1、路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索 人教人教B版版 必修必修3 第二章第二章 统统 计计 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 统统 计计 第二章第二章 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2.3 变量的相关性变量的相关性 2.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关 第二章第二章 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课前自主预习课前自主预习 第二章第二章 2.3 2.3.2
2、高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 恩格尔系数是如何得出的？又是如何反映生活水平的？ 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.回归分析 对具有_的两个变量进行统计分析的方法叫回归 分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的 某种确定性由一个变量的变化去推测另一个变量变化的方 法，称作_ 相关关系 回归分析 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 对于两个随机变量x和y，我们不能确定y是否随着x的增
3、大 而增大或随着x的增大而减小但如果是大量的个体，可能会 表现出一定的规律来那么，如何确定其中相关关系的细节， 我们就需要进行数据分析，与以前一样，我们可以作统计图、 表(如我们下面将要学习的散点图)通过统计图、表，可以使 我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2线性回归 (1)对于具有线性相关关系的两个变量 x 与 y，我们可以拟 合许多条直线来表达它们之间的相关关系，而这许多直线中， 最“贴近”已知 n 个观测点(xi，yi)，i1,2，n 的数据的直 线方程为y a
4、bx，称作 Y 对 x 的_，a、b叫做 _，y 表示 y 的_，相应的直线叫做回归直线 线性回归方程 回归系数 估计值 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)最小二乘法：由线性相关的两变量的散点图可确定多条 直线，其中使偏差平方和Q_，取得最小值 的那一条直线与所给数据最贴近，把这一条直线作为回归直 线，这种求回归直线的方法叫做_ i1 n (yiabxi)2 最小二乘法 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (3)用最小二乘法求回归直线系
5、数a ，b的公式： b a ，其中 x 、 y表示 n 个观测点(xi， yi)(i1,2,3，n)的坐标 x1、x2、xn和 y1、y2、yn的 样本平均数，回归直线方程为y bxa. i1 n xiyin x y i1 n x2 in x 2 y b x 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.下列有关回归直线方程y bxa叙述正确的是( ) 反映y 与 x 之间的函数关系 反映 y 与 x 之间的函数关系 表示y 与 x 之间不确定关系 表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线 A B C. D 第二章第二
6、章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 答案 D 解析 y bxa，表示y与 x 之间的函数关系，而不是 y 与 x 之间的函数关系，但它反映的关系最接近 y 与 x 之间的真 实关系，选 D. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2(2014 湖北理，4)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0 得到的回归方程为y bxa，则( ) Aa0，b0 Ba0，b0，b0.解答本题的关键是画出散点图，然后根
7、据散点 图中回归直线的斜率、截距来判断系数 b，a 与 0 的大小 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3(2015 安徽太和中学高一期末测试)已知 x、y 的统计数 据如下表： x 0 2 3 5 y 1.2 3.3 4.8 5.9 从散点图分析， y与x线性相关， 且回归直线方程为y 0.96x a，则 a( ) A1.2 B1.4 C.1.6 D1.8 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 答案 B 解析 x0235 4 2.5， y1.2
8、3.34.85.9 4 3.8 回归直线过点(x，y)，a1.4. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 4 某地区近十年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致 符合y 0.8x0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为 15 亿元，则年支出估计是_亿元 答案 12.1 解析 y 0.8x0.1， y 0.8150.112.1 亿元 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 5 工人月工资(元)与劳动生产率(千元)的回归方程为y 50 80x
9、，当劳动生产率提高 1 000 元时，工资平均提高_ 元 答案 80 解析 由回归方程的意义，即 x 每增加 1 千元，工资平 均提高 80 元 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 6.(2015 重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存 款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如 下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10 (1)求 y 关于 t 的回归方程y bta； 第二章第二章 2.3 2.3.
10、2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t6)的人民币储蓄 存款 附：回归方程y bta中， b i1 n tiyin t y i1 n t2 in t2 ，a yb t. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)列表计算如下： i ti yi t2 i tiyi 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 15 36 55 120 第二章第二章 2.3
11、2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 这里 n5，t1 n i1 n ti15 5 3，y1 n i1 n yi36 5 7.2. 又 i1 n t 2 in t 2 5553210， i1 n tiyin t y 120 537.212. 从而b 12 101.2，a yb t7.21.233.6.故所求回 归方程为y 1.2t3.6. (2)将 t6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储 蓄存款为y 1.263.610.8(千亿元) 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学
12、数学 必修必修3 课堂典例讲练课堂典例讲练 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资 料如下表： 求线性回归方程 年收入 x (万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支 出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 根据上述数据，判断家庭年收入与年饮食支出之间是否具 有线性相关关系？若有，求出回归直线方程 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3
13、 解析 以年收入为横坐标，把年饮食支出 y 的相应取值 作为纵坐标，描出如图所示散点图 由散点图可以看出，各散点在一条直线附近，且年收入越 高， 年饮食支出越高， 说明这两个变量之间具有线性相关关系 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 对前面列表中的数据进行具体计算，可列出以下表格： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 yi 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 xiyi 1.8 5.6 6.4 12 12.6 11.4
14、 12.6 14.7 17.6 23 x 6， y1.83， i1 10 x2 i406， i1 10 y2 i35.13， i1 10 xiyi117.7 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 故可得到：b i1 10 xiyi10 x y i1 10 x2 i10 x 2 117.71061.83 4061062 7.9 46 0.172， a yb x1.830.17260.800. 从而得到回归直线方程为y 0.8000.172x. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人
15、教B版版 数学数学 必修必修3 点评 用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为： (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； (2)如果散点在一条直线附近，用公式求出 a、b，并写出线 性回归方程 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 某地最近10年粮食需求量逐年上升， 下表是部分统计数据. 年份/年 2006 2008 2010 2012 2014 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y b xa. (2)利用(1)中所求出的直线方程计算该地 2
16、016 年的粮食需 求量 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)由所给数据看出，年需求量与年份间是近似直 线上升的，下面求回归直线方程为此对数据预处理见下表： 年份2010 4 2 0 2 4 需求量257 21 11 0 19 29 由预处理后的数据容易得： x0，y3.2， b 421211219429503.2 42222242502 260 40 6.5， 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 a yb x3.2. 由上述计算结
17、果知所求回归直线方程为 y 257b(x2 006)a6.5(x2006)3.2， 即y 6.5(x2006)260.2. (2)利用直线方程，可得 2016 年的粮食需求量为 6.5(20162010)260.26.56260.2299.2(万吨). 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 利用回归直线对总体进行估计 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修 费用 y(万元)，有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知，y 对 x 呈线性相关关系，试求： (1)
18、回归直线方程y bxa的回归系数b与a； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？ 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)列表： i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 4， y5； i1 5 x2 i90， i1 5 xiyi112.3 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 其
19、中，b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2 i5 x 2 112.3545 90542 12.3 10 1.23， a yb x 51.2340.08. (2)回归直线方程为y 1.23x0.08. 当 x10 时， y 1.23100.0812.30.0812.38(万元) 即估计使用 10 年时，维修费约为 12.38 万元 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 点评 本题已知y与x是线性相关关系，所以可求出回归 方程进行估计和预测否则，若两个变量不具备相关关系或它 们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程
20、也毫无意义 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2015 河北成安县一中高一月考)某车间为了规定工时定 额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作四次实验，得到 的数据如下： 零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(h) 2.5 3 4 4.5 (1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出 y 关于 x 的线 性回归方程； 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)试预测加工 10 个零件需要多少时间？ 参考公式：b i1 n xi
21、yin t y i1 n x2 in x2 ，a yb x. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)22.5334454.552.5， 2232425254， x 2345 4 3.5， y 2.5344.5 4 3.5. b 52.543.53.5 5443.52 0.7. a yb x 3.50.73.51.05. y 关于 x 的线性回归方程为y 0.7x1.05. (2)加工 10 个零件时，大约需要 0.7101.058.05 小时. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导
22、学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 在10年期间，一城市居民收入与某种商品的销 售额之间的关系见下表： 回归直线方程的应用 第几年 城市居民年收入x/(亿元) 某商品销售额y/(万元) 1 32.2 25.0 2 31.1 30.0 3 32.9 34.0 4 35.8 37.0 5 37.1 39.0 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 第几年 城市居民年收入 x/(亿元) 某商品销售额 y/(万元) 6 38.0 41.0 7 39.0 42.0 8 43.0 44.0 9 44.6 48.0 10 4
23、6.0 51.0 (1)画出散点图； (2)如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求 y 与 x 之间的回归直线方程； (3)试预测居民年收入 50 亿元时这种商品的销售额 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程 才有实际意义 (1)散点图如图所示 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近列出 表，利用计算器进行计算. 序号 x y x2 y2 xy
24、1 32.2 25.0 1 036.84 625 805 2 31.1 30.0 967.21 900 933 3 32.9 34.0 1 082.41 1 156 1 118.6 4 35.8 37.0 1 281.41 1 369 1 324.6 5 37.1 39.0 1 367.41 1 521 1 446.9 6 38.0 41.0 1 444 1 681 1 558 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 序号 x y x2 y2 xy 7 39.0 42.0 1 521 1 764 1 638 8 43.0
25、44.0 1 849 1 936 1 892 9 44.6 48.0 1 989.16 2 304 2 140.8 10 46.0 51.0 2 116 2 601 2 346 379.7 391 14 663.67 15 857 15 202.9 b i1 10 xiyi10 x y i1 10 x2 i10 x 2 15 202.9379.739.1 14 663.67 379.7 10 21 01.447， 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 a yb x 39.11.44737.9715.84， 所求回归直线方
26、程为y 1.447x15.84. (3)根据上面求得的回归直线方程，当居民年收入 50 亿元 时，y 1.4475015.8456.51(万元) 即这种商品销售额大约为 56.51 万元 点评 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出散点 图，看其是否具有线性关系，再由系数a 、b的计算公式算出a、 b ，由于计算量大，因而计算要分层次进行，认真细致，谨防计 算中产生错误 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有 害下表给出了不同类型的某种食品的数据，第一列数据表示 此种食品所
27、含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以 百分制给出的对此种食品口味的评价. 品牌 所含热量的百分比 口味纪录 A 25 89 B 34 89 C 20 80 D 19 78 E 26 75 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (1)作出这些数据的散点图； (2)求出回归直线方程； (3)关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？ (4)对这种食品，为什么人们更喜欢吃位于回归直线上方的 食品而不是下方的呢？ 品牌 所含热量的百分比 口味纪录 F 20 71 G 19 65 H 24 62 I 19 60 J 13
28、52 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)散点图如图所示： (2) x 21.9，y72.1， i1 n x2 i5 085， i1 n xiyi16 242， 则b 16 2421021.972.1 5 0851021.92 1.565， 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 a 72.11.56521.937.83. 所以回归直线方程为y 1.565x37.83. (3)由回归直线方程系数，即b 1.565，可得食品所含热量 每增
29、加 1 个百分点，口味纪录就多 1.565. (4)因为回归直线上方的食品口味好，即对相同的含量来说 口味纪录高，所以人们更喜欢吃位于回归直线上方的食品 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 易错疑难辨析易错疑难辨析 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 由一组样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn) 得到回归直线方程y bxa，那么下面说法不正确的是( ) A直线y bxa必经过点( x， y) B直线y bxa至少经过点(x1，y
30、1)、(x2，y2)、(xn， yn)中的一个点 C直线y bxa的斜率为 i1 n xiyin x y i1 n x2 in x 2 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 D直线y bxa和各点(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn)的 偏差 i1 n yi(b xia)2 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差 中偏差最小的直线 错解 A 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 辨析 选 A 是因为没有抓住回归直线y bxa中a、b的 取值及
31、意义，事实上，因为b i1 n xiyin x y i1 n x2 in x 2 ，a yb x ， 所以直线y bxa必过定点( x， y)，C 项显然正确，由回归 直线方程的推导知 D 项也正确， 只有 B 项不能确定， 可能直线 y bxa经过(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn)中的许多点，也 可能都经过或都不经过 正解 B 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 思想方法技巧思想方法技巧 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 转化思
32、想 从某一行业中随机抽取 12 家企业，所得产量与 生产费用的数据如下表： 企业编号 产量 x/台 生产费用 Y/万元 1 40 130 2 42 150 3 50 155 4 55 140 5 85 150 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 企业编号 产量 x/台 生产费用 Y/万元 6 78 154 7 84 165 8 100 170 9 116 167 10 125 180 11 130 175 12 140 185 (1)如果产量和生产费用之间是线性相关关系， 求出其回归 直线方程； (2)如果一个企业的产
33、量是 120 台，请预测它的生产费用 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)由题意，得 x 87.083 3， y160.083 3， i1 12 x2 i104 835， i1 12 xiyi173 094. 故可得到b i1 12 xiyi12 x y i1 12 x2 i12 x 2 0.42， a 160.8330.4287.083 3123.51. 故回归直线方程是y 0.42x123.51. 第二章第二章 2.3 2.3.2 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)当 x120 时，y 0.42120123.51173.91. 即如果一个企业的产量是 120 台，它的生产费用约为 173.91 万元. 点评 很多实际问题尽管没有确定的函数关系，但却存 在着线性相关关系，由部分观测值得到的回归直线方程，可以 对两个变量间的线性相关关系进行估计 ， 这实际上是将非确定 性问题转化成确定性问题来进行研究
