1、机机 械械 制制 图图Mechanical Drawing机械与材料学院机械与材料学院 王王 静静现代工程图学现代工程图学第二章第二章 投影的基本知识投影的基本知识现代工程图学现代工程图学投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法2.1 2.1 投影的形成投影的形成一、投影法的种类一、投影法的种类 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法叫做投影法。该面上得到图形的方法叫做投影法。（实例：灯（实例：灯三角三角板板影子）影子）画工程图样画工程图样绘制轴测图绘制轴测图现代工程图学现代工程图学二
2、、中心投影法二、中心投影法投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影 投射线从一点出发，通过空间物体，到达投影面，在投射线从一点出发，通过空间物体，到达投影面，在投影面上得到物体投影的方法，称为投影面上得到物体投影的方法，称为中心投影法中心投影法。常用来绘制建筑物的透视图，以及产品的效果图。常用来绘制建筑物的透视图，以及产品的效果图。现代工程图学现代工程图学三、平行投影法三、平行投影法斜角投影法斜角投影法投射线互相平行且投射线互相平行且垂直于投影面垂直于投影面投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面正投影法正投影法 所有的投射线相互平行，通过空间物体，到达投影面，
3、所有的投射线相互平行，通过空间物体，到达投影面，在投影面上得到物体投影的方法，称为在投影面上得到物体投影的方法，称为平行投影法平行投影法。画工程图样画工程图样绘制轴测图绘制轴测图现代工程图学现代工程图学2.2 2.2 投影体系的形成投影体系的形成一一.单面投影及特性单面投影及特性二二.多面投影及特性多面投影及特性现代工程图学现代工程图学一、单面投影及特性一、单面投影及特性单面投影不能反映唯一的空间情况单面投影不能反映唯一的空间情况采用多面投影采用多面投影如果如果ab/cd，直线直线AB/CD？如如果果k在线段在线段mn上，上，点点K属于线段属于线段MN？能确定是哪个能确定是哪个几几何体何体的投
4、影的投影？现代工程图学现代工程图学b1.1.多面投影体系统的建立多面投影体系统的建立三、三、多面投影及特性多面投影及特性aAB3B2B1空间点的高空间点的高度无法体现度无法体现水平投影面水平投影面之外增加了之外增加了正立的投影正立的投影面和侧立的面和侧立的投影面投影面WVHZXYYO工程图样工程图样采用第一采用第一角画法角画法现代工程图学现代工程图学X XZ ZY YH HY YW W2.2.三面投影的特性三面投影的特性长对正长对正高高平平齐齐宽相等宽相等上上下下左左右右左左右右后后前前前前后后上上下下特别要注特别要注意形体的意形体的前后前后位置位置现代工程图学现代工程图学2.3 2.3 点的
5、投影点的投影一、点的投影一、点的投影二、点的投影特性二、点的投影特性三、点的投影与坐标之间的关系三、点的投影与坐标之间的关系四、两点间的相对位置四、两点间的相对位置五、重影点及其投影的可见性五、重影点及其投影的可见性现代工程图学现代工程图学b一、点的投影一、点的投影aAB3B2B1 过空间点过空间点A的投影线与投影面的投影线与投影面P相交于相交于a，a就是点就是点A在在投影面投影面P上的投影。上的投影。空间点的高空间点的高度无法体现度无法体现在三面投影体系确定点在三面投影体系确定点在空间的位置在空间的位置1.1.何谓点的投影何谓点的投影现代工程图学现代工程图学VHWH2.2.在三投影面体系中点
6、的投影在三投影面体系中点的投影 a a：点点A A的正面投影的正面投影 a a ：点：点A A的水平投影的水平投影 a a:点点A A的侧面投影的侧面投影aa a xaazayWV空间点用空间点用大写字大写字母母表示，点的投表示，点的投影用影用小写字母小写字母表表示。示。aaZaa yayaXYHYWO azxZaa ayaayaXYHYWO azxAYXZO现代工程图学现代工程图学XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律:(两个垂直两个垂直,一个相等一个相等)a a aOXaOX轴轴，a a a a OZOZ轴轴;即点的正面投影和水平投影的连线即点的正面投影和水平投影的连线垂直于垂
7、直于OXOX轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZOZ轴。轴。aaaax x =a a a az z =AaAa(A(A到到V V面的距离面的距离)；点的水平投影到；点的水平投影到OXOX轴距轴距离等于点的侧面投影到离等于点的侧面投影到OZOZ轴距离。轴距离。xaazayYaza XYayOaaxaya VHWZ二、点的投影特性二、点的投影特性现代工程图学现代工程图学水平投影水平投影 a a 反映反映A A点点X X和和Y Y的坐标的坐标正面投影正面投影 aa反映反映A A点点X X和和Z Z的坐标的坐标侧面投影侧面投影 aa反映反映A A点点Y Y和
8、和Z Z的坐标的坐标XYZOVHWAa aa a a a xa aa azay 若把三个投影面当作若把三个投影面当作空间直角坐标面空间直角坐标面，投影轴当作，投影轴当作直角坐标直角坐标轴轴，则点的空间位置可用（，则点的空间位置可用（X X、Y Y、Z Z）三个坐标来确定，点的投影三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值。就反映了点的坐标值。点的一个投影只反映了点的两个坐标。已知点的一个投影只反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的点的两个投影，则点的X X、Y Y、Z Z三个坐标就可确三个坐标就可确定，即就唯一确定该点的空间位置定，即就唯一确定该点的空间位置A A（X X，Y Y，Z Z
9、）.举例：举例：1.1.已知点的两个投影，求第三投影已知点的两个投影，求第三投影;2.2.已知点的坐标已知点的坐标(15,12,16)(15,12,16)，作三面投影图，作三面投影图X XZ ZY Y(x,y)(x,z)(y,z)点点A A到到W W面的距离面的距离=x=x=oaoax x=a=aay=aaz点点A A到到V V面的距离面的距离=y=y=o oa ay y=aax=a”az点点A A到到H H面的距离面的距离=z=z=o oa az z=aax=a”ay三三、点的点的投影投影与与坐标坐标之间的关系之间的关系现代工程图学现代工程图学a 例例1：已知点的两个投影，求第三投影。：已知
10、点的两个投影，求第三投影。a aaxaz1.1.作作aa”OZaa”OZ；2.2.通过作辅助线通过作辅助线(45(45线线)使使a a a az z=aaaax.x.OxzYY现代工程图学现代工程图学例例2：已知点的：已知点的坐标坐标(15,12,16)(15,12,16)，作三面投影图。，作三面投影图。a a aaxazX=15X=15Z=Z=1616Y=Y=1212YWYHZX机械制图中不写单位表示以mm为单位。现代工程图学现代工程图学 两点的相对位置指两点在两点的相对位置指两点在空间的空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置位置关系，其中一点为基准点，另关系，其中一点为基准点，另一点为
11、比较点，如空间图上点一点为比较点，如空间图上点B B相对点相对点A A的方位的方位。投影图呢？。投影图呢？投影图上判断方法：投影图上判断方法：x x 坐标坐标左右，大的在左左右，大的在左(离离W W面远面远)y y 坐标坐标前后，大的在前前后，大的在前(离离V V面远面远)z z 坐标坐标上下，大的在上上下，大的在上(离离H H面远面远)B B点在点在A A点之点之后后、之右、之、之右、之上上。当一个点当一个点B B相对于另一点相对于另一点A A（已（已知点）上下、左右、前后知点）上下、左右、前后坐标差坐标差已已知，就可以确定该点的空间位置并知，就可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。作出其
12、三面投影。四四、两点间的相对位置、两点间的相对位置ZX Xy y现代工程图学现代工程图学 例例 已知已知A A点在点在B B点之前点之前4 4毫米，之上毫米，之上8 8毫米，之右毫米，之右6 6毫毫米，求米，求A A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 8X=X=64即：即：X=6X=6 Y=4Y=4 Z=8Z=8现代工程图学现代工程图学 若空间两点位于某投影面的若空间两点位于某投影面的同一条投射线上同一条投射线上，则两点在则两点在此一此一投影面投影面上的上的投影重合为一点投影重合为一点，称，称此两点为此两点为该投影面该投影面的的重影点重影点。1.A1.A、B B为为H H面的
13、重影点面的重影点;2.2.重影点在三对坐标值中，必定有两对值重影点在三对坐标值中，必定有两对值相等（如相等（如A.BA.B的的X X和和Y Y）；）；3.3.从投影方向看，重影点必有一个点的投从投影方向看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见影被另一个点的投影遮住而不可见,被被遮住的投影加括号如（遮住的投影加括号如（a a）；）；4.判断重影点的可见性时，需要看重影点判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影坐标，在另一投影面上的投影坐标，坐标值大的坐标值大的点投影可见，点投影可见，反之不可见反之不可见.即即:上遮下，左遮上遮下，左遮右，前遮后。右，前遮后。五、重影点
14、及其投影的可见性五、重影点及其投影的可见性现代工程图学现代工程图学2.4 2.4 直线的投影直线的投影一、直线的投影一、直线的投影二、直线的投影特性二、直线的投影特性三、直线上的点三、直线上的点四、求直线的实长和对投影面的倾角四、求直线的实长和对投影面的倾角五、两直线的相对位置五、两直线的相对位置现代工程图学现代工程图学一一、直线的投影、直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影就得到直线的同面投影(粗实线粗实线2b,b2b,b细线宽细线宽0.350.35)。现代工程图学现代工程图学二、直线的投影特性（三大类七种
15、）二、直线的投影特性（三大类七种）投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线水平线（平行于面水平线（平行于面）正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线 （注意两者区别）（注意两者区别）垂直于某一投影面而垂直于某一投影面而与其余两投影面平行与其余两投影面平行现代工程图学现代工程图
16、学1.1.投影面平行线投影面平行线名称正平线水平线侧平线轴测图投影图投影特性1.ab=AB=实长2.ab/OX,a”b”/OZ;3.ab与OX轴的夹角反映 AB对H面的倾角；4.ab与OZ轴的夹角反映 AB对W面的倾角。1.ab=AB=实长2.ab/OX,a”b”/OYW3.ab 与OX轴的夹角反映AB 对V面的倾角；4.ab与 OY轴的夹角反映 AB 对W面的倾角。1.a”b”=AB=实长2.ab/OZ,ab/OYH3.a”b”与OY轴的夹角反映 AB对H面的倾角；4.a”b”与OZ轴的夹角反映 AB对V面的倾角。投影特征：投影特征：一斜两平行一斜两平行现代工程图学现代工程图学2.2.投影面
17、垂直线投影面垂直线名称正垂线铅垂线侧垂线轴测图投影图投影特性1.ab 积聚成一点2.ab OX3.a”b”OZ4.ab=a”b”=AB=实长1.ab积聚成一点2.abOX3.a”b”OYW4.ab=a”b”=AB=实长1.a”b”积聚成一点2.abOYH3.abOZ4.ab=ab=AB=实长投影特征：投影特征：一点两垂直一点两垂直现代工程图学现代工程图学 如图如图,直线直线ABAB与三个投影面都倾斜。与三个投影面都倾斜。V V面投影面投影ab,Hab,H面投影面投影ab,Wab,W面投影面投影a”b”a”b”。设直线段设直线段ABAB对对H H、V V、W W三个投影面的倾角分别为三个投影面的
18、倾角分别为、，则，则abab=ABcosABcos,ab=,ab=ABcosABcos,a”b”=,a”b”=ABcosABcos.三个投影都具有类似性三个投影都具有类似性.投影特征：投影特征：三斜无实长三斜无实长投影特性：投影特性：1.1.三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜；三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜；2.2.其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。VH W 3.3.一般位置直线一般位置直线A Baababbb a b a ab现代工程图学现代工程图学例例1：判别下图中直线：判别下图中直线AB、BC相对于投影面的位相对于投影面的
19、位置。置。1.1.因为直线因为直线ABAB的正面投影的正面投影abab为实长为实长2.2.它两面投影平行于相应它两面投影平行于相应投影轴投影轴3.3.所以所以ABAB为正平线为正平线1.1.因为直线因为直线CDCD的正面投影的正面投影bcbc和水平投影和水平投影bcbc为为实长实长2.2.侧面投影侧面投影b“cb“c”积聚为积聚为一个点一个点3.3.所以所以CDCD为侧垂线为侧垂线现代工程图学现代工程图学例例2：分析正三棱锥各加粗棱线或底边与投影：分析正三棱锥各加粗棱线或底边与投影面的相对位置。面的相对位置。1.1.因为因为sbsb与与sbsb分别平行于分别平行于OYOYH H和和OZOZ2.
20、2.所以所以SBSB为侧平线为侧平线3.3.故故s s”b b“反映实反映实长长1.1.因为因为a a”(”(c c“)“)重重影影2.2.所以所以ACAC为侧垂线为侧垂线3.3.故故a ac c=ac=AC=ac=AC1.1.因为因为SASA的三个投的三个投影都与投影轴倾影都与投影轴倾斜斜2.2.所以所以SASA为为一般位一般位置直线置直线3.3.故均不故均不反映实长反映实长现代工程图学现代工程图学直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1.1.从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。投影上。利用这一特性可以在直线
21、上找点，或判断已知点是否利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。在直线上。三、直线上的点三、直线上的点2.2.定比性定比性 直线上的直线上的点点,分线段之比在投影中不变。分线段之比在投影中不变。即即 A C:C B=a c:c b=a c :c b =a c :c b 现代工程图学现代工程图学c例例1：已知点：已知点C在直线上，求作它们的三面投影。在直线上，求作它们的三面投影。分析分析1.1.由于点由于点C C在直线在直线ABAB上上2.2.故点故点C C各个投影也必定在各个投影也必定在ABAB的同面投影上的同面投影上作图作图1.1.先作出点先作出点A A和点和点B B的侧面的
22、侧面投影投影2.2.再连接再连接a”b”a”b”3.3.最后求点最后求点c c和点和点c”c”Z ZY Yw wX XY YH HO Oabb”c”a”acb现代工程图学现代工程图学例例2：判断点是否在直线上。：判断点是否在直线上。分析分析1.1.根据从属性，若点在直线上，则点根据从属性，若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上的投影必在该直线的同面投影上结论结论1.1.点点c c在在abab上，而且上，而且cc在在abab上，故上，故点点C C在在ABAB上上2.2.点点d d不在不在abab上，故上，故点点D D在在ABAB外外a b e 分析分析1.1.根据从属性，若点在直线上，则
23、点根据从属性，若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上的投影必在该直线的同面投影上2.2.由于已知由于已知点点e e在在abab上上、ee在在abab上上，故只须判断点，故只须判断点e”e”是否在是否在a”b”a”b”上即可上即可结论结论1.1.从作图可知，从作图可知，e”e”不在不在a”b”a”b”上上2.2.故点故点E E在线段在线段ABAB外外e abea b Z ZY Yw wX XY YH HO O现代工程图学现代工程图学四、求直线的实长和对投影面的倾四、求直线的实长和对投影面的倾角角VHababABB1XOababAB分析分析1.1.过过A A作作ABAB1 1/ab,/ab
24、,则得一直角则得一直角ABB1ABB12.2.从而从而BBBB1 1=Bb=BbAaAa=Z=ZB BZZA A=Z Z，AB1=AB1=abab,BAB,BAB1 1=3.3.因此只要知道因此只要知道abab和坐标差和坐标差Z Z，就可，就可求出求出ABAB的实长及倾角的实长及倾角4.4.同理可得同理可得ZZ做图做图1.1.过点过点aa作作abab1 1/OX,/OX,得到得到Z=bbZ=bb1 12.2.然后过然后过b b点做点做abab的垂线，使的垂线，使bcbc=Z,Z,得到点得到点c c3.3.连接连接acac，得到，得到ac=AB,=bacac=AB,=bac4.4.同理可得直线对
25、同理可得直线对V V面的倾角面的倾角，对，对W W面的倾角面的倾角b1cZ现代工程图学现代工程图学五、两直线的相对位置五、两直线的相对位置平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）现代工程图学现代工程图学1.1.两直线平行两直线平行 平行性平行性空间两空间两直线平行，则其各直线平行，则其各同面投影同面投影必相互平必相互平行，反之亦然。行，反之亦然。如何判断两条如何判断两条直线是否平行直线是否平行？1.1.当两直线为当两直线为投影面的平行线投影面的平行线时，只有两时，只有两对同面投影平行，空间两直线不一定平对同面投影平行，空间两直线不一定平行，行，需画出平行的投影面的投影需画出平行的投影面的投
26、影来判断来判断2.2.一般情况下，只需判断两直线的任意两一般情况下，只需判断两直线的任意两对同面投影是否平行对同面投影是否平行(如上图如上图)现代工程图学现代工程图学d a b c bdcaa d c b 例例1 1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。分析：分析：1.1.由图可知：两直线为由图可知：两直线为投影面的平行线投影面的平行线2.2.故需由直线在故需由直线在其平行投影面的投影其平行投影面的投影来判断来判断3.3.因此，要求出两直线的因此，要求出两直线的侧面投影侧面投影做图做图1.1.求直线求直线a”ba”b”和和c”dc”d”结论结论1.1.两条直线不平行两条直线不
27、平行现代工程图学现代工程图学HVA AB BC CD DK Kabcdk ka b c k k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点则其同面投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性，反之亦然。的投影必符合点的投影特性，反之亦然。（即两个垂直一（即两个垂直一个相等个相等交点的连线垂直于投影轴）。交点的连线垂直于投影轴）。交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点2.2.两直线相交两直线相交现代工程图学现代工程图学例例1 1：判断图中两条直线：判断图中两条直线ABAB，CDCD是否相交是否相交?d”b”c”a”分析：分
28、析：1.1.由于由于ABAB为侧平线，属特殊为侧平线，属特殊直线，如图所示并不能确直线，如图所示并不能确定两线是否相交定两线是否相交2.2.需作出需作出ABAB，CDCD的侧面投影的侧面投影看交点是否符合空间点的看交点是否符合空间点的投影特性投影特性做图做图1.1.求直线求直线a”ba”b”和和c”dc”d”2.2.过正面投影的交点做水平过正面投影的交点做水平线线结论结论1.1.正面投影和侧面投影的交正面投影和侧面投影的交点不在一条水平线上，点不在一条水平线上，不不符合符合“两垂直、一相等两垂直、一相等”的的点的投影特性点的投影特性2.2.故两条直线不相交故两条直线不相交现代工程图学现代工程图
29、学3.3.两直线异面两直线异面f(K)fk投影特性：投影特性：同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 “交点交点”不符合点不符合点的投影特性的投影特性。所谓所谓“交点交点”是两是两直线上的一对直线上的一对重影点重影点的投影的投影。即不平行又不相交的两条直线称为即不平行又不相交的两条直线称为两异面直线两异面直线现代工程图学现代工程图学2.5 2.5 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性三、各种位置平面的投影三、各种位置平面的投影四、平面上的点和直线四、平面上的点和直线现代工程图学现代工程图学a ab bc ca a b b c c 不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点a ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b b c c d dd d 两平行直线两平行直线两相交直线两相交直线*a ab bc ca a b b c c 任意的平面图任意的平面图形，如三角形、形，如三角形、四边形等四边形等1 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面一直线及直一直线及直线外一点线外一点一一、平面的表示法、平面的表示法a ab bc ca a b b c c 现代工程图学现代工程图学
