1、2.4.1 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量的概念和运算，都有明确的物理背景和向量的概念和运算，都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向 量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算， 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有由于向量的线性运算和数量积运算具有 鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平 移、全等、
2、相似、长度、夹角都可以由向量的移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量 方法可以解决平面几何中的一些问题。方法可以解决平面几何中的一些问题。 例如，向量数量积对应着几何中的长度例如，向量数量积对应着几何中的长度. 如图：如图： 平行四边行平行四边行ABCD中，中， 设设 ，则，则 ,ABa ADb ACABBCab DBABADab 22 2 |ADbAD 22 2 |ABaAB 向量向量 的夹角为的夹角为 BAD. ,AB AD 例例1.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，中，E、F在在 对角线
3、对角线BD上，并且上，并且BE=FD，求证，求证AECF是平是平 行四边形。行四边形。 证明：由已知设证明：由已知设 ,ABDCaBEFDb AEABBEab FCFDDCba AEFC 即边即边AE、FC平行且相等，平行且相等，AECF是平行四边形是平行四边形 a b b a F E D C B A （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；系，
4、如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”：曲”： 简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 例例2. 求证平行四边形对角线互相平分求证平行四边形对角线互相平分 M D C B A 证明：如图，已知平行四边形证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条的两条 对角线相交于对角线相交于M，设，设 ,AMxACBMyBD 则则 ,AMxACxABxAD () (1) AMABBM AByBD ABy ADAB y AByAD 根据平面向量基本定
5、理知，这两个分解根据平面向量基本定理知，这两个分解 式是相同的，所以式是相同的，所以 1xy xy 解得解得 1 2 1 2 x y 所以点所以点M是是AC、BD的中点，即两条对的中点，即两条对 角线互相平分角线互相平分. 例例3.已知正方形已知正方形ABCD，P为对角线为对角线AC上任意上任意 一点，一点，PEAB于点于点E，PFBC于点于点F，连接，连接 DP、EF，求证，求证DP EF。 P F E D C B A 证明：选择正交基底证明：选择正交基底 ,AB AD 在这个基底下在这个基底下 (1,0),(0,1)ABAD 设设 ( , )APa a (1,0),(0, )EBaBFa
6、P F E D C B A (1, )EFa a ( ,1)DPAPADa a (1, ) ( ,1) (1)(1) 0 DP EFa aa a a aa a 所以所以 DPEF 因此因此DPEF. 例例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B D C 已知：平行四边形ABCD。 求证： 222222 BDACDACDBCAB bADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;, 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 bADaAB , )( 2 22 2222 baDACDBCA
7、B 22 22 babaBDAC 22 222222 2222bababbaabbaa 222222 BDACDACDBCAB 例例5 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T 两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ A B C D E F R T 猜想：猜想： AR=RT=TC ,ABa ADb ARrACab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设 AR AC (),rn ab nR 又因为又因为 共线，共线， 所以设所以设 EREB与与 1 2 ()ERmEBm ab 因为因为 所以所以 ARAEER 11 22 ()rbm ab 11 22 ()()n abbm ab因因此此 A B C D E F R T 解：设解：设 则则 1 0 2 ()() m nm anb 即即 ,a b由由于于向向量量不不共共 0 1 0 2 nm m n 线线， 1 1 解解得得：n=m =n=m = 3 3 111 333 ,ARACTCACRTAC所所以以同同理理于于是是 故故AT=RT=TC A B C D E F R T
