1、-1-三角函数首页课前篇自主预习一二三一、任意角1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0360.(2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半,以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?提示:5253B中第3个
2、数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.课前篇自主预习一二三2.填空(1)角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类温馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记成“”;2.如果是零角,那么记=0.课前篇自主预习一二三二、第几象限角1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,且使角的始边与x轴的非负半轴重合,角的顶点与原点重合,回答以下问题:(1)=45的角终边落在第几象限?提示:第一象限.(2)=120的角终边落在第几象限?提示:第二象限.(3)=-90的角终边落在第几象限?提示:y轴的负半轴上
3、.(4)若终边落在第二象限,则角的范围是多少?提示:90+k360180+k360,kZ.(5)若将的终边再继续旋转角得到的角如何表示?提示:+课前篇自主预习一二三2.填空象限角的定义(1)前提:角的顶点与原点重合;角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.课前篇自主预习一二三三、终边相同的角1.在同一平面直角坐标系内作出30,390,-330,750角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?提示:终边在相同的位置,它们之间相差360的整数倍.2.填空一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内
4、,可构成一个集合:S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.课前篇自主预习一二三3.做一做(1)与-40角终边相同的角的集合是()A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZC.|=k36040,kZ D.|=k360+80,kZ答案:A(2)与1 680角终边相同的最大负角是.解析:1 680=5360-120,故与1 680角终边相同的最大负角是-120.答案:-120(3)今天是星期一,那么7k(kZ)天后的那一天是,7k+2(kZ)天后的那一天是,2 020天后的那一天是.答案:星期一星期三星期天课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维
5、辨析随堂演练任意角的概念及其表示任意角的概念及其表示例例1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是()A.60,720B.-60,-720C.-30,-360 D.-60,720(2)下图中的角的度数是.解析:(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 360=60,2360=720,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60,-720.(2)要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小.因为角旋转的大小是360-30=330,旋转方向是逆时针,所以=330.答案:(1)B(2)330课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 确定任意角的方法
6、:(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练1(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()A.120B.-120C.240D.-240(2)图中角=,=.解析:(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是-240,故选D.(2)由题图可知=-(180-30)=-150,=30+180=210.答案:(1)D(2)-150210课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
7、坐标系中角的概念及其表示坐标系中角的概念及其表示角度1终边相同的角的求解例例2写出与75角终边相同的角的集合,并求在3601 080范围内与75角终边相同的角.分析:根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601 080范围内的角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:与75角终边相同的角的集合为S=|=k360+75,kZ.当3601 080时,即360k360+751 080,又kZ,所以k=1或k=2.当k=1时,=435;当k=2时,=795.综上所述,与75角终边相同且在3601 080范围内的角为43
8、5角和795角.反思感悟反思感悟 求与已知角终边相同的角时,要先将这样的角表示成k360+(kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2终边在某条直线上的角的集合例例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析:定0360范围内终边在所给直线上的两个角分别写出与两个角终边相同的角的集合写出两个集合的并集即可课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和180,又所有与0角终边相同的角的集合为S1=|=0+k360,kZ,所有与180角终边相同的角
9、的集合为S2=|=180+k360,kZ,于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1S2=|=k180,kZ.(2)由图形易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135和315,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+k180,kZ.(3)终边在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,kZ,结合(2)知所求角的集合为S=|=45+k180,kZ|=135+k180,kZ=|=45+2k90,kZ|=45+(2k+1)90,kZ=|=45+k90,kZ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思
10、感悟反思感悟 终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ;终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ;终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ;终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ;终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ;终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度3区域角的求解例
11、例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180就会重复出现.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)对于阴影部分,先取-60,75这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为|-60+k36075+k360,kZ.(2)对于阴影部分,先取60,90这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为|60+k18090+k180,kZ.反思感悟反思感悟 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标
12、系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360360范围内的角和;(3)分别将起始边界,终止边界的对应角,加上360的整数倍,即可求得区域角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练象限角及其应用象限角及其应用角度1给定一个角判断它是第几象限角例例5已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0360范围内与其终边相同的角.(1)405;(2)-45;(3)495;(4)-520.课堂篇探究学习探究一探
13、究二探究三思维辨析随堂演练解:作出各角的终边如图所示.由图可知:(1)405是第一象限角;(2)-45是第四象限角;(3)495是第二象限角;(4)-520是第三象限角角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)405=45+360,所以在0360范围内,与405角终边相同的角是45.(2)-45=315-360,所以在0360范围内,与-45角终边相同的角是315角.(3)495=135+360,所以在0360范围内,与495角终边相同的角是135角.(4)-520=200-2360,所以在0360范围内,与-520角终边相同的角是200角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维
14、辨析随堂演练反思感悟反思感悟(1)作给定的各个角时,可先找出在0360范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.(2)判断角是第几象限角的常用方法为将写成+k360(其中kZ,在0360范围内)的形式,观察角的终边所在的象限即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)画出区域:将坐标系每个象限
15、二等分,得到8个区域;(2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上,(如图所示);(3)确定区域:找出与角所在象限标号一致的区域,即为所求.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对任意角的概念不清导致角的范围写错典例典例 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.错解一终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ),所以终边在阴影部分内的角的集合为|k360+30k360+150,kZ.错解二终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ),所以终边在阴影部分内的角的集合为|k360+150k360+30,kZ.以
16、上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?怎么防范?课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练提示:错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.正解:因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为=30+k360,kZ,终边为OB的角为=-210+k360,kZ.所以终边在阴影部分内的角的集合为|-210+k36030+k360,kZ.防范措施 1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.课堂篇探究学习探究一探究二探
17、究三思维辨析随堂演练1.下列叙述正确的是()A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析:90角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角小,故D错.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.把-1 485化成k360+(0360,kZ)的形式是()A.315-5360B.45-4360C.-315-4360D.-45-10180解析:0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确.答案:A3.-495角的终边与下列哪个角
18、的终边相同()A.135B.45 C.225D.-225解析:因为-495=-2360+225,所以与-495角终边相同的是225角.故选C.答案:C4.与-2 018角终边相同的最小正角是.解析:-2 018=-6360+142,所求值为142.答案:142课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.若角的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.解:以OA为终边的角为75+k360(kZ),以OB为终边的角为k360-30(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为|k360-30k360+75,kZ.有时候，人太清醒反而觉得累，觉得不快乐，但是想要学会装糊涂还真是难。不
19、要等到人生垂暮，才想起俯拾朝花，且行且珍惜。你可能在一个人面前一文不值，却在另一个人面前是无价之宝。谨记自己的价值所在。路再远，也有尽头;苦再深，也会结束，只要不放弃，就有希望。只是，在漫漫的长途中跋涉，在深深的痛苦中挣扎，我们常常为环境所迫，被困难所迷惑，放弃了希望，厌倦了生活，觉得路越走越窄，苦越来越深。其实，窄的不是路，是思想与感情，深的不是苦，是感受与心情，路边是路，苦中有甜，看得是你自己。许多人，不是擦肩，就是错过，总是无缘;许多事，不是无能，就是无情，总是无缘。人生，就是一次艰辛的旅行，得意时，顿生许多豪情，期盼着，浏览更多美好的风景;失意时，凭添许多伤心，渴望着，走出困境摆脱愁情
20、。人生所有的一切，得意也好，失意也罢，圆满很少，完美不多，人如此，事这样，如意很少。人生，有许多无奈，好多人或事，明明喜欢，偏偏不能;明明热爱，恰恰不能;生活，有许多无能，好多事情，明明讨厌，常常不做不行;明明厌倦，往往不做不成。想做的不能，想说的不行;不愿做的，却又不能，不想说的，就是不行。我们就是这样无奈，无能。何时，能随心如愿，给心身最大的自由，那该多好。这个世界有两件事我们不能不做：一是赶路，二是停下来看看自己是否拥有一份好心态。好心态是人们一生中的好伴侣，让人愉悦和健康。人生感悟：要有阳光般的心态。没有爱的生活就像一片荒漠，赠人玫瑰，手有余香“学会爱别人，其实就是爱自己”，让爱如同午
21、后阳光，温暖每个人的心房。人生感悟：学会爱别人多去尊重理解别人，常怀宽容和感激之心，宽容是一种美德，是一种智慧，海纳百川才有了海的广阔，感激你的朋友，是他们给了你帮助：感激你的敌人，是让你变得坚强。人生感悟：懂得宽容和感恩。管好自己的嘴，讲话不要只顾一时痛快信口开河，“良言一句三冬暖，伤人一语六月寒”说话要用脑子。不扬人恶，自然能化敌为友。人生感悟：切记祸从口出！人情、人情，人之常情，要乐善好施，常与交往，“平时多烧香，急时有人帮”，所以，“人情要多储存，就像银行存款，存的越多，时间越长，红利就越大。人生感悟：多储存人情。遇事不要急躁！不要急于下结论特别是生气的时候做决断，要学会换位思考，或者
22、等一等，大事化小，小事化了。把复杂的事情尽量简单处理，千万不要把简单的事情复杂化。人生感悟：遇事莫急躁！真正学会知足。人生最大的烦恼是从没有意义的比较开始，大千世界总有比如你的和比你强的人，“当我哭泣没鞋穿的时候，我发现有人却没脚”。人生感悟：真正学会知足。如果敌人让你生气，那说明你还有胜他的把握，根本不必回头去看咒骂你的人是谁。如果有一条疯狗咬你一口，难道你也要趴下去反咬它一口吗？人生感悟：不和小人生气计较。别把工作当负担，既然目前改不了行，也没有更好的选择，与其生气埋怨，不如积极快乐的去面对。当你把工作当做生活和艺术时，你就会享受到生活的乐趣。人生感悟：享受工作的快乐。人活着一天就是福气，
23、就该珍惜，人生短短几十年，不要给自己留下更多的遗憾。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。人生感悟：珍惜自己的生活。1.人生就像蒲公英，看似自由，却往往身不由己。生活没有如果，只有结果，自己尽力了，努力了，就好。有的人像WIFI热点，即使远了，但是只要你没改密码，再相见的时候也会自动连上，只是改不改密码，也是人家的事了。要么敢爱敢恨快意人生，要么没心每肺扮傻到底，别让自己活成了那种，懂得很多道理却过不好这一生的人。成大事的人，往往做小事也认真，而做小事不认真的人，往往也做不成大事。看别人不顺眼，其实是自已的修养不够。人生在世，顺少逆多，一辈子不容易，千万不要总
24、是跟别人过不去，更不要跟自已过不去。如果是一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉，如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的，人生亦如此。人，总爱跟别人比较，看看有谁比自己好，又有谁比不上自己。而其实，为你的烦恼和忧伤垫底的，从来不是别人的不幸和痛苦，而是你自己的态度。学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣，并改善学生作为学习的自我概念。为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可的独立人格。劳动教养了身体，学习教养了心灵我们的事业就是学习再学习，努力积累更多的知识，因为有了知识，社会就会有长足的进步，人类的励志语录未来幸福就在
25、于此。青年是整个社会力量中的一部分最积极最有生气的力量。他们最肯学习，最少保守思想，在社会主义时代尤其是这样。必须记住我们学习的时间有限的。时间有限，不只由于人生短促，更由于人事纷繁。在学习上做一眼勤手勤脑勤，就可以成为有学问的人。聪明在于学习，天才在于积累。所谓天才，实际上是依靠学习。天才不能使人不必工作，不能代替劳动。要发展天才，必须长时间地学习和高度紧张地工作。人越有天才，他面临的任务也就越复杂，越重要。诺夫对所学知识内容的兴趣可能成为学习动机。12、要建设，就必须有知识，必须掌握科学。而要有知识，就必须学习，顽强地耐心地学习。向所有的人学习，不论向敌人或朋友都要学习，特别是向敌人学习。学习专看文学书，也是不好的。先前的文学青年，往往厌恶数学理化史地生物学，以为这些都无足轻重，后来变成连常识也没有。只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习，这是教育过程的逻辑。游手好闲地学习，并不比学习游手好闲好。学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。读和写是学生最必要的两种学习方法，也是通向周围世界的两扇窗口。
