1、1.2.1 函数的概念函数的概念 数学天才数学天才莱布尼兹 函数这个数学名词是莱布尼兹在 1694年开始使用的，以描述曲线的一个 相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某 一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作 可导函数，数学家之外的普通人一般接 触到的函数即属此类。对于可导函数可 以讨论它的极限和导数。此两者描述了 函数输出值的变化同输入值变化的关系， 是微积分学的基础。 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量设在一个变化过程中有两个变量x和和y，如果对于，如果对于x的每一个的每一个 值，值，y
2、都有唯一的值与它对应，那么就说都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，是自变量，y是是x的函数的函数. 这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函 数等。数等。 对于数集对于数集A中的中的每个元素，每个元素，按照某种对应关系按照某种对应关系f，在数集，在数集 B中都能找到中都能找到唯一唯一的元素与之对应，记作的元素与之对应，记作 f：AB 问题一：问题一： 给定集合给定集合A=1，2，3，4，5；集合；集合B=3，6，9，12，
3、15 5 1 3 2 4 . 12 15 A B （1）如图，集合）如图，集合A和集合和集合B有什么对应关系？有什么对应关系？ （2）集合）集合A中的每个元素在中的每个元素在B中能找到几个元素与之对应中能找到几个元素与之对应 函数函数： 设集合设集合A，B是是非空数集非空数集，如果按照某种，如果按照某种对应关系对应关系f，使对于集，使对于集 合合A中的任意一个数中的任意一个数x，集合，集合B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 f(x)和它对和它对 应，那么称应，那么称 f：AB 为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数，记作的一个函数，记作 y = f(x) , xA. 则 y=3x ,
4、xA 即 f(x)=3x , xA 5 1 3 2 4 . 12 15 A B 3 （1）定义域定义域 ：x叫做叫做自变量。自变量。 （2）值域值域：与与x值相对应的值值相对应的值y叫做叫做函数值。函数值。 x的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的定义域定义域； 函数值的集合函数值的集合f(x) xA叫做函数的叫做函数的值域值域。 5 1 3 2 4 . 12 15 A B 3 定义域为A=1，2，3，4，5 值域为B=3，6，9，12，15 例如: (1)一次函数y=ax+b（a0） 定义域为R 值域为R y=ax+b （a0） x (2)二次函数 )0( 2 acbxxay 定义域为R
5、 值域为B 4 2 4 |0 a b ac yyBa 时，当 4 2 4 |0 a b ac yyBa 时，当 x )0( 2 acbxxay 练习：求下列函数的定义域练习：求下列函数的定义域: （1） 42 1 )( x xf （2） 131)(xxxf 03 01 x x 分析：分析： 2x 答案：答案： 13x答案：答案： 分析：分析： 042x 归纳：归纳：确定用解析式表示的函数的定确定用解析式表示的函数的定 义域的一般方法：义域的一般方法： 23)( xxf 3 2 )( x x xf 4)(xxf 6 1 4)( x xxf 1、f(x)是整式是整式 2、f(x)是分式是分式 3、
6、f(x)是二次根式是二次根式 4、如果、如果f(x)由几个部分由几个部分 的数学式子构成的的数学式子构成的 函数的定义域是函数的定义域是R;R; 函数的定义域是使函数的定义域是使 分母不为分母不为0 0的实数的实数 的集合；的集合； 函数的定义域是函数的定义域是 使被开方式不小使被开方式不小 于于0 0的实数的集合；的实数的集合； 定义域是使各定义域是使各 部分都有意义的部分都有意义的 实数集合。实数集合。 例1 已知函数 2 1 3 x xxf （1）求函数的定义域 （2）求 的值 （3）当a0时，求 的值 ) 3 2 (),3(ff ) 1(),(afaf 3x解解（1） 有意义的实数有意
7、义的实数x的集合是的集合是x|x-3 有意义的实数有意义的实数x的集合是的集合是x|x-2 所以所以 这个函数的定义域就是这个函数的定义域就是 2 1 x 2, 3|2|3|xxxxxxx （2） 1 23 1 33)3( f 3 33 8 3 8 3 3 11 2 3 2 1 3 3 2 ) 3 2 ( f （3）因为a0,所以f（a），f（a-1）有意义 2 1 1)( a aaf 1 1 2 21 1 31) 1( a a a aaf 例1 已知函数 2 1 3 x xxf （1）求函数的定义域 （2）求 的值 （3）当a0时，求 的值 ) 3 2 (),3(ff ) 1(),(afaf
8、 函数 定义域 值域 对应关系 值域是由定义域和对应关系决定的。 如果两个函数的定义域定义域和和对应关系对应关系完 全一致，就知这两个两个函数相等函数相等。 函数有三要素，即： 例2下列函数哪个与函数y=x相等 )( 2 ) 1 (xy 33 )2(xy xy 2 ) 3( x y x2 )4( 解（1） ，这个函数与y=x（xR） 对应一样，定义域不不同，所以和y=x （xR）不相等 )0()( 2 xxyx （2） 这个函数和y=x （xR） 对应关系一样 ，定义域相同xR，所以和y=x （xR）相等 )( 33 Rxxyx （4） 的定义域是x|x0，与函数 y=x（xR） 的对应关系一
9、样，但是定义域 不同，所以和y=x（xR）不相 等 x x y x 2 | 2 xyx x，x0 -x，x0 （3） 这个函数和y=x（xR） 定义域相同x R，但是当x0时，它的对应关系为y=-x 所以和y=x（xR）不相等 例2下列函数哪个与函数y=x相等 xy 2 ) 3( x y x2 )4( 3.下列各组函数中，是否表示同一函数？下列各组函数中，是否表示同一函数？ . 12)(, 12)()4( ;)(, 1)()3( ; 0. 1 0. 1 )(,)()2( ;)(,)()1( 22 2 332 tttgxxxf xxxgxxxf x x xg x x xf xxgxxf 设a,b
10、是两个实数，而且ab, 我们规定： (1)、满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间， 表示为 a,b. (2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间， 表示为 (a,b). (3)、满足不等式axb或aa,xa,xa xb xb （ - ，b （-，b） （a，+） a，+） 实数集实数集R可以用区间表示为可以用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”。读作“无穷大”。 例例1、试用区间表示下列实集：、试用区间表示下列实集： (1)x|5 x6 (2) x|x 9 (3) x|x -1 x| -5 x2 (4) x|x 9x| -9 x20 例3 设f(x)的定义域是-1,3
11、，试求函数f(2x+1)的 定义域。 分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1， 故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范围， 进而得所求定义域。 解：由已知-12x+13，得-1x1。得函数 f(2x+1)的定义域是-1,1 。 拓展拓展 例4(1)（孪生问题1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。 (2) (孪生问题2）已知f(2x+1)的定义域是-1,3，且f(x)的 定义域由f(2x+1)确定，试求f(x)的定义域。 解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。 解(2)：由已知-1x3，得2x+1-1,7，又f(x)的定 义域由f(2x+1)确定，故f(x)的定义域为-1,7。 注:(1)f(x)意含对x的一种运算法则； (2)解题时经常将一个变量作为整体看； (3) 2x+1-1,7与-12x+17是同义句。 拓展拓展 作业： P24 A组 1 ，4
