的抛物线 二 抛物线的标准方程 y22px，y22px，x22py，x22py(p0)四个标准方 程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一 次项系数的符号确定 当系数为正时， 开口向坐标轴的正方向； 当系数为负时，开口向坐标轴的负方向 抛物线标准方程的四种形式： 图形 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 y22px(p0) (p 2，0) xp 2 向左 y22px(p0) (p 2，0) xp 2 图形 开口方向 标准方
4、程 焦点坐标 准线方程 向上 x22py(p0) (0，p 2) yp 2 向下 x22py(p0) (0，p 2) yp 2 注意：(1)写抛物线标准方程时，要特别注意抛物线开口方 向(2)p 的几何意义是焦点到准线的距离，故 p0. 抛物线y220x的焦点坐标为( ) A(20,0) B(10,0) C(5,0) D(0,5) 答案 C 解析 2p20，p10，p 25. 三 抛物线定义的应用 (1)抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的 距离相等，因此，这两种距离可以相互转 化所以，凡涉及抛物线上一点到焦点的距 离都可以转化为到准线的距离 (2)利用定义通常可方便解决两类问题： 求抛物线的
5、标准方程； 涉及抛物线的最值问题 常用方法是利用抛物线的定义，将到焦点的 距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯 形的性质解题 已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的 距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标 为( ) A(1 4，1) B(1 4，1) C(1,2) D(1，2) 答案 A 解析 如图，点 Q(2，1)在抛物 线的内部，由抛物线的定义，抛物线上的点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 x1 的距离， 过 Q 作 x1 的垂线 QH 交抛物线 于点 K，则点 K 为取最小值时的所求点 当 y1 时，由 14x 得 x1
6、4，所以满足条件的点 P 的 坐标为(1 4，1) 四 抛物线标准方程的求法 (1)常用方法： 直接法：直接利用题中已知条件确定焦参 数p. 待定系数法：先设出抛物线的方程，再根 据题中条件，确定焦参数p. 定义法：先判定所求点的轨迹符合哪种抛 物线的形式，根据定义求解 求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根 据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定 量，即求出方程中p的值，从而求出方程 (2)抛物线标准方程的设法 对于已知焦点所在轴的抛物线的标准方程， 在不知开口方向时，可将抛物线方程设为y2 ax(a0)，此时焦点在x轴上；若x2 ay(a0)，此时焦点在y轴上，再根据条件求 a.a0，则开口
7、向右(或上)；a0)，焦点 F(p 2，0)，准 线方程 xp 2，根据抛物线定义，点 M 到焦点的距离等于 M 到准线的距离，则 3p 25，p4. 因此抛物线方程为 y28x. 又点 M(3，m)在抛物线上，于是 m224，m 2 6. 方法总结 解法二是利用抛物线的定义把点到焦点的距 离转化为点到准线的距离，既快捷，又方便，要善于转化 已知点B(4,0)，过y轴上的一点A作直线ly 轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹 解析 依题意，|PA|PB|，且|PA|为点P 到y轴的距离，点P到点B的距离与到y轴的 距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为 准线的抛物线. 抛物线的标准方程
8、求分别满足下列条件的抛物线的标 准方程，并求对应抛物线的准线方程 (1)过点(3,2)；(2)焦点在x2y40 上 解题提示 根据题目中给出的点的坐标或 焦点，可以确定抛物线的开口方向，然后设出 抛物线的标准方程求解 解析 (1)(3,2)在第二象限，抛物线开口向左或向 上设所求抛物线的方程为 y22px 或 x22py(p0) 抛物线过点(3,2)，42p (3)或 92p 2， p2 3或 p 9 4. 抛物线方程为 y24 3x 准线方程为 x 1 3或 x 29 2y， 准线 方程为 y9 8. (2)由于抛物线为标准型，故焦点必为 x2y40 与坐标 轴的交点， 即 x0， y2，
9、F1(0， 2)或 y0， x4， F2(4,0) 当 焦点为(4,0)时，p 24，p8.此时，抛物线方程为 y 216x，准 线为 x4；当焦点为(0，2)时，p 22，p4.此时，抛物线 方程为 x28y，准线为 y2. 方法总结 求标准方程通常用待定系数法，可根据题意， 设出方程的形式，然后求解 根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标为 F(3,0)； (2)已知抛物线的准线方程为 x5 2. 解析 (1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0)， 其焦点为 (p 2，0)，根据题意有 p 23，故 p6，因此，标准方程为 y 212x. (2)设抛物线的标准方程
10、为 y22px(p0)，其准线方程为 x 5 2，由题意有 p 2 5 2，故 p5，因此，标准方程为 y 2 10x. 抛物线焦点弦性质 直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且与抛物 线相交于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)两点 求证：x1x2p 2 4 ，y1y2p2. 解题提示 先设出直线方程，然后与抛物线方程联立， 消元后由韦达定理可证得 解析 解法一： 因为焦点坐标为 F p 2，0 ， 当 AB 不垂直 x 轴时，可设直线 AB 的方程为 yk xp 2 (k0) 由 yk xp 2 y22px ky22pykp20 显然 4p24k2p0 所以 y1y2p2，x1
11、x2 y2 1 2p y2 2 2p y1y22 2p2 p4 4p2 p2 4 ， 当 ABx 轴时，直线 AB 的方程为 xp 2， 则 y1p，y2py1y2p2，x1x2 y2 1 2p y2 2 2p p 2 4 . 解法二：设直线 l 的方程为 xkyp 2， 由 xkyp 2 y22px 得 y22pkyp20， 显然 4p24p28p20. 则 y1 y2p2，x1x2 y2 1 2p y2 2 2p y1y2 2p 2p 2 4 . 方法总结 解法一分直线斜率存在与不存在 两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在 的情形，应引起重视；解法二对直线方程的 设法避免了直线的斜率不存
12、在这一情况，解 答更为简洁，在学习过程中应深刻体会 斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与 抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长 解析 如图，由抛物线的标准方程可知，焦 点F(1,0)，准线方程x1. 由题设，直线AB的方程为：yx1. 代入抛物线方程y24x，整理得：x26x1 0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可 知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|， 即|AF|AA|x11，同理|BF|x21， |AB|AF|BF|x1x22628. 抛物线方程的实际应用 如图，一位运 动员在距离篮球架4 m远处 跳起投篮，球运行的路线 是抛物线当球运行的水 平距离为
13、2.5 m时，达到最 大高度3.5 m，然后准确落 入篮圈，已知篮圈中心到 地面的距离为3.05 m，如 图所示建立平面直角坐标 系 (1)试求球运行路线所在抛物线的方程； (2)球出手时，球离开地面的高度是多少？ 解题提示 (1)先设出抛物线方程，然后把 点(1.5，0.45)代入抛物线方程即可求出 p.(2)由抛物线方程可求出当x2.5时y值 解析 (1)设球运行所在的抛物线方程为 x22py(p0)， 由题意知抛物线经过点(1.5，0.45)， 代入抛物线方程得1.522p(0.45)，解 得2p5， 所求抛物线方程为x25y. (2)把x2.5代入x25y 得(2.5)25y， y1.
14、25， 球出手时球离开地面的高度是3.51.25 2.25(m) 方法总结 建立合适的坐标系后，设出抛物 线方程将实际问题转化为数学模型再求解 如图所示，设田地喷灌水管AB高出地面1.5 m，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间， 喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高 点C的连线与水平地面成45角，若C比B高 出2 m，在所建立的坐标系中，求水流的落 地点D到点A的距离是多少米？ 解析 如上图依题可知，BECE2(m)，CFCEEF 3.5(m)，点 B 的坐标为(0,1.5)， 抛物线的方程为 ya(x2)23.5.由于它经过点 B，故 1.5a(02)23.5. a1 2，故抛物线的方程为 y 1 2(x2) 23.5. 当 y0 时，得1 2(x2) 23.5，解得 x2 7(x2 7舍 去)，即水流落地点 D 和点 A 的距离为(2 7)米. 若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x y40的距离相等，则动点P的轨迹是 ( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 误解 选C. 辨析 抛物线的定义中，定点不在定直线 上，而本题点F(1,1)恰好在直线3xy40 上，因而对抛物线的定义认识不清而错选了C. 正解 D 抛物线及其 标准方程 抛物线的定义了解 定义式 定义的应用 抛物线的标准方程了解 推导过程 四种形式 标准方程的求法
