1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 3.1 导数导数 第第2课时课时 导数的几何意义导数的几何意义 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 爬山过程中，我们都有这样的感觉，当山坡平缓时，步履 轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁，怎样用数学知识来反映山坡 的平缓与陡峭程度呢？ 1.yf(x)在xx0处的导数的定义： _. _ _. _ _. 2求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤为： (1)_； (2)_； (3)_ 上述求导方法可简记为：一差、二比、三极 限 答案： 1.一般地， 函数 yf(x)在 xx0
2、处的瞬时变化率是lim x0 fx0xfx0 x lim x0 f x. 我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数，并记作 f(x0) 或 y|xx0. 于是可写作：lim x0 fx0xfx0 x f(x0) 2(1)求函数值的增量 yf(x0x)f(x0) (2)求平均变 化率y x fx0xfx0 x (3)取极限，得导数 f(x0)lim x0 y x 一 导数的几何意义 1 函数 yf(x)在 xx0处的导数 yf(x0)就是曲线 yf(x) 在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，即 f(x0)lim x0 fx0xfx0 x k.这就是导数的几何意义 2切线 一般地，过曲线 y
3、f(x)上一点 P(x0，y0)作曲线的割线 PQ， 当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定 的位置，则称这一确定位置的直线为曲线 yf(x)在点 P 处的切 线在这里，要注意：曲线 yf(x)在点 P 处的切线： (1)与点P的位置关系；(2)要依据割线PQ是否 存在极限位置来判定与求解如果存在，则在 此点处有切线，且切线是唯一的；如果不存在， 则在此点处无切线 需要注意的是这里的切线与以前学过的圆 的切线是不同的，曲线在某一点处的切线与曲 线不一定只有一个公共点如图所示 曲线yx33x在点(2,2)的切线斜率是( ) A9 B6 C3 D1 答案 A 解析 y(
4、2x)33(2x)2369x6x2 x3，y x96xx 2，lim x0 y xlim x0 (96xx 2)9， 由导数的几何意义可知， 曲线 yx33x 在点(2,2)的切线斜 率是 9. 二 求曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程的步骤 求曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程的步骤为： (1)确定点 P 的坐标(x0，f(x0) (2)求出函数在点 x0处的导数 f(x0)lim x0 fx0xfx0 x k，得到曲线在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 (3)利用点斜式写出切线方程，即 yf(x0)f(x0)(xx0) 注意：利用导数的几何意义求曲线的切线方 程时，需要注意两
5、类问题： (1)求曲线在点P处的切线方程(此时点P为切 点)； (2)求曲线过点P的切线方程，此时点P不一定 是切点对于过点P作曲线的切线(或求曲线y f(x)过点P(x0，f(x0)的切线)这类问题，无 论点P在曲线上，还是不在曲线上，我们都 要设出切点，否则极易漏解 已知曲线y2x24x在点P处切线斜率为16， 则点P坐标为_ 答案 (3,30) 解析 设 P(x0,2x2 04x0)， 则 f(x0)lim x0 fx0xfx0 x lim x0 2x24x0x4x x 4x04，又因为 f(x0)16， 所以 4x0416，所以 x03，所以 P(3,30) 三 利用导数的几何意义求切
6、线方程 1已知切点求切线方程 已知曲线 yf(x)，求切点为 P(x0，y0)的切线方程的方法： (1)求出函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)， 即切线的斜率 为 f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程得到切线方程为 yy0f(x0)(x x0) 注意：若曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的导数存在且 f(x0)0，则切线的倾斜角是锐角；若 f(x0)0，切线与x轴正向夹角为锐角； f(x0)0，切线与x轴正向夹角为钝角；f(x0) 0，切线与x轴平行 已知曲线 y1 3x 3 上一点 P 2，8 3 ，求： (1)点 P 处的切线的斜率； (2)点 P 处的切线方程 解析
7、 (1)y1 3x 3， ylim x0 y xlim x0 1 3xx 31 3x 3 x 1 3 lim x0 3x2x3xx2x3 x 1 3 lim x0 (3x 23xxx2)x2， y|x2224. 点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y8 34(x2)， 即 12x3y160. 求切点坐标 已知抛物线yx2在点P处的切线与 直线y2x4平行求点P的坐标和切线方 程 解题提示 先设出点P(x0，y0)，在P点处 的导数即为切线斜率，即y|xx02，从而求 出点P坐标和切线方程 解析 设点 P(x0，y0)， 则 y|xx0lim x0 x0x2x2 0
8、 x lim x0 2x0xx2 x 2x0. 又曲线在点 P 处的切线与直线 y2x4 平行， 2x02，x01. 又点 P(x0，y0)是曲线 yx2上一点， y0x2 01， 点 P 的坐标为(1,1) 曲线在点 P 处的切线方程为 y12(x1) 即 2xy10. 方法总结 求切点坐标应先设出切点的坐标(x0，y0)，根 据这一点的切线斜率等于这一点的导数求出 x0，进而求出 y0. 已知直线y2xm与曲线yx2相切，求实 数m的值及切点坐标 解析 设切点为 P(x0，y0)， 则 y|xx0lim x0 x0x2x2 0 x lim x0 2x0xx2 x 2x0. 由曲线在点 P(
9、x0，y0)处的切线方程为 y2xm 知 2x02， x01，P(1,1) 又点 P 在切线 y2xm 上，m1， m 的值为1，切点坐标为(1,1). 无限逼近思想 曲线yx3在x00处的切线是否存 在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若 不存在，请说明理由 解题提示 求曲线在 x00 处切线是否存在即转化为求 y x的值是否为常数 解析 令 yf(x)x3， yf(0x)f(0)x3， y xx 2，当 x 无限趋近于 0 时，y x无限趋近于常数 0， 这说明割线会无限趋近于一个极限位置， 即曲线在 x0 处的切 线存在，此时切线的斜率为 0(y x无限趋近于 0)，又曲线过点 (0,
10、0)，故切线方程为 y0. 方法总结 (1)yx3在点(0,0)处的切线是 x 轴，符合切线 定义这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与 曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切如图所示 (2)对于曲线在点 x0处的切线有下面的情形： 若y x(当 x 无 限趋近于 0 时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋近于 ，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于 x 轴的直线)； 其二是y x既不是趋近于某一常数也不趋近于，则此时切线不 存在. 已知曲线 yx3， 求曲线过点 P(1,1)的切线方程 误解 设 f(x)x3，则 f(x)lim x0 xx3x3 x lim x0 3x
11、2 3xx(x)23x2， f(1)3， 切线方程为 y13(x1)，即 y3x2. 辨析 该解法仅考虑到点P(1,1)是切点，但 没有注意到点P(1,1)可能不是切点 正解 设切点坐标为(x0，y0) 令 f(x)x3，则 f(x)lim x0 xx3x3 x lim x0 3x 23xx (x)23x2， f(x0)3x2 0， 切线方程为 yy03x2 0(xx0)， 将点 P(1,1)代入，得 1y03x2 0(1x0) 又 y0x3 0，联立解得 x01 2或 x01， 切点坐标为(1 2， 1 8)或(1,1) 所求的切线方程为 y3 4x 1 4或 y3x2. 导数的几 何意义 曲线的切线的斜率 利用导数的几何意义求切线的斜率，进而 求切线方程
