1、第四节绝对值不等式及不等式的证明第四节绝对值不等式及不等式的证明备考方向明确备考方向明确 方向比努力更重要方向比努力更重要复习目标复习目标学法指导学法指导1.1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义何意义.2.2.能利用绝对值三角不等式证明一些简单能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式的绝对值不等式.3.3.掌握最简单的绝对值不等式掌握最简单的绝对值不等式|x|a|x|a|x|a的解法和几何意义的解法和几何意义.4.4.掌握掌握|ax+b|c|ax+b|c和和|ax+b|c|ax+b|c型不等式的型不等式的解法解法.5.5.掌握掌握|x-a|+|
2、x-b|c|x-a|+|x-b|c和和|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c型不等式的解法型不等式的解法.理解绝对值不等式在解决简单的最大理解绝对值不等式在解决简单的最大(小小)值问题中的应用值问题中的应用.1.1.处理绝对值问题常用方法有处理绝对值问题常用方法有(1)(1)零点分零点分段讨论法段讨论法;(2);(2)利用绝对值的几何意义或利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式绝对值三角不等式;(3);(3)平方法平方法(适合不等适合不等式或等式两边均为非负数式或等式两边均为非负数).).2.2.涉及含参数的不等式最值问题常转化涉及含参数的不等式最值问题常转化为分段函数问题进行求解为
3、分段函数问题进行求解.知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来网络构建网络构建一、绝对值三角不等式一、绝对值三角不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a+b|a|+|b|.拓展空间拓展空间1.1.理解辨析理解辨析(1)(1)不等式左边加绝对值号同样成立不等式左边加绝对值号同样成立,即即|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a+b|a|+|b|.(2)a,b(2)a,b同号时右边取等号同号时右边取等号,a,b,a,b异号时左边取等号异号时左边取等号.2.2.与绝对值不等式相关联的结论与绝对值不等式相关联的结论(1)|a(1)|a1 1+a+a2
4、 2+a+an n|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n|.|.(2)|a|-|b|a-b|a|+|b|.(2)|a|-|b|a-b|a|+|b|.(3)(3)对于任意两个向量对于任意两个向量a,b,a,b,都有都有|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|b|;b|a|+|b|;其几何意义是三角其几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边和且大于其他两边的差形中任意一边的长小于其他两边和且大于其他两边的差,借助向量加法的三角借助向量加法的三角形法则或减法的三角形法则形法则或减法的三角形法则,如图如图,更容易理解这一结论更容易理解这一结论.2.2.扩展型不等式扩展型不等
5、式|ax+b|c|ax+b|c和和|ax+b|c|ax+b|c型型,把把ax+bax+b作为整体作为整体,转化为上述基础型转化为上述基础型.3.3.含有两个绝对值的和与差的不等式含有两个绝对值的和与差的不等式(形如形如|x-a|x-a|x-b|c)|x-b|c)的解法的解法(1)(1)分段讨论法分段讨论法(零点分区间法零点分区间法)利用绝对值符号内式子对应方程的根利用绝对值符号内式子对应方程的根,将数轴分为将数轴分为(-,a,(a,b,(b,+)(-,a,(a,b,(b,+)(此处此处设设ab)ac(c0)|x-b|c(c0)的几何意义的几何意义:数轴上到点数轴上到点x x1 1=a=a和和x
6、 x2 2=b=b的距离之和或差的距离之和或差大于大于c c的全体的全体,|x-a|+|x-b|x-a-(x-b)|=|a-b|.,|x-a|+|x-b|x-a-(x-b)|=|a-b|.(3)(3)图象法图象法作出函数作出函数y y1 1=|x-a|+|x-b|=|x-a|+|x-b|和和y y2 2=c=c的图象的图象,结合图象来解结合图象来解.三、含参绝对值不等式的恒成立和存在性问题三、含参绝对值不等式的恒成立和存在性问题恒成立问题和存在性问题中求参数的范围通常都通过分离参数恒成立问题和存在性问题中求参数的范围通常都通过分离参数,转化为求转化为求f(x)f(x)最值问题最值问题.注意两者
7、的区别注意两者的区别:对于任意对于任意xa,b,mf(x)xa,b,mf(x)恒成立恒成立mf(x)mf(x)maxmax,这里这里f(x)f(x)maxmax指指xa,bxa,b时时f(x)f(x)的最大值的最大值;存在实数存在实数xa,b,mf(x)xa,b,mf(x)成立成立mf(x)mf(x)minmin,这里这里f(x)f(x)minmin指指xa,bxa,b时时,f(x),f(x)的最小值的最小值.温故知新温故知新1.1.设设a,ba,b为满足为满足ab0ab|a-b|(A)|a+b|a-b|(B)|a+b|a-b|(B)|a+b|a-b|(C)|a-b|a|-|b|(C)|a-b
8、|a|-|b|(D)|a-b|a|+|b|(D)|a-b|a|+|b|B B解析解析:因为因为ab0,ab|a+b|.|a-b|=|a|+|b|a+b|.故选故选B.B.2.2.不等式不等式|2x-1|3|2x-1|3的解集是的解集是.解析解析:原不等式可化为原不等式可化为2x-132x-13或或2x-1-3,2x-12x2或或x-1.x2x|x2或或x-1x-13.3.不等式不等式|2x-1|+|2x+1|6|2x-1|+|2x+1|6的解集是的解集是.答案答案:-3-35.5.若存在实数若存在实数x x使使|x-a|+|x-1|3|x-a|+|x-1|3成立成立,则实数则实数a a的取值范
9、围是的取值范围是.解析解析:因为因为|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使要使|x-a|+|x-1|3|x-a|+|x-1|3有解有解,可使可使|a-1|3,|a-1|3,所以所以-3a-13,-3a-13,所以所以-2a4.-2a4.答案答案:-2,4-2,4高频考点突破高频考点突破 在训练中掌握方法在训练中掌握方法反思归纳反思归纳 利用放缩法证明不等式利用放缩法证明不等式,就是舍掉式中一些正项或负项就是舍掉式中一些正项或负项,或者在或者在分式中放大或缩小分子、分母分式中放大或缩小分子、分母,还可以把和式中
10、各项或某项换成较大或较小的还可以把和式中各项或某项换成较大或较小的数数,从而达到证明目的从而达到证明目的.迁移训练迁移训练(2)(2)若若f(3)5,f(3)5,求求a a的取值范围的取值范围.考点二解绝对值不等式考点二解绝对值不等式【例例2 2】解下列关于解下列关于x x的不等式的不等式:(1)1|x-2|3;(1)1|x-2|3;(2)|2x-1|2m-1(m(2)|2x-1|2m-1(mR R).).反思归纳反思归纳 (1)(1)求解含参数的绝对值不等式求解含参数的绝对值不等式,比求解普通的绝对值不等式比求解普通的绝对值不等式的流程多了一步讨论参数的流程多了一步讨论参数.(2)(2)分段
11、讨论法分段讨论法(零点分区间法零点分区间法)解绝对值不等式的步骤解绝对值不等式的步骤:求零点求零点,即分别令各即分别令各绝对值里的式子为零绝对值里的式子为零,并求出相应的根并求出相应的根;分区间分区间,即把这些根从小到大依次排即把这些根从小到大依次排序序,以这些根为分界点以这些根为分界点,将实数分成若干小区间将实数分成若干小区间;去绝对值去绝对值,即按每个小区间即按每个小区间来去掉绝对值符号解不等式来去掉绝对值符号解不等式;确定不等式的解集确定不等式的解集,即求每个小区间上相应解即求每个小区间上相应解集的并集集的并集.迁移训练迁移训练答案答案:x|-1x1x|-1x12.2.不等式不等式|x-
12、1|-|x-5|2|x-1|-|x-5|2的解集为的解集为.答案答案:x|x4x|xmf(x)m的解集为空集的解集为空集,则则f(x)mf(x)m恒成立恒成立)也是不等式的恒成立问题也是不等式的恒成立问题,这两这两类问题都可化为最值问题类问题都可化为最值问题,即即f(x)af(x)f(x)af(x)maxmax,f(x)a,f(x)a恒成立恒成立af(x)af(x)minmin.迁移训练迁移训练A A考点四绝对值不等式的综合问题考点四绝对值不等式的综合问题【例例4 4】设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),当当|x|1|x|1时时,总有总有|f(x)|1
13、.|f(x)|1.求证求证:当当|x|2|x|2时时,|f(x)|7.,|f(x)|7.反思归纳反思归纳 首先分析二次函数在闭区间首先分析二次函数在闭区间-2,2-2,2上的最值情况上的最值情况,然后用然后用f(-1),f(0),f(1)f(-1),f(0),f(1)表示系数表示系数a,b,c,a,b,c,最后用绝对值不等式进行放缩最后用绝对值不等式进行放缩,从而使问题从而使问题得到解决得到解决,这是解决已知二次函数在某个区间上范围这是解决已知二次函数在某个区间上范围,求其在另一个区间上的求其在另一个区间上的范围问题常用方法范围问题常用方法.解题规范夯实解题规范夯实 在平凡的事情上精益求精在平
14、凡的事情上精益求精绝对值不等式的综合应用绝对值不等式的综合应用解题规范解题规范规范要求规范要求:由于由于|a|1,f(x)|a|1,f(x)的表达式中有两项含有的表达式中有两项含有a,a,要想利用条件要想利用条件|a|1,|a|1,可可以合并含以合并含a a的项的项,从而找到解题思路从而找到解题思路,另外另外,由于由于x x的最高次数为的最高次数为2,2,而而a a的最高次数的最高次数为为1,1,把把axax2 2+x-a+x-a看作关于看作关于a a的函数更简单的函数更简单,这两种方法中这两种方法中,对对a a的合并都是很关键的合并都是很关键的一步的一步.温馨提示温馨提示:在第在第(1)(1
15、)问中的法一中问中的法一中,如果不合并含如果不合并含a a的项的项,就无法正确应用条件就无法正确应用条件|a|1,|a|1,从而导致出错或证不出从而导致出错或证不出;法二也需要先合并含法二也需要先合并含a a的项后的项后,才容易把才容易把f(x)f(x)看看作作g(a).g(a).【规范训练】【规范训练】已知函数已知函数f(x)=|2x-a|+a.f(x)=|2x-a|+a.(1)(1)当当a=2a=2时时,求不等式求不等式f(x)6f(x)6的解集的解集;(2)(2)设函数设函数g(x)=|2x-1|,g(x)=|2x-1|,当当xxR R时时,f(x)+g(x)3,f(x)+g(x)3,求
16、求a a的取值范围的取值范围.课堂类题精练课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣在练习中体会学习的乐趣A A2.2.设设|a|1,|b|1,|a|1,|b|2(A)|a+b|+|a-b|2(B)|a+b|+|a-b|2(B)|a+b|+|a-b|2(C)|a+b|+|a-b|=2(C)|a+b|+|a-b|=2(D)(D)不能确定不能确定B B解析解析:用特殊值法用特殊值法,取取a=b=0,a=b=0,则则B B正确正确.故选故选B.B.3.3.已知实数已知实数a,b,c,(a,b,c,()(A)(A)若若|a|a2 2+b+c|+|a+b+b+c|+|a+b2 2+c|1,+c|1,则则a a
17、2 2+b+b2 2+c+c2 2100100(B)(B)若若|a|a2 2+b+c|+|a+b+c|+|a2 2+b-c|1,+b-c|1,则则a a2 2+b+b2 2+c+c2 2100100(C)(C)若若|a+b+c|a+b+c2 2|+|a+b-c|+|a+b-c2 2|1,|1,则则a a2 2+b+b2 2+c+c2 2100100(D)(D)若若|a|a2 2+b+c|+|a+b+b+c|+|a+b2 2-c|1,-c|1,则则a a2 2+b+b2 2+c+c2 21000(1+x)(1-|x|)0的解集是的解集是()(A)x|0 x1(A)x|0 x1(B)x|x0(B)
18、x|x0且且x-1x-1(C)x|-1x1(C)x|-1x1(D)x|x1(D)x|x0)a0)的解集是的解集是.7.|2x-1|-1|17.|2x-1|-1|1的解集是的解集是.类型三绝对值不等式的恒成立问题类型三绝对值不等式的恒成立问题8.8.不等式不等式|x+3|-|x-1|a|x+3|-|x-1|a2 2-3a-3a对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.解析解析:因不等式对任意因不等式对任意x x恒成立恒成立,|x+3|-|x-1|(x+3)-(x-1)|=4,|x+3|-|x-1|(x+3)-(x-1)|=4,所以所以a a2 2-3a4
19、,-3a4,解得解得a4a4或或a-1.a-1.答案答案:(-,-14,+)(-,-14,+)9.9.不等式不等式|x+3|-|x-1|a|x+3|-|x-1|a2 2-3a-3a对任意实数对任意实数a a恒成立恒成立,则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是.类型四绝对值不等式的综合问题类型四绝对值不等式的综合问题10.10.(2018(2018宁波质检宁波质检)设函数设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)(1)解不等式解不等式f(x)0;f(x)0;(2)(2)若存在实数若存在实数x x0 0,使得使得f(xf(x0 0)+2m)+2m2 24m,4m,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.点击进入点击进入 课时训练课时训练
