1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 定义：定义： 既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法： 用有向线段表示用有向线段表示. . 字母表示法：字母表示法： 用字母用字母a a, ,b b等或者等或者用有向线段用有向线段 的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示 ABAB 相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 A B C D 引入引入 复习平面向量复习平面向量 向量的加法：向量的加法： 平行四边形法则平行四边形法则 三角形法则三角形法则( (首尾
2、相连首尾相连) ) 平面向量的加减法运算平面向量的加减法运算 b a ab ab b a 向量的减法向量的减法 三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点 b a ab 看下面建筑看下面建筑 这个建筑钢架这个建筑钢架 中有很多向量，但中有很多向量，但 它们有些并不在同它们有些并不在同 一平面内一平面内这就这就 是我们今天要学习是我们今天要学习 的空间向量的空间向量. 1. 1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. . 2. 2. 了解空间向量的概念了解空间向量的概念. . 3. 3. 掌握空间向量的加减运算掌握空间向量
3、的加减运算. . （重点）（重点） 1. 1. 空间向量空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量（空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的长度长度或或模模 (modulus). 探究点探究点1 1 概念概念 2. 2. 空间向量的表示空间向量的表示 A B 向量向量 的起点是的起点是 A，终点是，终点是B，则向量，则向量 也可以记作也可以记作AB，其，其 模记为模记为| |或或|AB| a a a a （1 1）我们规定，长度为）我们规定，长度为0 0的向量叫做零向量的向量叫做零向量 （zero ve
4、ctorzero vector），记为），记为 . .当有向线段的起点当有向线段的起点A A与与 终点终点B B重合时，重合时，ABAB= = . . （2 2）模为）模为1 1的向量称为单位向量（的向量称为单位向量（unit unit vectorvector）. . （3 3）两个向量不能比较大小，因为决定向量）两个向量不能比较大小，因为决定向量 的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大 小小. . 提升总结提升总结 0 0 3. 3. 相反向量相反向量 与向量与向量 长度相等而方向相反的向量长度相等而方向相反的向量, 称为称为 的相反向量，记为
5、的相反向量，记为 . 4. 4. 相等向量（相等向量（equal vectorequal vector） 方向相同且模相等的向量称为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量. a aa （1 1）空间的一个平移就是一个向量）空间的一个平移就是一个向量. . （2 2）向量一般用有向线段表示）向量一般用有向线段表示, ,同向等长的同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量有向线段表示同一或相等的向量 . . （3 3）空间的两个向量可用同一平面内的）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示两条有向线段来表示. . 提升总结提升总结 结论：结论：空间任意两个向量都是共面向量，空间任意两个
6、向量都是共面向量， 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示. b A O B a b a 1. 1. 空间向量的加减运算空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同的加减运算相同. . A o a b B 探究点探究点2 2 空间向量的加减运算空间向量的加减运算 a o A B C 加法加法: OB=OA+AB=a+b: OB=OA+AB=a+b， 减法：减法：CA=OACA=OA- -OC=aOC=a- -b.b.
7、 2. 2. 空间向量的加法运算律空间向量的加法运算律 （1 1）加法交换律加法交换律 a + b = b + a （2 2）加法结合律加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 你能证明你能证明 下列性质吗？下列性质吗？ 证明加法交换律证明加法交换律: : a a o A B C 因为因为 OA = CB = a， AB = OC = b， 所以所以 a + b = b + a. 证明加法结合律证明加法结合律: : a b c A B C O 因为因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c), 所以
8、所以 (a + b) + c = a + (b + c). (1)(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广. . (2)(2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立成立. . (3)(3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加相加. . 3.3.对空间向量的加减法的说明对空间向量的加减法的说明 4.4.扩展扩展 （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的量起始向量的起点指向末尾向量的终点的量 即：即： 1
9、22334n 1n1n A AA AA AAAA A （2 2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量即：形，则它们的和为零向量即： 122334n1 A AA AA AA A0 例例 已知平行六面体已知平行六面体ABCDABCD- -A A B B C C D D ，化简下列向量，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量表达式，并标出化简结果的向量. A B C D A B C D .(1)ABBC .(2)ABADAA BCAB AC 解解: : A B C D A B C D (2)ABADAA ACAA CCAC AC . . .
10、. 提升总结提升总结 始点相同的三个不共面向量之和，等于始点相同的三个不共面向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的体对角线所表示的向量点为始点的体对角线所表示的向量. . 1.1.给出以下命题：给出以下命题： （1 1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同. . （2 2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 . . （3 3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 . . （4 4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ， 则则 . . （5 5）空间中任意两个单位向量必相等）空间
11、中任意两个单位向量必相等. . 其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 ab，ab | |ab 11111111 ABCD-A B C DABCD-A B C D 1111 AC = A CAC = A C m n p, , m = n,n = pm = n,n = p mp C C 2.给出以下几种说法：给出以下几种说法： 若若| a | b |，则，则a，b的长度相同，方的长度相同，方 向相同或相反向相同或相反; 若向量若向量a是向量是向量b的相反向量， 则的相反向量， 则|a|b|; 空间向量的减法满足结合律空间
12、向量的减法满足结合律; 在四边形在四边形 ABCD 中，一定有中，一定有AB AD AC . . 其中正确说法的序号是其中正确说法的序号是_ 答案：答案： 3.（2013福建高二检测）空间两向量 , a b 互为 相反向量，已知向量| | 3b ，则下列结论正确的 是（ ） Aa b Bab为实数 0 Ca与b方向相同 D| | 3a D D 提升总结提升总结 1.1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向 不确定，即两个向量不确定，即两个向量( (非零向量非零向量) )的模相等是两个向的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件量相等的必要不充分条件
13、 2.2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键 一、回顾本节课你有什么收获？一、回顾本节课你有什么收获？ 1.1.空间向量的概念空间向量的概念. . 在空间，具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量. . 2.2.空间向量的加减运算空间向量的加减运算. . 空间向量的加减运算应用三角形法则和平空间向量的加减运算应用三角形法则和平 行四边形法则行四边形法则. . 3.3.空间向量的加法符合交换律，结合律空间向量的加法符合交换律，结合律. . 4.4.平面向量与
14、空间向量平面向量与空间向量. . 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，空间任意两个向量都可平移到同一个平面内， 成为同一平面内的向量成为同一平面内的向量. . 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们面向量中有关结论仍适用于它们. . 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 定义定义 表示法表示法 向量的模向量的模 aABABa a AB aAB 平面向量平面向量 空间向量空间向量 具有大小和方向的量具有大小和方向的量 在空间，具有大小和方在空间，具有大小和方 向的量向的量 几何表示法几何表示法 几何表示法几何表示法 字
15、母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 二、空间向量的基本概念二、空间向量的基本概念 相等向量相等向量 相反向量相反向量 单位向量单位向量 零向量零向量 平面向量平面向量 空间向量空间向量 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量 模为模为1 1的向量的向量 模为模为1 1的向量的向量 长度相等且方向长度相等且方向 相反的向量相反的向量 长度相等且方向长度相等且方向 相反的向量相反的向量 方向相同且模相等的方向相同且模相等的 向量向量 方向相同且模相等的向方向相同且模相等的向 量量 平面向量平面向量 空间向量空间向量 加法减法运算加法减法运算 加法：三角形法则或平行四加法：三角形法则或平行四 边形法则边形法则 减法：三角形法则减法：三角形法则 运算律运算律 加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律 加法加法: :三角形法则或三角形法则或 平行四边形法则平行四边形法则 减法减法: :三角形法则三角形法则 abba (ab)ca(bc) abba加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律 abcabc()() 三、空间向量的加法、减法运算三、空间向量的加法、减法运算 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因 拼搏而前行.
