1、-1- 2.2.4 点到直线的距离 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.探索并掌握点到直线的距离公式. 2.探索点到直线距离的推导过程,并 体会运用解方程组的方法,构造出 (x1-x0)2+(y1-y0)2= (Ax1+By1+C)2 A2+B2 的绝妙思 路. 3.会求两条平行线之间的距离. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到
2、直线的距离 两条平行线间的距离 定义 点到直线的 垂线段的长度 夹在两平行线间的 公垂线段的长度 图示 公式 (或求法) d= |Ax1+By1+C| A2+B2 d= |C2-C1| A2+B2 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考1点P0(x0,y0)到x轴、 y轴、 与x轴平行的直线y=a(a0)、 与 y 轴平行的直线 x=b(b0)的距离 d 分别等于什么? 提示:点 P0(x0,y0)到 x 轴的距离 d=|y0|,到 y 轴的距离 d=|x0|,到与 x 轴平 行的直线 y=a(a0
3、)的距离 d=|y0-a|,到与 y 轴平行的直线 x=b(b0)的距离 d=|x0-b|. 思考 2直线 l 关于点 P 的对称直线 l与已知直线 l 的位置关 系是怎样的? 提示:直线 l 关于点 P的对称直线 l与已知直线 l 平行,且点 P 到两直线 的距离相等. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究一 点到直线的距离 1.求点 P(x1,y1)到直线 Ax+By+C=0 的距离的计算步骤: (1)给点的坐标赋值:x1=?,y1=?; (2)给 A,B,C 赋值:A
4、=?,B=?,C=?; (3)计算 d=|1+B1+C| 2+2 ; (4)给出 d 的值. 2.P(x1,y1)到几种特殊形式的直线方程的距离可以用公式求,也可以直 接写出. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题 1】 求点 P(3,-2)到下列直线的距离: (1)3x-4y+1=0; (2)y=6; (3)y 轴. 思路分析:直接利用点到直线的距离公式求解即可. 解:由点到直线的距离公式 d=|0+B0 +C| 2+2 ,得 (1)点 P(3,-2)到直线 3x-
5、4y+1=0 的距离 d=|33-4(-2)+1| 32+(-4)2 = 18 5 ; (2)点 P(3,-2)到直线 y-6=0 的距离 d=|30+(-2)1-6| 02+12 =8; (3)点 P(3,-2)到 y 轴的距离等于点 P(3,-2)到直线 x=0 的距 离,d=|31-20+0| 12+02 =3. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 点评直线方程先化为一般式 Ax+By+C=0,再使用点到直线的距 离公式 d=|0+B0+C| 2+2 不易出错,当直线与坐
6、标轴平行或重合时,不必使用点 到直线的距离公式,如点 P(3,2)到直线 x=5 与直线 y=-1 的距离分别为 2 与 3. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题 2】 求过点 A(2,1)且原点到该直线的距离为 2 的直线方程. 思路分析:对于过一点 A(2,1)的直线,应先考虑直线的斜率不存在时是 否适合,再设斜率存在时,直线的斜率为 k,利用直线的点斜式方程写出直线 方程,并化为一般式方程,最后用点到直线的距离公式求解. ZHONGDIAN NANDIAN 重
7、点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 解:(1)当过点 A(2,1)的直线的斜率不存在时,直线方程为 x=2,此时,直线 到原点的距离为 d=|x-0|=|2-0|=2,所以 x=2 适合要求. (2)当过点 A(2,1)的直线的斜率存在时,设斜率为 k, 则直线方程为 y-1=k(x-2), 化为一般式方程为 kx-y-2k+1=0. 所以原点到直线的距离为 d=|0-0-2+1| 2+1 =2, 即 |2-1| 2+1=2,整理得 4k 2-4k+1=4k2+4,所以 k=-3 4, 所以直线方程为 y-1=-3
8、 4(x-2),即 3x+4y-10=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=2 或 3x+4y-10=0. 点评过一定点求直线方程多用待定系数法,且注意验证过该点且 斜率不存在的直线是否满足题意. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究二 两条平行线之间的距离 对于两平行直线间的距离公式,应注意以下几点: (1)直线的方程必须是一般式,而且方程中 x,y 项的系数分别对应相等, 对于不同系数的应先化为相同后再求距离. (2)两条平行直线间的距离,也可以转化为在一条直线上的一个
9、点到另 一条直线的距离来求,即转化为点到直线的距离. (3)两条平行线间的距离是这两条直线上的点之间的最小距离,也就是 它们的垂线段的长. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题 3】 求与直线 l:5x-12y+6=0 平行且到 l 的距离为 2 的直线 方程. 思路分析:根据两条直线平行可设出所求直线方程 5x-12y+c=0,再根据 两直线间的距离求 c. 解法一:设所求直线的方程为 5x-12y+c=0(c6). 在直线 5x-12y+6=0 上取一点 P0 0
10、, 1 2 , 点 P0到直线 5x-12y+c=0 的距离为 -121 2+c 52+(-12)2 = |-6| 13 , 由题意得|-6| 13 =2.所以 c=32 或 c=-20. 故所求直线的方程为 5x-12y+32=0 和 5x-12y-20=0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 解法二:设所求直线的方程为 5x-12y+c=0, 由两平行直线间的距离公式得 2= |-6| 52+(-12)2, 解得 c=32 或 c=-20. 故所求直线的方程为 5x-12
11、y+32=0 和 5x-12y-20=0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究三 易错辨析 易错点:因忽视斜率不存在的情况而致误 【典型例题 4】 求经过点 P(-3,5),且与原点距离等于 3 的直线 l 的方 程. 错解:设所求直线方程为 y-5=k(x+3), 整理,得 kx-y+3k+5=0. 所以原点到该直线的距离 d=|3+5| 2+1=3. 所以 15k+8=0.所以 k=- 8 15. 故直线 l 的方程为- 8 15x-y+3 - 8 15 +5=0,即
12、 8x+15y-51=0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 错因分析:没有考虑斜率不存在的情况,用点斜式设直线方程时,必须先 弄清斜率是否存在,否则可能丢解. 正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为 y-5=k(x+3),整理,得 kx-y+3k+5=0. 所以原点到该直线的距离 d=|3+5| 2+1=3.所以 15k+8=0.所以 k=- 8 15. 故所求直线方程为 y-5=- 8 15(x+3),即 8x+15y-51=0. 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x
13、=-3 也满足题意. 故满足题意的直线 l 的方程为 8x+15y-51=0 或 x=-3. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( ) A.1 2 B.3 2 C.3 2 2 D. 2 2 解析:由点到直线的距离公式可得|1-(-1)+1| 2 = 3 2 2 . 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.已知
14、直线 3x+2y-3=0 与 6x+my+1=0 互相平行,那么它们之间的距离是 ( ) A.4 B.2 13 13 C.5 13 26 D.7 13 26 解析:因为两直线平行,所以 3m=26,即 m=4. 直线 3x+2y-3=0 可以化为 6x+4y-6=0. 由距离公式得,两平行直线的距离为 d= |-6-1| 62+42 = 7 52 = 7 13 26 . 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(-3,2)的距离最远
15、,则直线 l 的方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0 C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=0 解析:由题意知,当 l 与 AB 垂直时,符合要求, 因为 kAB= 4-2 3-(-3) = 1 3,所以直线 l 的斜率 k=-3. 所以直线 l 的方程为 y-4=-3(x-3), 即 3x+y-13=0. 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.已知定点 A(0,1),点 B 在直线 x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐 标是
16、 . 解析:可设 B(x,-x),所以 d(A,B)= 2+ (-x-1)2= 22+ 2x + 1 = 2 + 1 2 2 + 1 2,所以 d(A,B)min= 1 2 = 2 2 . 这时 x=-1 2,点 B 的坐标为 - 1 2 , 1 2 . 答案: - 1 2 , 1 2 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.已知正方形的中心为 G(-1,0),一边所在直线的方程为 x+3y-5=0,求其他三 边所在直线的方程. 分析:可从另外三条边与已知边的位置关系以及中心 G
17、到另外三边的距离 等于其到已知边的距离这两个方面入手求解另外三边所在直线的方程. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:正方形的中心 G(-1,0)到四边的距离均为 |-1-5| 12+32 = 6 10. 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为 x+3y+C1=0(C1-5), 则|-1+1| 10 = 6 10,即|C1-1|=6,解得 C1=-5(舍去)或 C1=7. 故与已知直线所在的边平行的一边所在直线的方程为 x+3y+7=0. 设正方形另一组对边所在直线方程为 3x-y+C2=0,则|3(-1)+2| 10 = 6 10, 即|C2-3|=6,解得 C2=9 或 C2=-3. 所以正方形另两边所在直线的方程为 3x-y+9=0,3x-y-3=0. 综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为 x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
