1、-1- 1.1.4 投影与直观图 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.初步了解空间图形平行投影和中心投影的原 理,初步理解平行投影的性质. 2.了解空间图形的不同表示形式,会运用斜二测 画法的规则画出水平放置的简单空间几何图形 的直观图. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.投影的概念 分 类 定义 图示 平 行 投 影 (1)已知图形 F,直线 l与平面 相交,过
2、 F上任意 一点 M 作直线 MM平行于 l,交平面 于点 M, 则点 M叫做点 M 在平面 内关于直线 l 的平行 投影(或象) (2)如果图形 F上的所有点在平面 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F,则 F叫做图形 F 在 内关于直线 l 的平行投影 中 心 投 影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这 个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.平行投影的性质 由图可知当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影具有如 下性质: (1)直线或线段直
3、线或线段. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (2)平行直线平行或重合的直线. (3)平行于投射面的线段与这条线段平行且等长. (4)平行于投射面的平面图形与这个图形全等. (5)同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的 比. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1中心投影与平行投影有何区别和联系? 提示:中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法,但应注意的是: (1)画实际效果图时
4、,一般用中心投影法.如人的视觉、照片、美术作品 等都具有中心投影的特点; (2)中心投影和平行投影的区别在于:平行投影的投射线都互相平行,中 心投影的投射线交于同一点; (3)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法,平行投影包括斜二 测画法和下节将要学习的三视图.经中心投影后的图形与原图形相比虽然 改变较多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致,最像原来的物体; (4)画立体几何中的图形时,一般用平行投影法. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2如果一个平面图形所在的平面与投射面平行,试问:
5、中 心投影后得到的图形与原图形有什么关系? 提示:若一个平面图形所在的平面与投射面平行,则中心投影后得到的 图形与原图形的关系是相似. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.直观图与斜二测画法 (1)概念. 当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时, 一个空间图形在投射面上的平行投影(平面图形)可以形象地表示这个空间 图形.像这样用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图. (2)空间图形的直观图画法:斜二测画法. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIA
6、N NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (3)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤是: 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图 时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=45 (或135 ), 它们确定的平面表示水平面. 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x轴或 y轴的线段. 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y 轴的线段,长度为原来的一半. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG
7、LIANXI 随堂练习 (4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤: 在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再作 Oz 轴,使xOz=90 ,yOz=90 . 画出与轴 Ox,Oy,Oz 对应的轴 Ox,Oy,Oz,使xOy=45 (或 135 ),xOz=90 ,xOy所确定的平面表示水平平面. 已知图形中,平行于 x 轴、 y 轴和 z 轴的线段,在直观图中分别画成平 行于 x轴、y轴和 z轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知 图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平 行于 y 轴的线
8、段,长度为原来的一半. 擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3画一个水平放置的正三角形的直观图,如何建系最合 理? 提示:如图所示,建系时一是要考虑正三角形的对称性,二是尽量使三个 顶点都落在坐标轴上. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 4某个确定的几何体的直观图唯一吗? 提示:不唯一,作直观图时,由于建系不同画出的直观图也有所不同. 特别提醒
9、平面图形用其直观图表示时,一般说来,不变的 有: (1)平行关系不变; (2)点的共线性不变; (3)线的共点性不变; 变化的有: (1)角的大小有变化(特别是垂直关系有变化); (2)有些线段的度量关系也发生变化. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 平行投影性质的应用 1.在应用平行投影性质时,要注意投射线、 投射面之间的位置关系,尤其 不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形. 2.常见图形的平行投影 图形 图形的平行投影 点 是一个点 线段 是线段
10、或一个点 线段的中点 是一个点(包括投影的线段的中点) 直线 是直线或一个点 平行直线 是两条平行直线,或重合为一条直线,或是两个点 平面图形 当平面图形与投射线不平行时,投影与原图形相似(包括全等) ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 下列四个命题: 矩形的平行投影一定是矩形; 梯形的平行投影一定是梯形; 两条相交直线的平行投影可能平行; 如果一个三角形的平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投 影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线
11、. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:当投射线与投射面垂直,矩形所在平面与投射面平行时,矩形的平 行投影是矩形;当投射线与矩形所在平面平行时,投影是一条线段;当投射线 与矩形不平行,矩形所在平面与投射面不平行时,其投影一般情况下为平行 四边形,错误;当投射线与梯形所在平面平行时,投影是一条线段;当梯形 所在平面与投射线不平行时,梯形的平行投影一定是梯形,错误;当投射线 与两相交直线所在平面平行时
12、它的投影是一条直线;当投射线与两相交直 线确定的平面不平行时,它的投影仍是两条相交直线,错误;“一个三角形 的平行投影仍是三角形”,说明投射线与三角形所在的平面不平行,故可以 用平行投影的性质“在平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段 的比”来判断,是正确的. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 画平面图形的直观图 1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置. 2.建立平面直角坐标系时,结合图形的结构特征,尽量使原平面图形
13、的 顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上. 3.原图中不与 x 轴或 y 轴平行的线段,可以先作坐标轴的平行线为辅助 线画出其端点然后再连线. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 画出水平放置的等腰梯形的直观图. 思路分析:根据斜二测画法的规则,首先在原来的等腰梯形中建立平面 直角坐标系,要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上,这样作起图来较为方 便,然后按横线相等,竖线是原来的一半的原则,作出对应的各个顶点,连线 即成. 画法: ZHONGDIAN
14、 NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (1)如图,取 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点,建立直角坐标系, 画对应的坐标系 xOy,使xOy=45 . (2)以 O为中点在 x轴上取 AB=AB,在 y轴上取 OE=1 2OE,以 E为中点 画 CDx轴,并使 CD=CD. (3)连接 BC,DA,并擦去辅助线 x轴和 y轴及 O点、E点,所得的四边 形 ABCD就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图,如图. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页
15、JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 画空间图形的直观图 1.画棱柱、棱锥直观图的步骤: (1)画轴:通常以高所在直线为 z 轴建系. (2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面. (3)确定顶点:利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确定有关顶点. (4)成图:擦去辅助线,连线成图. 2.画棱台的直观图的四个步骤: (1)画轴:通常以高所在直线为 z 轴建系. (2)画下底面. (3)画高,画上底面. (4)连线成图. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础
16、知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 有一个正三棱锥,底面边长为 3 cm,高为 3 cm,画出这 个正三棱锥的直观图. 思路分析:根据斜二测画法,先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观 图,再确定出正三棱锥的顶点即可. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)先画出边长为 3 cm 的正三角形水平放置的直观图,如图所示; (2)过正三角形的中心 O建立 z轴,画出正三棱锥的顶点 V,使 VO
17、=3 cm,连接 VA,VB,VC,如图所示; (3)擦去辅助线,被遮住部分用虚线表示,得到正三棱锥的直观图,如图 . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到,应该掌握正棱 锥直观图的画法思路,以便在今后的学习中,可以较快、较准确地画出正棱 锥的草图.画草图的步骤为:画底面、找底面的中心、作高连线. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂
18、练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 直观图的还原 直观图的还原其实是画直观图的逆过程,只要明确角与边的转化关系, 即可简化解答相关问题. (1)角的关系: 原图形 斜二测直观图形 xOy=90xOy=45 (或 135 ). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)长度关系: 与 x 轴平行的线段画后对应线段; 与 y 轴平行的线段画后对应线段. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUI
19、TANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 (1)水平放置的ABC 的斜二测 直观图如图所示,已知 AC=3,BC=2,则 AB 边上的中 线的实际长度为 . 解析:分析易知ABC 为以C 为直角的直角三 角形,且 AC=3,BC=22=4,所以 AB=5,故 AB 边上的中线长为5 2. 答案:5 2 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)已知ABC 的平面直观图ABC是边长为 a 的正三角形,那么原 ABC
20、 的面积为 . 解析:如图所示,过 C作 y轴的平行线 CD,与 x轴交于点 D, 则 CD= 3 2 a sin45 = 6 2 a. 又 CD是原ABC 的高 CD 的直观图, 所以 CD= 6a,故 SABC=1 2ABCD= 6 2 a2. 答案: 6 2 a2 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:混淆了直观图与平行投影的区别而致误 【典型例题 5】 关于利用斜二测画法画直观图有以下结论: 三角形的直观图是三角形; 平行四边形的
21、直观图是平行四边形; 正方形的直观图是正方形; 菱形的直观图是菱形. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错解:A 错因分析:混淆了直观图与平行投影的区别,直观图是利用平行投影的 性质画出来的一种能反映原物体整体特征的图示,而平行投影的情况就较 多了. 正解:正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质,即 不正确,故选 C. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU Z
22、HISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 1.下列图形中采用中心投影画法的是( ) 解析:中心投影的线一定要交于一点,以表示点光源. 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 2.有下列命题: 正方形的平行投影一定是菱形; 平行四边形的平行投影一定是平行四边形; 三角形的平行投影一定是三角形. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:若平面图形所在平面与投射线平行,则上述三个命题中的平面图形的 平行投
23、影都是线段,可知三个命题都不是真命题.故选 A. 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 3.关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A.原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于 x轴,长度不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y轴,长度变为原来的1 2 C.画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 xOy时,xOy必须是 45 D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 解析:画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 xOy时,xOy
24、也可以是 135 ,所 以 C 项不正确. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 4.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形是下图中的( ) 解析:根据斜二测画法的规则:平行于 x 轴或在 x 轴上的线段的长度在新坐 标系中不变,在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的 1 2,并注意到xOy=90 ,xOy=45 ,因此由直观图还原成原图形为选项 C. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识
25、ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 5.当投射线与投射面垂直时,一个等腰直角三角形在一个平面内的投影可 能是 .(把你认为正确的序号都填上) 等腰直角三角形;直角非等腰三角形;钝角三角形;锐角三角形; 线段. 解析:当等腰直角三角形所在平面与投射面平行时,得到的投影是与其全等 的一个等腰直角三角形;当一条直角边放在投射面内时得到的就是直角非 等腰三角形;当直角顶点在投射面内,斜边与投射面平行,但三角形所在平面 不与投射面垂直时,得到的就是一个钝角三角形;当等腰直角三角形底边的 一个端点在平面内,另一条腰与投射面不平行时,得到的投影是锐角三角形; 当等腰直角三角
26、形所在平面与投射面垂直时,得到的投影图形就是一条线 段. 答案: SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 6.画出一个角是 45 的平行四边形的直观图. 解:如图,四边形ABCD 是以A 为45 的平行四边形,以AB所在的直线为 x 轴,以过点 D 且与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立直角坐标系.画出对应的 x 轴和y轴,使xOy=45 ,如图,在x轴上截取OA=OA,OB=OB,在y轴上 截取 OD=1 2OD,经过点 D作 DCx轴,且使 DC=DC.连接 AD,BC,擦去 辅助线所得四边形 ABCD即是所给平面图形的直观图,如图.
