1、3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示 . 如如果果两两个个向向量量a,ba,b不不共共线线，则则向向量量p p与与向向量量a,ba,b 共共面面的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数对对x x，y y，使使 p pxaxaybyb 共线向量定理共线向量定理: : 共面向量定理共面向量定理: : . 0对对空空间间任任意意两两个个向向量量a,a, （b bb b ）， a/ba/b的的 充充要要条条件件是是存存在在实实数数 ，使使a ab b 1212 1 1 1212212122 1212 如如果果e e， e e 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线向向量量， 那那么么
2、对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有 一一对对实实数数 ， ，使使a a e e e .e . （e e 、 e e 叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组基基底底） 平面向量基本定理：平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 x y o a j i axiy j (1,0),(0,1),0(0,0).ij 1.1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题一些几何问题. .（重点）（重点） 2.2.用基底表示已知向量用基底表示已知向量. .(
3、(难点难点) ) 3.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. . 4.4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系 中写出向量的坐标中写出向量的坐标. . 向量 如如图图，设设i,j,ki,j,k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量， 且且有有公公共共起起点点O.O.对对于于空空间间任任意意一一个个向向量量p = OP,p = OP, 设设点点Q Q为为点点P P在在i,ji,j所所确确定定的的平平面面上上的的正正投投影影， 由由平平面面基基本本定定理理可可知知， 在在OQ,kOQ,k所所确确定定的
4、的平平面面上上， 存存在在 探探究究点点1 1 实实数数z z，使使得得OP = OQ+zk,OP = OQ+zk, 而而在在i,ji,j所所 空空间间向向量量 确确定定的的 基基本本定定理理 平平面面上上， x y z k i j Q P O 由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可知知，存存在在 有有序序数数对对 x,yx,y ， 使使得得OQ = xi+yj.OQ = xi+yj. 从从而而OP = OQ+zk = xi+yj+zk.OP = OQ+zk = xi+yj+zk. 如如果果i,j,ki,j,k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量， 那那么么，对对空空间间任任一一
5、个个向向量量p p， 存存在在一一个个有有序序实实数数组组 x,y,z ,x,y,z , 使使得得p = xi+yj+zk.p = xi+yj+zk. xi,yj,zkxi,yj,zk为为向向量量p p在在i,j,ki,j,k上上的的分分向向量量. . 实 个个对对间间 实实数数组组 间间 间间 a,b,c p, , pab p|pabc c , . , ,R x y z xy x z xyzy z 如如果果三三向向量量不不共共面面，那那么么空空 任任一一向向量量存存在在有有序序 使使得得 空空向向量量基基本本定定理理： 空空所所有有向向量量的的集集合合 a,b,ca,b,c间间个个基基叫叫做
6、做空空的的一一，都都叫叫向向量量. .基基做做底底 在在空空间间中中，如如果果用用任任意意三三个个不不共共面面 向向量量a,b,ca,b,c代代替替两两两两垂垂直直的的向向量量i,j,i,j, 探探 k,k,能能得得到到类类似似 的的 究究 结结论论 点点 吗吗？ 2 2 123123 1212 123123 3 3 设设为为有有公公共共起起点点O O的的三三个个两两两两垂垂直直的的 单单位位向向量量 我我们们称称它它们们为为单单位位， 以以e e，e e ，e e 的的公公共共起起点点O O为为原原点点， 分分别别以以e e，e e ，e e 的的方方向向为为x x轴轴，y y轴轴，z z轴
7、轴的的正正 方方向向建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系Oxyz.Oxyz.那那么么对对于于空空间间 任任意意一一个个向向量量 ，一一定定可可以以把把它它平平移移，使使它它的的 起起点点与与原原 e e，e e 点点O O重重 ， 合合，得得到到向向量量 e e 正正交交基基底底 p p OP = p.OP = p.由由 . 123123 123123 空空间间向向量量基基本本定定理理可可知知，存存在在有有序序实实数数组组 xx，y y，zz，使使得得 我我们们把把x x，y y，z z称称作作向向量量p p在在单单位位正正交交基基底底 p pxexeyeye ze ze e e，e e ，e
8、 e p =(xp =(x，y y， 此此时时向向量量p p的的坐坐标标恰恰是是点点P P在在空空间间直直角角坐坐标标系系OxyzOxyz 中中的的坐坐标标 x,yx,y 下下的的坐坐标标 ,z,z ，记记作作z).z). 由由空空间间向向量量基基本本定定理理可可知知，空空间间任任意意一一个个向向量量 都都可可以以用用三三个个不不共共面面的的向向量量表表示示出出来来. . B A N C O M Q P . 1212 OP = OM + MP =OA+MNOP = OM + MP =OA+MN 2323 121121 =OA+ (ON-OA)=OA+ (ON-OA) 232232 111111
9、 =OA+OB+OC=OA+OB+OC 3333 解解 6 6 : : . 如如图图，M M，N N分分别别是是四四面面体体OABCOABC的的 边边OAOA，BCBC的的中中点点，P P，Q Q是是MNMN的的三三等等分分点点. . 用用向向量量 OA,OB,OCOA,OB,OC表表示示OPOP和和OQOQ 例例1.1. B A N C O M Q P . OQ = OM + MQOQ = OM + MQ 1111 =OA+MN=OA+MN 2323 111111 =OA+ (ON-OA)=OA+ (ON-OA) 232232 1111111111 =OA+ (OB+OC)=OA+OB+OC
10、=OA+ (OB+OC)=OA+OB+OC 3636636366 例例 2 2如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDABCDA AB BC CD D，点，点 E E是上底面是上底面A AB BC CD D的中心，求用的中心，求用ABAB ， ，ADAD ， ，AAAA 为为 基底表示基底表示BDBD - - ，AEAE - -. . 1 2 11 . 22 AEAAA EAAA BA D ABADAA A A 1.(20131.(2013曲阜高二检测曲阜高二检测) )设设O O- -ABCABC是四面是四面 体，体，G G1 1是是ABCABC的重心，的重心，G G是是OGOG1 1上的一点
11、，上的一点， 且且OGOG3 3GGGG1 1. .若若OGx xOAy yOBz zOC，则，则 ( (x x，y y，z z) )为为( ( ) ) A A( (1 1 4 4， ，1 1 4 4， ，1 1 4 4) ) B B ( (3 3 4 4， ，3 3 4 4， ，3 3 4 4) ) C C( (1 1 3 3， ，1 1 3 3， ，1 1 3 3) D ) D( (2 2 3 3， ，2 2 3 3， ，2 2 3 3) ) 2. 2. 设设x = a+b,y = b+c,z = c+a,x = a+b,y = b+c,z = c+a,且且a,b,ca,b,c 是是空空间
12、间的的一一个个基基底底, ,给给出出下下列列向向量量组组 a,b,x; a,b,x; x,y,z; x,y,z; b,c,z; b,c,z; x,y,a+b+c.x,y,a+b+c. 其其中中可可以以作作为为空空间间的的基基底底的的向向量量组组 有有 ( ) ( ) A.1A.1个个 B.2 B.2个个 C.3 C.3个个 D.4 D.4个个 C C 3.3.以以下下四四个个命命题题中中正正确确的的是是( ( ) ) A A空空间间的的任任何何一一个个向向量量都都可可用用三三个个给给定定向向量量表表示示 B B若若aa，b b，cc为为空空间间的的一一个个基基底底，则则a a，b b，c c全
13、全 不不是是零零向向量量 C C若若向向量量a ab b，则则a a，b b与与任任何何一一个个向向量量都都不不能能构构 成成空空间间的的一一个个基基底底 D D任任何何三三个个不不共共线线的的向向量量都都可可构构成成空空间间的的一一个个基基底底 B B 4 4已已知知空空间间四四边边形形OABCOABC，M M，N N分分别别是是OAOA，BCBC的的中中点点， 且且OAOAa a， OBOBb b， OCOCc c，用用a a，b b，c c表表示示向向量量MNMN为为 ( ( ) ) 111111111111 A. a+b+c B. a-b+c A. a+b+c B. a-b+c 222
14、222222222 111111111111 C C -a+b+c D.-a+b-c-a+b+c D.-a+b-c 222222222222 C C 5如图，在正方体如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中建立空间直角中建立空间直角 坐标系，若正方体的棱长为坐标系，若正方体的棱长为 1，则，则1 AC 的坐标的坐标 为为 ， 1 CD 的坐标为的坐标为 (1,1(1,1，1)1) ( (1,0,1)1,0,1) 1.1.选定空间不共面的三个向量作为基向量选定空间不共面的三个向量作为基向量, ,并用并用 它们表示出指定的向量它们表示出指定的向量, ,是用向量解决立体几何是用向量解决立体几何 问题的基本要求问题的基本要求. . 2.2.求解时要结合已知和所求观察图形求解时要结合已知和所求观察图形, ,联想相关联想相关 的运算法则和公式的运算法则和公式, ,就近表示所需向量就近表示所需向量, ,再对照目再对照目 标进行调整标进行调整, ,直到符合要求直到符合要求. . 每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
