1、2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 图形图形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 2 2 0 ypx (p) 2 2 0 xpy (p) 2 2 0 xpy (p) 2 p (0) ， 2 p (0,) 2 p (0,) 2 2 0 ypx (p) 2 p (0)， 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可 以讨论抛物线的哪些几何性质？以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【思考思考】 1.1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；掌握抛物线的范围、对称性、顶点、
2、离心率等几何性质； （重点）（重点） 2 2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基 础上列表、描点、画抛物线图形；础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点）（重点、难点） 3 3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . . 抛物线有许多重要性质抛物线有许多重要性质. .我们根据抛物线的我们根据抛物线的 标准方程标准方程 研究它的一些简单几何性质研究它的一些简单几何性质. . 探究点探究点1 1 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 ）（1 )0(2 2 ppxy
3、1.1.范围范围 因为因为p0，由方程（，由方程（1）可知，对于抛物线）可知，对于抛物线 （1）上的点）上的点M (x，y)，x0，所以这条抛物线在，所以这条抛物线在y 轴的右侧，开口方向与轴的右侧，开口方向与x轴正向相同轴正向相同; 当当x的值增大时，的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向也增大，这说明抛物线向 右上方和右下方无限延伸右上方和右下方无限延伸 2.2.对称性对称性 以以y代代y，方程，方程（1）不变，所以这条抛物线不变，所以这条抛物线 关于关于x轴对称轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做我们把抛物线的对称轴叫做抛物线抛物线 的轴的轴 3.3.顶点顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛
4、物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.在在 方程（方程（1）中，当）中，当y=0时，时，x=0，因此抛物线（，因此抛物线（1） 的顶点就是坐标原点的顶点就是坐标原点 4.4.离心率离心率 抛物线上的点抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的与焦点的距离和它到准线的 距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用，用e表示由抛表示由抛 物线的定义可知，物线的定义可知，e=1 x y O F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的过焦点而垂直于对称轴的 弦弦ABAB，称为抛物线的，称为抛物线的通径通径. . 利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、 通径通径的两个端点可
5、较准的两个端点可较准 确画出反映抛物线基本确画出反映抛物线基本 特征的草图特征的草图. . p p , 2 (,) 2 p p |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大. 5.5.通径通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛 物线的物线的焦半径焦半径. 焦半径公式：焦半径公式： x y O F P 6.6.焦半径焦半径 0 p PFx. 2 方程方程 图图 形形 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F
6、y x O l F y x O l F y x O x0 yR x0 yR xR y0 y0 xR l F y x O 关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于 关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 （0,0） e=1 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线；无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率抛物线
7、的离心率e是确定的，为是确定的，为; (5)抛物线的通径为抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大越大，抛物线的张口越大. 【提升总结提升总结】 解：解：因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点点，并且经过点M M（，（， ），所以，可设它的标），所以，可设它的标 准方程为准方程为 2 2 2 y2px(p0), 因为点因为点M M在抛物线上，所以在抛物线上，所以 2 ( 2 2)22,p 因此因此, ,所求抛物线所求抛物线的的标准方程标准方程是是 2 4 .yx 【例例】已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点为坐标
8、轴对称，它的顶点为坐标 原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，（， ），求它的标准方程），求它的标准方程. . 2 2 即即p =2.p =2. 2 214yxF, A,BAB. l 【例例 】斜斜率率为为的的直直线线 经经过过抛抛物物线线的的焦焦点点且且与与 抛抛物物线线相相交交于于两两点点，求求线线段段的的长长 分析：分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标， 又直线又直线l的斜率为的斜率为1 1，所以可以求出直线，所以可以求出直线l的方程；的方程； 与抛物线的方程联立，可以求出与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；两点的坐标； 利用两点间的
9、距离公式可以求出利用两点间的距离公式可以求出AB.这种方这种方 法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算. 下面，我们介绍另外一种方法下面，我们介绍另外一种方法数形结合的方法数形结合的方法. 1122 1 1 2 1 1 1 AA A B A(x ,y ),B(x ,y ). AF AAA .AA d ,dx,AF dx.BFBB dx, 如如图图，设设 由由抛抛物物线线的的定定义义可可知知，等等于于 点点 到到准准线线的的距距离离设设 而而于于是是 同同理理， 于于是是得得 12 2ABAFBFxx. 12 A,Bxx , AB . 由由此此可可见见，只只
10、要要求求出出点点的的横横坐坐标标之之和和 就就可可以以求求出出 x y O F A B B A 1 2 1 1 A B AFdx, BFdx, 12 2ABAFBFxx.于于是是 1 0 1 F( , ), AB yx. (1) 由由已已知知得得抛抛物物线线的的焦焦点点为为 所所以以直直线线的的方方程程为为 211 01 2 p p, F( , ), :x.l 由由意意可可知知，焦焦解解：准准 1122 AB A(x ,y ),B(x ,y ),A,B ld ,d . 如如图图，设设 到到准准线线 的的距距离离分分别别为为由由抛抛 物物线线的的定定义义可可知知 题题 点点 线线 l x y O
11、 F A B B A 22 1414yx, (x)x,将将（ ）代代入入方方程程得得 2 610xx.化化简简得得 12 6xx. 利利用用根根与与系系数数的的关关系系可可以以 直直接接求求出出 8AB.所所以以，线线段段的的长长是是 12 32 232 2 x,x, 由由求求根根公公式式得得 12 28ABxx.于于是是 还可以如何还可以如何 求求x1+x2? 分析：分析：运用抛物运用抛物 线的定义和平面线的定义和平面 几何知识来证比几何知识来证比 较简捷较简捷 x y OF B A x y OF B AD C x y E OF B AD C H x y E OF B AD C H x y
12、E OF B AD C H x y E OF B AD C H x y E OF B AD C H 如上题，求证：以如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准为直径的圆和抛物线的准 线相切线相切 x y E OF B AD C H 所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的 圆圆E的半径，且的半径，且EHl，因而圆，因而圆 E和准线和准线l相切相切 证明：证明：如图，设如图，设AB的中点为的中点为E，过，过A，E，B分别向准分别向准 线线l引垂线引垂线AD，EH，BC，垂足分别为，垂足分别为D，H，C， 则则AFAD，BFBC AB AFBF ADBC =2EH D 1. （20132013四川
13、高考）四川高考）抛物线 2 8yx 的焦点 到直线 30xy 的距离是（ ） A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 1 2 2.已知点已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则p = . 2 2(0)ypx p 4 3 3.已知直线已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A，B两两 点，那么线段点，那么线段AB的中点坐标是的中点坐标是 . 2 4yx (4,2) 4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛 物线的焦点处物线的焦点处.已知灯口圆的直径为已知灯口圆的直径为60 cm，灯深，灯深40
14、cm， 建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置. x y O B A(40,30) 所在平面内建立直角所在平面内建立直角 坐标系坐标系,使反射镜的使反射镜的 顶点与原点重合顶点与原点重合, x轴轴 垂直于灯口直径垂直于灯口直径. 解：解：在探照灯的轴截面在探照灯的轴截面 设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为:y:y2 2=2px=2px（p p0 0），）， 由条件可得由条件可得A (40,30),A (40,30), 代入方程得代入方程得: 30302 2=2p=2p 4040 解得解得: p= 45 . 4 故所求抛物线的标准方程为故所求抛
15、物线的标准方程为: y2= x, 2 45 焦点为焦点为( ,0) 8 45 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也 可以无限延伸，但没有渐近线；可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于抛物线的离心率是确定的，等于. 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 1. 范围：范围： 2. 对称性：对称性： 3. 顶点：顶点： 4. 离心率：离心率： 目标的坚定是性格中最必要的力量源 泉之一，也是成功的利器之一。没有它， 天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.
