1、平面向量与复数的习题课高一年级 数学复 习 回 顾向量与复数的加减运算（一）几何意义i(,)(,)Ozxyz x yOZx y 复平面为原点复数点向量1112121212i=+i(,)zxyzxyx xy yR设12121212211212()(-)i(,)zzxxy yOZOZZ Zxxyy （二）代数运算：向量与复数的加法均满足交换律、结合律OZ1Z2Zxy11,)x y(22,)xy(121212121212+()(+)i(,)zzxxyyOZOZOZxxyy 1212,)xxyy(复 习 回 顾向量与复数的乘法运算22i(,)tan(cosisin)OzxyOZx yyrxyxzr 复
2、平面 为原点复数向量复数（一）几何意义向量的数乘强调模长的伸缩而方向永远保持共线；向量的数量积强调向量的夹角及投影；复数的乘法既有模长的变化又有方向的改变.复 习 回 顾向量与复数的乘法运算（一）几何意义1(0)2(0)3(cosisin)(cosisin)cos()isin()cos()isin()aaOOzrOZOZzarOZzrOZzr 复平面模长变为原来的 倍(0)绕点 逆时针旋转绕点 顺时针旋转复数向量向量向量向量（二）代数运算：向量的数乘与复数的乘法均满足交换律、结合律、分配律；向量的数量积满足交换律、分配律。要注意的是：)()a bab()()ab ca bc (基 础 巩 固.
3、ABDCABCDABCD 1.命题“”是“四个点构成平行四边形”的（）条件充要必要不充分充分不必要既不充分也不必要 复数集中零乘任何数都是零 偶次根号下被开方数应非负ABCDABCDB431234.0ii.ii().iiii0()nnnnnABaaCnDnNN2.下面表述中正确的是（）是纯虚数.-的平方根是4414243i=1ii,i1,ii()nnnnnN，D分析：分析：数乘的结果是向量，向量的乘法满足分配律，复数的乘法也满足分配律.2222223.(1)00(2)()(3)0(i)0(4)(i).3.2.1.0aa baba ba babABCD .下面给出的关系式中正确的个数是（）C4i
4、2 3i1.5 4i.1 2i.1 2i.i2P QPQABCD .若复数3+与在复平面对应的点分别是 与，则向量对应的复数是（）基 础 巩 固C3i(3,1)3i(2,3)PQ 复数复数2分析：分析：(1,2)12iPQ 复数1212534i12i.zzabzzab .已知复数 与 对应向量 与，若且求向量 与 夹角的余弦值122222(3,4)(1,2)3(1)4 25|345|(1)25aOZbOZa bab 解：根据复数与向量的对应关系|=能 力 提 升分析：55cos,.5|55a ba ba b 5.5ab答：与 夹角的余弦值是111222zaOZzzbOZz 复数复数复数复数12
5、12,aOZbOZa bOZ OZ 61 i1 i.ABCABCABCzzzzzABCz .设的顶点分别对应复数，若且，求满足为正三角形的复数分析：(1,1)(1,1)(,)|(2,0)(1,1)(1,1)ABC x yABBCACABACxyBCxy 解：由已知、并设，且222200(1)(1)4(1)(1)41313xxxyxyyy 或(13 i(13)i.CCzz答：所求复数)或能 力 提 升|1i(1,1)1i(1,1)i(,)ABCABBCACzAzBzxyC x y 正三角形满足三边长相等，即1 i1 i=120.ABCABCABCzzzzzAz 变式：设等腰的顶点分别对应复数，若
6、且，求满足时的复数22(1,1)(1,1)(,)|(2,0)(1,1)(1)(1)4(1)ABC x yABACABACxyxy 解：由已知、并设，根据2(13 i.Cz 答：复数)理 解 运 用01120cos,2|AB ACAAB ACABAC 又22222(1)13(1)(1)(2)22(1)(1)xxyxy 整理得2,13(0 xyx 由(1)(2)得舍）(1),.()(2)0.()(3)|.()a bb cacaba babababab 1.判断下列各命题的真假若则设非零向量 与 的夹角为，为锐角若非零向量 与 满足，则随 堂 训 练(4)()(5)3(sinicos).()666(
7、6)1()zzz两个互为共轭的复数，它们的模长相等.复数的辐角是若|,在复平面内与 对应的点构成一个圆.2(1)2,4,53,(2)()|ABCDABab BCab BDaba bABCDABCBCBAACACABC 2.利用向量与复数的几何意义判断平面图形的形状四边形中，其中不共线，则四边形的形状是？在中，若，则的形状是？随 堂 训 练20|DC BCBDabABAB BCABBCABCD =且且四边形是平行四边形（非矩形、非菱形）.2222222()(|RtBC BA BCBAACBCBAACBCBAACABCA +)=|则|即|是为直角的.122(3)12i,2i,i(4)|2|30,M
8、NzzOMONzzzz 2.利用向量与复数的几何意义判断平面图形的形状复平面内、两点对应的复数分别是其中 是虚数单位，为原点，则的形状是？已知复数 满足则复数 对应点的轨迹是？随 堂 训 练1212|5(1,2)(2,1)|=|0RtzzzOMzONOMONOM ONOMONMON ,又，且即则是等腰.(|3)(|1)0|33zzzz,由复数模长的几何意义则复数 对应点的轨迹是以原点为圆心、半径为 的圆.121212+3i.zzzzABCOzOAOOCz 复数，在复平面上分别对应点，为原点(1)若，将绕点 顺时针旋转60 且模长变为原来的一半之后与向量重合，求复数深 入 探 究2222(,)(
9、3,1)3|312|,60OCx yOAOA OCxyOAOCxyOA OC 解法1：设|=且222231cos,=3(1)2|2OA OCxyOA OCxyxyOA OCxy 则22=12)xy再由(最后综合(1)(2)解方程组得之.121212+3i.zzzzABCOzOAOOCz 复数，在复平面上分别对应点，为原点(1)若，将绕点 顺时针旋转60 且模长变为原来的一半之后与向量重合，求复数深 入 探 究221113i312tan3032(cos30isin30)zrz解法2：由故21cos(3060)isin(3060)231cos(30)isin(30)i22z 22OCz设向量对应复
10、数当向量的模长与方向都有改变时，复数的三角形式优势明显12122112+(2)2i().zzzzABCOzzzzOACB复数，在复平面上分别对应点，为原点若，试判断四边形的形状深 入 探 究1212zOAzOBzzOC 分析：21()ABOBOAzz 12122i()=2(cos90isin90)()zzzz902OCOOD其几何意义是将绕 点逆时针旋转，再把模长变为原来的 倍，如此得到.D.ABODABOCOACB 由()式得故四边形为菱形向量与复数的几何意义合作并举会在解决问题中达到事半功倍的效果OABCxy归 纳 小 结1.平面向量要掌握几何意义、代数运算和坐标运算.2.复数也要掌握几何
11、意义、代数运算和坐标运算.3.平面向量与复数具有很多相同的几何意义，解题时 应注意相互借鉴、相互应用.4.坐标运算可以将平面向量与复数完全统一，它们各 自满足的运算律会为准确运算提供保障，解题时应 注意数形结合、定好坐标、精准计算.课 后 作 业1.整理完成本节深入探究的解题过程.2.参考复习回顾的内容试完成平面向量与 复数知识的思维导图.3.完成课本P61页复习参考题6综合运用.4.完成课本P95页复习参考题7拓广探索.结 束 语亲爱的同学们：通过学习平面向量和复数这两章的知识，你们已经从对数的认知逐渐过渡到用形来协助解决实际问题的通途大道上，大家充分感受到了数形结合的美妙以及精准运算为正确结果提供的有力保障！让我们继续努力，用强大的知识武装自己，待到羽翼丰满时大家定可以尽全力回报社会！再见！
