1、3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦 课件（人教课件（人教 B版必修版必修4） 3.1 和角公式和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 3.1.1 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.掌握两角和与差的余弦公式掌握两角和与差的余弦公式，能从两角差的能从两角差的 余弦公式导出两角和的余弦公式余弦公式导出两角和的余弦公式，并会利用公并会利用公 式进行三角函数式的化简和求值式进行三角函数式的化简和求值 2掌握常用角的变换，在利用公式化简和求掌握常用角的变换，在利用公式化简和求 值时，注意公式的灵活
2、运用值时，注意公式的灵活运用 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1设向量设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则则a b _. 2诱导公式的记忆口诀为：诱导公式的记忆口诀为： _ a1b1a2b2 奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限 知新益能知新益能 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 cos()_ C 两角和的余弦公式两角和的余弦公式 cos()_ C coscossinsin coscossinsin 1用向量法证明公式用向量法证明公式 C的过程中角的过程中角 、 的终边的终边 与单位圆分别相交于点与单位圆分别相交于点 A、B，向量，向量OA 、OB 的坐标的坐标 是
3、如何得到的？是如何得到的？ 思考感悟思考感悟 提示：提示：由于向量由于向量OA 的起点为原点，所以向量的起点为原点，所以向量OA 的坐标的坐标 就是点就是点 A 的坐标，又因为点的坐标，又因为点 A 在角在角 的终边上且的终边上且|OA| 1， 由任意角正弦、 余弦函数的定义可知， 由任意角正弦、 余弦函数的定义可知 sinyA 1 ， cos xA 1 .所以所以 xAcos，yAsin，即，即OA (cos，sin)， 同理可求向量同理可求向量OB 的坐标的坐标 2cos()与与coscos相等吗相等吗？是否有相等的是否有相等的 情况情况？ 提示：提示：一般情况下不相等一般情况下不相等，但
4、在特殊情况下也有但在特殊情况下也有 相等的时候相等的时候例如例如，当取当取0，60时时， cos(060)cos0cos60. 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 运用公式求值运用公式求值 式中式中，、可以是单个角可以是单个角，也可以是两个角的也可以是两个角的 和或差和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为在运用公式时常将两角的和或差视为 一个整体一个整体 计算：计算：(1)cos15cos105 sin15sin105； (2)cos( 35) cos( 25) sin( 35) sin(25) 例例1 【思路点拨思路点拨】 分清角分清角、直接套用公式求值即可直接套用公式求值即可 【
5、点评点评】 在利用两角和与差的余弦公式求值应用中，在利用两角和与差的余弦公式求值应用中， 一般思路是：一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，把非特殊角转化为特殊角的和或差， 正用公式直接求值正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导在转化过程中，充分利用诱导 公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用 公式求值公式求值 【解】【解】 (1)原式原式cos(15 105 )cos(90 )0； (2)原式原式cos(35 )(25 )cos(60 )1 2. 变式训练变式训练 1 求下列各式的值求下列各式的值 (1)cos40
6、cos70 cos20 cos50 ； (2)cos7 sin15 sin8 cos8 . 解：解：(1)原式原式cos40 cos70 sin70 sin40 cos(40 70 )cos(30 ) 3 2 ； (2)原式原式 cos 15 8 sin15 sin8 cos8 cos15 cos8 cos8 cos15 cos(45 30 )cos45 cos30 sin45 sin30 6 2 4 . 给值求值给值求值 此类题目要先观察此类题目要先观察，注意角的变换注意角的变换，即拆角即拆角、凑凑 角角，同时要注意角的范围对三角函数值符号的影同时要注意角的范围对三角函数值符号的影 响响 例
7、例2 已知：已知：cos(2) 2 2 ，sin(2) 2 2 ，且，且 4 2， ，0 4，求 ，求 cos() 【思路点拨思路点拨】 首先应观察出角的关系首先应观察出角的关系，即即(2)( 2)，再利用再利用，范围去正确求范围去正确求sin(2)，cos( 2)的值的值 【解】【解】 因为因为 4 2， ，0 4，所以 ，所以 4 2. 因为因为 cos(2) 2 2 ，所以，所以 2 2. 所以所以 sin(2) 2 2 . 因为因为 4 2， ，0 4，所以 ，所以 4 2 2， ， 因为因为 sin(2) 2 2 ，所以，所以 02 2， ， 所以所以 cos(2) 2 2 . 所以
8、所以 cos()cos(2)(2) cos(2)cos(2)sin(2) sin(2) 2 2 2 2 2 2 2 2 0. 【点评】【点评】 拆分角时，应注意如下变换：拆分角时，应注意如下变换： ()，()，(2)()， 1 2( )()，1 2( )()等等 变式训练变式训练 2 已知已知 sin( 4) 4 5，且 ，且 4 3 4 ，求，求 cos 的值的值 解：解：sin( 4) 4 5，且 ，且 4 3 4 ， 2 4 ， cos( 4) 1sin2 4 1 4 5 2 3 5， ， coscos( 4) 4 cos( 4)cos 4 sin( 4)sin 4 3 5 2 2 4
9、5 2 2 2 10 . 给值求角给值求角 此类问题关键环节有两个：一是求出所求角的某此类问题关键环节有两个：一是求出所求角的某 种三角函数值种三角函数值，二是确定角的范围二是确定角的范围 【思路点拨思路点拨】 本题主要考查两角差的余弦公式本题主要考查两角差的余弦公式 的综合应用的综合应用可先求出可先求出cos()的值的值，结合结合 的范围的范围，进而求出进而求出的值的值 例例3 已知已知 、 均为锐角，且均为锐角，且 sin 5 5 ，cos 10 10 ，求，求 的值的值 【解】【解】 、 均为锐角，均为锐角，cos2 5 5 ，sin3 10 10 . cos()coscossinsin
10、 2 5 5 10 10 5 5 3 10 10 2 2 . 又又 sinsin， 0 2， ， 2 0.故故 4. 【点评点评】 (1)求角问题步骤：求角问题步骤：求角的某一种三求角的某一种三 角函数值；角函数值；确定角的取值范围；确定角的取值范围；根据角的范根据角的范 围写出所求的角围写出所求的角 (2)此类问题常犯的错误是对角的范围不加讨论此类问题常犯的错误是对角的范围不加讨论， 范围讨论的程度过大或过小范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合会使求出的角不合 题意或者漏解题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角同时要根据角的范围确定取该角 的哪一种三角函数值的哪一种三角函数值 变式
11、训练变式训练 3 已知已知 、 都是锐角， 且都是锐角， 且 cos2 5 5 ， cos 3 10 10 ，求，求 . 解：解：0 2， ，0 2， ，0， 又又cos2 5 5 ， cos3 10 10 ， sin 5 5 ， sin 10 10 . cos()coscossinsin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又又0， 4. 方法感悟方法感悟 1两角差的余弦公式是本章所有公式的基础两角差的余弦公式是本章所有公式的基础， 其他公式都能由此推出其他公式都能由此推出，该公式应牢记该公式应牢记 2对公式对公式C 的理解要注重结构形式 的理解要注重结构形式，而不要而不要 局限于具体的角局限于具体的角，完全可以把完全可以把、视为视为“代号代号”， 将公式记作将公式记作cos()coscos sinsin. 3公式公式C ， ，C 要做到三用：正用拆角 要做到三用：正用拆角，逆逆 用合角用合角、变形用整体法变形用整体法
