1、3.43.4 基本不等式基本不等式: :ab 2 ab 第一课时第一课时 基本不等式基本不等式 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握基本不等式掌握基本不等式, ,明确基本不等式成立的条件明确基本不等式成立的条件. . 2.2.了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程. . 3.3.会用基本不等式证明一些简单的不等式会用基本不等式证明一些简单的不等式. . 4.4.能用基本不等式比较代数式的大小能用基本不等式比较代数式的大小. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 两个不等式两个不等式 不等式不等式 内容内容 等号成立条件等号成立条件 重要不等重要不等 式
2、式 a a 2 2+b +b 2 2 2ab(a,b2ab(a,bR R) ) “a=ba=b”时取“”时取“= =” 基本不等基本不等 式式 0,0 2 ab abab “a=b”a=b”时取“时取“=”=” 自我检测自我检测 D D 1.(1.(基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件) )不等式不等式 a a 2 2+ + 2 4 a 4 4 中中, ,等号成立的条件是等号成立的条件是( ( ) ) (A)a=4(A)a=4 (B)a= (B)a=2 (C)a=(C)a=- -2 (D)a=(D)a=2 解析解析: :当且仅当当且仅当 a=a= 2 a , ,即即 a=a=2时等号成立时
3、等号成立. .故选故选 D.D. 2.(2.(基本不等式的直接应用基本不等式的直接应用) )设设 00,即即aba,a,故选故选 B.B. 解析解析: :由不等式由不等式 a a 2 2+b +b 2 2 2ab2ab 可知可知,m,m 2 2+ + 2 1 m 2m2m 1 m =2,=2, 当且仅当当且仅当 m=m=1 1 时等号成立时等号成立. . 3.(3.(比较大小比较大小) )若若 m m0,0,则实数则实数 m m 2 2+ + 2 1 m 与与 2 2 的大小关系为的大小关系为 . . 答案答案:m:m 2 2+ + 2 1 m 2 2 4.(4.(基本不等式的直接应用基本不等
4、式的直接应用) )若若 a1,b1,a1,b1,则则 logloga ab+logb+logb ba a . . 解析解析: :因为因为 a1,b1,a1,b1,所以所以 logloga ab0,logb0,logb ba0,a0,于是于是 logloga ab+logb+logb ba a 2 2loglog ab ba=2,=2,当且仅当当且仅当 logloga ab=logb=logb ba,a,即即 a=b1a=b1 时等号成立时等号成立. . 答案答案: :2 2 5.(5.(利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式) )设设 a,b,ca,b,c(0,+(0,+),),且且
5、 a+b+c=1,a+b+c=1,求证求证: : ( ( 1 a - -1 1)()( 1 b - -1 1)()( 1 c - -1 1) )8.8. 证明证明: :因为因为 a+b+c=1,a+b+c=1,所以所以( ( 1 a - -1 1)()( 1 b - -1 1) )（ 1 c - -1 1） = =（ abc a - -1 1）（）（ abc b - -1 1）( ( abc c - -1 1) ) = =( ( b a + + c a )()( a b + + c b )()( a c + + b c ) )= = a c + + b c + + b a + + c a +
6、+ a b + + c b +2=+2=( ( b a + + a b ) )+ +( ( c b + + b c ) )+(+( c a + + a c ) )+2.+2. 因为因为 a,b,ca,b,c(0,(0,+ +),),所以所以 a b + + b a 2,2, c b + + b c 2,2, c a + + a c 2.2. 所以所以( ( a b + + b a ) )+ +( ( c b + + b c ) )+ +( ( c a + + a c ) )6.6. 所以所以( ( 1 a - -1)1) ( ( 1 b - -1 1)()( 1 c - -1 1) )8,8,
7、当且仅当当且仅当 a=b=c=a=b=c= 1 3 时时, ,等号成立等号成立. . 课堂探究课堂探究 对基本不等式的理解对基本不等式的理解 题型一题型一 【教师备用】【教师备用】 1.1.能否用作差法证明基本不等式能否用作差法证明基本不等式ab 2 ab (a0,b0)?(a0,b0)? 2.2.基本不等式与等差中项基本不等式与等差中项, ,等比中项有什么关系等比中项有什么关系? ? 提示提示: :可以可以. .证明如下证明如下: : 2 ab - -ab= = 2 2 ab . . 因为因为 a0,b0,a0,b0,所以所以( (a- -b) ) 2 2 0,0,所以所以 2 ab ab,
8、 ,即即ab 2 ab . . 提示提示: :a0,b0,a0,b0,则则 2 ab 是是 a,ba,b 的等差中项的等差中项, ,ab是正数是正数 a,ba,b 的正的等比中项的正的等比中项, ,基本不等基本不等 式反映出两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项式反映出两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项. . 解析解析: :只有当只有当x0x0时时, ,才能由基本不等式得到才能由基本不等式得到x+x+ 1 x 2 2 1 x x =2,=2,故故(1)(1)错错; ;当当a0,b0a0,b0 时时,lg a,lg aR R,lg b,lg bR R, ,不一定有不一定有 lg a0
9、,lg b0,lg a0,lg b0,故故 lg a+lg blg a+lg b2 2lglgab不一定不一定 成立成立,(2),(2)错错; ;当当 a0,由基本不等式可得由基本不等式可得 ab+ab+ 1 ab 2 2 1 ab ab =2,=2,故故(3)(3) 正确正确; ;由基本不等式可知由基本不等式可知, ,当当 y x 0,0, x y 00 时时, ,有有 y x + + x y 2 2 yx xy =2=2 成立成立, ,这时只需这时只需 x x 与与 y y 同号即可同号即可, ,故故(4)(4)错误错误. . 【例【例 1 1】 给出下列命题给出下列命题:(1):(1)若
10、若 x xR R, ,则则 x+x+ 1 x 2;(2)2;(2)若若 a0,b0,a0,b0,则则 lg a+lg blg a+lg b 2 2lglgab;(3);(3)若若 a0 且且 y0.y0.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 . . 答案答案: : (3)(3) 题后反思题后反思基本不等式基本不等式 2 ab ab成立的条件是成立的条件是 a,ba,b 都是正实数都是正实数. . 当当 a0,- -b0,b0,所以所以 2 ab ab= =ab, ,即即- - 2 ab ab, ,所以所以 2 ab - -ab. . 解析解析: :因为因为 a a、b b 为正实数为正实数
11、, ,所以所以 b a 、 a b 为正实数为正实数, ,符合基本不等式的条件符合基本不等式的条件, ,故的推故的推 导正确导正确; ;因为因为 a aR R,a,a0,0,不符合基本不等式的条件不符合基本不等式的条件, ,所以所以 4 a +a+a2 2 4 a a =4=4 是错误是错误 的的; ;由由 xy0)(B)sin x+lg x(x0)(B)sin x+ 1 sinx 2(x2(xk k ,k,kZ Z) ) (C)x(C)x 2 2+1 +12|x|(x2|x|(xR R) ) (D)(D) 2 1 1x 1(x1(xR R) ) 解析解析: :当当 x=x= 1 2 时时,l
12、g,lg( (x x 2 2+ +1 4 ) )=lg x,A=lg x,A 错错; ;当当 x=x=- - 4 时时,B,B 不成立不成立; ;当当 x=1x=1 时时,D,D 不成立不成立. . 故选故选 C.C. 题型二题型二 【例【例 2 2】 设设 a0,b0,a0,b0,试比较试比较 2 ab , ,ab, , 22 2 ab , , 2 11 ab 的大小的大小, ,并说明理由并说明理由. . 解解: :因为因为 a0,b0,a0,b0,所以所以 1 a + + 1 b 2 ab ; ;即即ab 2 11 ab ( (当且仅当当且仅当 a=ba=b 时取等号时取等号),), 又又
13、( ( 2 ab ) ) 2 2= = 22 2 4 aabb 2222 4 abab = = 22 2 ab . . 所以所以 2 ab 22 2 ab ( (当且仅当当且仅当 a=ba=b 时等号成立时等号成立),), 而而ab 2 ab , ,故故 22 2 ab 2 ab ab 2 11 ab ( (当且仅当当且仅当 a=ba=b 时等号成立时等号成立).). 利用基本不等式比较大小利用基本不等式比较大小 题后反思题后反思(1)(1)在应用基本不等式时在应用基本不等式时, ,一定要注意是否满足条件一定要注意是否满足条件, ,即即 a0,b0.a0,b0. (2)(2)若问题中一端出现若
14、问题中一端出现“和式和式”而另一端出现而另一端出现“积式积式”, ,这便是应这便是应 用基本不等式的用基本不等式的“题眼题眼”, ,不妨运用基本不等式试试看不妨运用基本不等式试试看. . 解解: :因为因为 a,ba,b 是不相等的正实数是不相等的正实数, ,所以所以 x x 2 2= = 2 2 abab ab, ,又因为又因为 2 ab 2 4 ab 也就是也就是 4 ab 2 ab ab. .而而 y=y= 1 2 log x为减函数为减函数, ,故故 QPM.QPM.故选故选 B.B. 【备用例【备用例2 2】 如果如果0M(A)PQM (B)QPM(B)QPM (C)QMP(C)QM
15、P (D)MQP(D)MQP 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 题型三题型三 【例【例 3 3】 已知已知 a,b,ca,b,c 为不全相等的正实数为不全相等的正实数. .求证求证:a+b+c:a+b+cab+ +bc+ +ca. . 证明证明: :因为因为 a0,b0,c0,a0,b0,c0,所以所以 a+ba+b2 2ab,b+c,b+c2 2bc,c+a,c+a2 2ca. . 所以所以 2(a+b+c)2(a+b+c)2(2(ab+ +bc+ +ca),),即即 a+b+ca+b+cab+ +bc+ +ca. . 由于由于 a,b,ca,b,c 为不全相等的正实数为不全
16、相等的正实数, ,所以所以 a+b+ca+b+cab+ +bc+ +ca. . 题后反思题后反思利用基本不等式证明不等式的条件要求利用基本不等式证明不等式的条件要求: : (1)(1)利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式, ,关键是所证不等式中必须有“和”式或关键是所证不等式中必须有“和”式或 “积”式“积”式, ,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式, , 从而达到放缩的效果从而达到放缩的效果. . (2)(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到注意多次运用基本不等式时等号能否取到. . 证明证明: :因为
17、因为 1 a + + 1 b + + 1 c = = abc a + + abc b + + abc c =3+=3+( ( b a + + a b ) )+ +( ( c a + + a c ) )+ +（ c b + + b c ） 3+2+2+2=9,3+2+2+2=9,当且仅当当且仅当 a=b=c=a=b=c= 1 3 时取等号时取等号, , 所以所以 1 a + + 1 b + + 1 c 9.9. 即时训练即时训练 3 3 1:1:已知已知 a a、b b、c c(0,+(0,+),),且且 a+b+c=1,a+b+c=1,求证求证: : 1 a + + 1 b + + 1 c 9
18、.9. 证明证明: :因为因为 a,b,c,a,b,c, 2 a b , , 2 b c , , 2 c a 均大于均大于 0,0, 所以所以 2 a b +b+b2 2 2 a b b =2a,=2a,当且仅当当且仅当 2 a b =b=b 时等号成立时等号成立. . 2 b c +c+c2 2 2 b c c =2b,=2b,当且仅当当且仅当 2 b c =c=c 时等号成立时等号成立. . 2 c a +a+a2 2 2 c a a =2c,=2c,当且仅当当且仅当 2 c a =a=a 时等号成立时等号成立. . 相加得相加得 2 a b +b+b+ 2 b c +c+c+ 2 c a +a+a2a+2b+2c.2a+2b+2c. 所以所以 2 a b + + 2 b c + + 2 c a a+b+c.a+b+c. 【备用例【备用例 3 3】已知已知 a a、b b、c0,c0,求证求证: : 2 a b + + 2 b c + + 2 c a a+b+c.a+b+c. 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
