1、泰勒公式泰勒公式主要是用多项式近似代替函数主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表且误差可由公式表示出来示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式同时给出误差公式.第三节第三节 泰勒公式泰勒公式在利用微分作近似计算时在利用微分作近似计算时)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf (当当 时时)0 xx 不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1
2、 1、精确度不高；、精确度不高；2 2、误差不能估计、误差不能估计.设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 问题的提出问题的提出将求得的系数将求得的系数 a0,a1,a2,an代入代入(1)(1)式式,有有!)(,!2)(),(),(0)(020100nxfaxfaxfaxfann 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxpnnnxxnxf)(!)(00)(2)来近似表达来近似表
3、达f(x),),要求要求Pn n(x)与与f(x)之差是比之差是比(x-x0 0)n高阶的高阶的无穷小无穷小,并给出误差并给出误差|f(x)-)-Pn n(x)|)|的具体表达式的具体表达式.设函数设函数f(x)在含有在含有x0 0的开区间内具有直到的开区间内具有直到(n+1)n+1)阶导数阶导数,试找试找出一个关于出一个关于(x-x0 0)的的n n次多项式次多项式nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 (1)假设假设Pn n(x)与与f(x)在点在点x0 0的函数值及它的直到的函数值及它的直到n n阶导数都相等得阶导数都相等得)()(!)()(!2)()()()(00
4、)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 证明证明:)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 之之间间与与在在nx 0()()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn ,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 则由上式得则由上式得拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余
5、项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 注注:1)1)在不需要余项的精确表达式时，在不需要余项的精确表达式时，n n 阶泰勒公式也可阶泰勒公式也可 写成写成nnxxnxfxxxfxfxf)(!)()()()(00)(000 )(0nxxo (5)(5)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxn
6、exf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1
7、()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx .127 原式原式例例3 3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限 xxxxx30sincossinlim 解解 由于分式的分母由于分式的分母)0(sin33 xxx所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即31)(31limsincossinlim)(31cossin)(!2cos),(!3sin333030333333 xxoxxxxxxoxxxxxoxxxxxoxxxxx返回返回
