1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 3.2 导数的运算导数的运算 第第2课时课时 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 如何求得下列函数的导数呢？ 1yx5x3x23； 2yexsinxlnx； 3ycos2x 2sin 2x 2. 给出下列结论： 若 y 1 x3，则 y 3 x4；若 y 3 x，则 y1 3 3 x； 若 y 1 x2，则 y2x 3；若 f(x)3x，则 f(1)3.其中正 确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 本题容易
2、错选 D.( 3 x)(x 1 3 )1 3x 2 3 1 3 1 3 x2 ， 而不等于1 3 3 x. 一 导数的四则运算法则 若函数 f(x)、g(x)在点 x 处可导，则 f(x)g(x)、f(x)g(x)、 Cf(x)(其中 C 是常数)在点 x 处也可导当 g(x)0 时， fx gx在点 x 处也可导 1函数和(或差)的求导法则 设 f(x)、g(x)是可导的，则 f(x) g(x)f(x) g(x) 文字表述为：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函 数的导数和(或差) 推广：这个法则可推广到有限个可导函数的和(或差) 即(f1(x) f2(x) fn(x)f1(x) f2(
3、x) fn(x) 已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处 切线的斜率为8，则a( ) A9 B6 C9 D6 答案 D 解析 y4x32ax， 曲线在点(1，a2)处切线的斜率k4 2a8，a6. 2导数积的求导法则 设 f(x)、g(x)是可导函数，则 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 文字表述为：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一函数乘以第二个函数的导数 特别地，Cf(x)Cf(x)(其中 C 是常数)， 即常数与函数积的导数等于常数乘函数的导数 函数yx2cosx的导数是( ) Ay2xcosxx2sinx By2xcosx x2sinx
4、 Cyx2cosx2xsinx Dyxcosx x2sinx 答案 A 解析 yx2cosx， y(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx， 故选A. 3函数商的求导法则 设 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 且 g(x)0 ， 则 fx gx fx gxfx gx g2x . 特别地， 1 gx gx g2x . 求下列函数的导数：f(x)xtanx 2 cosx. 解析 f(x)(xsinx cosx 2 cosx)( xsinx2 cosx ) xsinx2cosxxsinx2sinx cos2x sinxxcosxcosxxsin 2x2sinx cos2x
5、sinxcosxx2sinx cos2x tanx x cos2x 2tanx cosx . 二 求导数时应注意的问题 利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如 (xn)nxn 1 中 nQ，(cosx)sinx，还要注意公式不要用 混，如(ax)axlna，而不是(ax)xax 1 ，还要特别注意 (uv)uv，(u v) u v. 课堂典例探究课堂典例探究 求导法则的直接应用 求下列函数的导数： (1)yx43x25x6； (2)y(x1)(x2)； (3)yx1 x1； (4)ysinxex. 解题提示 求函数的导数，若式子能化简， 可先化简再求导 解析 (1)y(x43x25
6、x6)(x4)(3x2) (5x)64x36x5 (2)y(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x2) x2x12x3 (3)解法一：y(x1 x1) x1x1x1x1 x12 x1x1 x12 2 x12 解法二：yx12 x1 1 2 x1 y 2 x12. (4)y(sinx)(ex)cosxex 方法总结 熟练掌握导数运算法则，再结合给定函数本 身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决问题时才能 做到举一反三，触类旁通 求下列函数的导数： (1)y 2 x2 3 x3； (2)yx3 10x； (3)ycosx lnx； (4)y x2 sinx. 解析 (1)y 2 x2 3
7、 x32x 23x3， y4x 39x4. (2)y(x3) 10xx3 (10x) 3x2 10xx3 10x ln10. (3)y(cosx) lnxcosx (lnx) sinx lnxcosx x . (4)yx 2 sinxx2 sinx sin2x 2x sinxx 2cosx sin2x . 求导法则的灵活运用 求下列函数的导数： (1)y(2x23)(3x2)； (2)yxsinx 2 cos x 2. 解题提示 在求导时能化简的先化简，再求导，也可根 据求导法则直接求导 解析 由函数的和(或差)与积的求导法则，可得 (1)解法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)
8、 4x(3x2)(2x23) 3 18x28x9. 解法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6， y18x28x9. (2)yxsinx 2 cos x 2x 1 2sinx， y11 2cosx. 方法总结 在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不 用乘法的求导法则，所以在求导之前，应利用代数、三角恒等 变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量 求下列函数的导数： (1)yx(x21 x 1 x3)；(2)y( x1)( 1 x1) 解析 (1)yx(x21 x 1 x3)x 311 x2，y3x 22 x3. (2)y x 1 x x 1 x1x 1 2 x 1 2 ， y1
9、 2x 1 2 1 2x 3 2 1 2 x(1 1 x). 求导法则的综合应用 求曲线 yx x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的 截距 解题提示 解答本题可先运用求导法则求出 y， 进而求 出 y|x1，再用点斜式写出切线方程，令 y0，求出 x 的值， 即为切线在 x 轴上的截距 解析 yf(x)x xxx 1 2 ， f(x)11 2x 1 2 1 1 2 x，f(1) 3 2， 函数 yx x在点(1,2)处的切线方程为 y23 2(x1)，即 3x2y10. 令 y0，解得 x1 3， 切线在 x 轴上的截距为1 3. 方法总结 对导数应用的考查，往往与其他知识相结合， 如解析几
10、何、数列、函数等解题的关键是熟练运用公式和求 导法则求出导数， 然后把问题转化为相应的知识来解决 其中， 正确的求导是解题的前提，此过程要注意以下几点： (1)要遵循先化简解析式，再求导的原则： (2)化简时要注意化简的等价性，避免不必要的运算的失 误 (3)求导时，既要重视求导法则，更要注意求导法则对导数 的制约作用 若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经 过坐标原点，则_. 答案 2 解析 yx1，在点(1,2)处的切线 斜率k，则切线方程为y2(x1)，又 切线过原点，故02(01)，解得2. 求函数 y3x 2x x x 的导数 误解 y3x 2x x x 6x3 2x 1 2 1 2 x 6x 3 2 x 1 2 x 12x x3. 辨析 误解中， 把商的导数的公式误记为( fx gx) fx gx 致误 正解 y3x 2x x x 3x xx， y(3x 3 2 )(x)9 2x 1 2 19 x 2 1. 导数的运算法则(掌握) 函数和差的求导法则 函数积商的求导法则
