1、第第2课时课时复数复数知识梳理知识梳理构建体系构建体系专题归纳专题归纳核心突破核心突破 知识梳理知识梳理构建体系构建体系知识网络知识网络要点梳理要点梳理1.复数复数z=a+bi(a,bR)的有关概念有哪些的有关概念有哪些?请完成下表请完成下表:2.复数的几何意义有哪些复数的几何意义有哪些?提示提示:(1)这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义.3.复数代数形式的四则运算法则是什么复数代数形式的四则运算法则是什么?设设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数是任意两个复数,请完成下表请完成下表:*4.复数的代数表示与三角表示怎样转化复数的代数表示与三角表示怎样转化?
2、提示提示:z=a+bi=r(cos+isin)(a,bR),其中其中,r是复数是复数z的模的模;是是复数复数z=a+bi的辐角的辐角.*5.复数三角形式乘、除运算的运算法则及几何意义是怎样的复数三角形式乘、除运算的运算法则及几何意义是怎样的?复数复数z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),且且z1z2.请完成下表请完成下表:【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画正确的在后面的括号内画“”,错误错误的画的画“”.(1)实数集实数集R是复数集是复数集C的真子集的真子集.()(2)若若a=0,则则z=a+bi一
3、定为纯虚数一定为纯虚数.()(3)复数复数z=a+bi(a,bR)的对应点的坐标为的对应点的坐标为(a,bi).()(4)在复数集中在复数集中,|z|是表示复数是表示复数z的点的点Z到原点到原点O的距离的距离,也是向也是向量量 的的模模.()(5)若一个数的共轭复数是它本身若一个数的共轭复数是它本身,则这个数只能为则这个数只能为0.()专题归纳专题归纳核心突破核心突破专题整合专题整合高考体验高考体验专题一专题一复数的有关概念复数的有关概念【例【例1】设设复数复数 (其中其中i为虚数单位为虚数单位,b为实数为实数),求求b取何值取何值时时,(1)z的实部和虚部互为相反数的实部和虚部互为相反数;(
4、2)z是纯虚数是纯虚数;(3)z是实数是实数?分析分析:将复数化简为将复数化简为z=a+bi(a,bR)的形式的形式,根据复数的分类列根据复数的分类列方程方程(组组)求解求解.正确区分复数的实部和虚部正确区分复数的实部和虚部(1)将复数进行计算或化简将复数进行计算或化简,化为化为z=a+bi(a,bR)的形式的形式,那么那么a与与b分别叫作复数分别叫作复数z的实部和虚部的实部和虚部.(2)非零实数的虚部是非零实数的虚部是0,0的实部和虚部都是的实部和虚部都是0,纯虚数的实部纯虚数的实部为为0且虚部不为且虚部不为0.【变式训练【变式训练1】实数实数k分别为何值时分别为何值时,复数复数(1+i)k
5、2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件满足下列条件:(1)是实数是实数;(2)是虚数是虚数;(3)是纯虚数是纯虚数;(4)是是0.解解:(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当当k2-5k-6=0,即即k=6或或k=-1时时,该复数为实数该复数为实数.(2)当当k2-5k-60,即即k6且且k-1时时,该复数为虚数该复数为虚数.专题二专题二复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算A.-1+3iB.1-3iC.3+ID.3-i(2)若若i(x+yi)=3+4i,x,yR,则复数则复数x+yi的模是的模是()A.2B.3C.4D
6、.5答案答案:(1)B(2)D 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法加减法是对应实、虚部相加减是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法而乘法类比多项式乘法,除法类比分除法类比分式的分子分母有理化式的分子分母有理化,注意注意i2=-1.答案答案:(1)A(2)B 专题三专题三复数的几何意义复数的几何意义【例【例3】已知复数已知复数z1,z2满足满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=,求求|z1+z2|的值的值.分析分析:根据复数加、减法的几何意义根据复数加、减法的几何意义,作出适合题意的图形作出适合题意的图形,利利用平行四边
7、形的性质联系余弦定理解题用平行四边形的性质联系余弦定理解题.利用复数的几何意义利用复数的几何意义,复数加、减法的几何意义复数加、减法的几何意义,复数模的定复数模的定义等义等,可以将复数和图形统一起来可以将复数和图形统一起来,这为我们利用数形结合思这为我们利用数形结合思想解题提供了可能想解题提供了可能.(1)复数的几何意义包括三个方面复数的几何意义包括三个方面:复数的表示复数的表示(点和向量点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义.复数的几何复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数
8、学思想方法.(2)复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则三角形法则.由减法的几何意义知由减法的几何意义知|z-z1|表示复平面内与表示复平面内与z,z1分分别对应的两点别对应的两点Z与与Z1之间的距离之间的距离.【变式训练【变式训练3】(1)在复平面内在复平面内,复数复数 (i是虚数单位是虚数单位)对应的对应的点在点在()A.第一象限第一象限B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限答案答案:B(2)已知复数已知复数z1=i(1-i)3.求求|z1|;若若|z|=1,求求|z-z1|的最大值的最大值.如图所示
9、如图所示,由由|z|=1可知可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为圆心为O(0,0)的圆的圆,而而z1对应着坐标系中的点对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以所以|z-z1|的最大值可以看成是点的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离到圆上的点的距离的最大值的最大值.设圆的半径为设圆的半径为r,*专题四专题四复数三角形式的乘除运算复数三角形式的乘除运算复数三角形式的乘除运算复数三角形式的乘除运算,先把类似于三角形式的复数化为先把类似于三角形式的复数化为三角形式三角形式,再利用三角形式的乘除运算法则计算再利用三角形式的乘除运算法则计算,结
10、果往往化结果往往化为代数形式为代数形式.考点一考点一复数的四则运算复数的四则运算答案答案:D 答案答案:C 3.(2019全国全国高考高考)若若z(1+i)=2i,则则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案答案:D 答案答案:D 考点二考点二复数的几何意义复数的几何意义8.(2018北京高考北京高考)在复平面内在复平面内,复数复数 的共轭复数对应的点的共轭复数对应的点位于位于()A.第一象限第一象限B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限答案答案:D 9.(2019全国全国高考高考)设复数设复数z满足满足|z-i|=1,z在复平面内对应的在复平面内对应的点为点为(x,y),则则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1答案答案:C
