1、第八章 多元函数微分法及其应用9-1多元函数的基本概念例1.指出集合的所有聚点及其边界。2222,11,24Ex y xyx y xy例2 判别是开区域还是闭区域，是有界集还是无界集。,1x yxy 例3指出下列点集是开区域，还是 闭区域，是有界集，还是无界 集，并指出它的边界 222221.,2.,2Vx y zxyaZhVx y zxyzZ例4求函数 的定义域，并用图形表示。22arccoszuxy例5设 求证22221,+sin+f x yxyxy,0.0lim,0 x yfx y例6 设证明1,sinf x yxyxy,0.01limsin0 x yxyxy例设函数证明当点 沿通过原点
2、的任意直线 趋于 时函数 皆存在极限，且极限都相等，但是此函数在原点不存在极限。44342,x yf x yxyp xy，ymx0,0,f x y例求,0,2sinlimx yxyx例求22,0,0limlnx yxyxy例10求 2 222limx yxyxyxy例11设 ，证明 是 上的连续函数。,sinx yxf,x yf2R例12为了使函数在原点连续，怎样定义 的值，其中0,00,0f22221 cos,xyx ytg xyf例13证明函数分别对每个自变量 （另一个看作常数）都连续，但作为二元函数在原点 不连续。0022222220,xyxyxyxyx yf若若xy或0 0，例14求函
3、数的间断点。221,sin1f x yxy例15 求,1,2limx yxyxy例16求,0,01 1limx yxyxy 9-2偏导数例1求函数220010,xyxyxyf x y当或当例2求的偏导数。2sin2Zxy例3设 求证 0,1yZxxx12lnxzzzyxxy例4求的偏导数。222rxyz例5求在点 处的偏导数。223Zxxyy1,2例6已知理想气体的状态方程 （R是常量）求证 pvRT.1PVTVTP 例7函数说明此函数在点 的两个偏导数存在但在 不连续。220010,xyxyxyf x y当或当0,00,0例8设 求 2233zzzx yy xx 32313xyZx yxy例
4、9证明函数满足方程 ，其中 。1ur2222220uuuxyz222rxyz例10设 求 并证明22002222220,xyxyxyxyxyx yf.ffxy0,00,0 xyyxff9-3 全微分例1证明函数在点 处连续，偏导数存 在，但不可微。=Zxy0,0例2已知函数说明 在 可微，但偏导数在原点不连续。220022221sin0,xyxyxyx yx yf当时当时,f x y0,0例3计算函数 的全微分。例4计算函数 在点 的全微分。22Zx yyxyZe2,1例5计算函数 的全微分。例6计算函数在点 的全微分。sin2yzyuxe1zxuy1,1,19-4 多元复合函数的求导法则例1
5、设 而 求全导数sinZuvtcostuevtdzzt例2设 而 求 。sinZevuxy vxyzzxy和例3设 而 求 。222,xyzufx y ze2sinZxyuuxy和例4设 具 有二阶连续偏导数，求,f xyzxyzf2xx z 及例5设 的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式,uf x y 21uuxy2+22222uuxy+例6利用全微分形式的不变 性，求 。设.zzxysinuzevuxy vxy而例7设 具有二阶连续偏导数，求 。22sinxzf ey xyf2zx y 例8设 其中 有二阶连续偏导数，二阶可导，求,2zfx yxguvyh uvf,g
6、h2zu v 9-5 隐函数的求导公式例1验证方程 在点 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数，当 时 的隐函数 ，并求这个函数的一阶及二阶导数在 的值。2210 xy 0,10 x 1y yf x0 x 隐函数存在定理2 设函数 的某一邻域内具有连续偏导数，且则方程 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 并有 000,F x y zP xy z在点000000,0zF xy zFxy z=0000,F x y zxy z=0在点,zf x y000,zf xy,yxzzFFzzxFyF 例2设 求 。222+40 xyzz22zx例3设 为由方程 所确定的隐函数
7、，求 。,Zz x y2222xyzxyzzx例4设函数 由方程 确定，且 可微，求 。,Zz x ygzzx y g zx xy zxyz隐函数存在定理3 设 在点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比 式）,F x y u vG x y u v、0000,P xy u v00000000,0,F xy u vG xy u v=0,jacobi,FFF GuvJu vGGuv在点 不等于零，则方程组在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件0000,P xy u v,0,F x y u vG x y u v=0,
8、0000,xy u v,uu x yvv x y000000,uu xyvv xy并有,1,xvxvuvuvF FG GF GuxJx vF FG G ,1,6,uxuxuvuvF FG GF GvxJu xF FG G ,1,yvyvuvuvF FG GF GuyJy vF FG G ,1,uyuyuvuvF FG GF GvyJu yF FG G 例5设 求 。01xuyvyuxvuuvvxyxy和例6设函数 在点 的某一邻域内连续且有连续偏导数，又 。（1）证明方程组 在点的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 （2）求反函数对 的偏导数。,xx u vyy u v,u v
9、,0,x yu v,x x u vyy u v,x y u v,uu x yvv x y,uu x yvv x y,x y例7设 求 。cossinvvxuyuuuuvxx9-6 多元函数微分学的几何应用（三）向量值函数的极限1.定义：设向量值函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常向量 ，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当 t 满足对应的函数值 都满足不等式 那么，常向量 叫做向量值函数 当 时的极限，记作 f t0t0r00tt 时 f t 0,f tr0r f t0tt 0000limttf trf tr tt或2.性质：向量值函数 当 时的极限存在的充分必要条件是：的
10、三个分量函数 当 时的极限存在，在函数 当 时的极限存在时。f t0tt f t 123,ftftft0tt f t0tt 0001230limlim,lim,limtttttttf tftftft（四）向量值函数 的连续性1.定义：设向量值函数 在点 的某一邻域内有定义，若则称向量值函数 在 连续。2.性质：向量值函数 在 连续的充分必要条件是：的三个分量函数 f t f t0t 00limttf tf t f t0t f t0t f t都在 连续。123,ftftft0t3.是 上的连续函数 设向量值函数 ,在 中的每一点处都连续，则称 在 上连续，并称 是 上的连续函数。f t1D 1,
11、f ttDDD若 f t1D f t1D f t1D（五）向量值函数 的导数1.定义：设向量值函数 在点的某一邻域内有定义，如果 存在，那么就称这个极限向量为向量函数在 处的导数（或导向量），记 。f t rf t0t 0000limlimttf ttf trtt rf t0t 00t tdrftdt或2.性质：向量值函数 在 可导（即存在导数）的充分必要条件 是 的三个分量函数都在 可导，当 在 可导时，其导数 。f t0t f t 123,ftftft0t 0102030ftftiftjftk f t0t3.在 上可导 设向量值函数 ，若 在 中的每一点 处都存在导向量 ，那么就称 在 上
12、可导。f t1D,rf ttD 1DDf t1Dt ft f t1D4.向量值函数求导运算法则 设 是可导的向量值函数，是常向量，C是任一常数，是可导的数量函数，,u tv tC t则 10dcdt 2dcu tcutdt 3du tv tu tv tdt 4dt u tt u tt u tdt 5du t v tu t v tu t v tdt 6du tv tu tv tu tv tdt 7dutt utdt例1设 求 。cossinf tt it jtk 4limtf t例2设空间曲线 的向量方程为 求曲线 在与 相应点处的单位切向量。221 43 26,rf ttttttR2t 例3
13、一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿位置向量为的路径螺旋式向上，求（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量 和加速度向量。（2）滑翔机在任意时刻t的速率。（3）滑翔机在任意时刻的速度和加速 度正交的时刻。23cos3sinrf tt it jt k例4求空间曲线在 处的的切线及法平面方程。230:2sincoscosutttxytt zeeudu0t 例5求曲线 上与平面平行的切线方程。23y xz x24xyz例6求曲线在点 处的切线及法平面方程。22260 xyzxyz1,2,1例7求曲面上垂直于直线的切平面方程。2222321xyz440 3230 xyyz例8证明曲面 上任意一点的切平
14、面与不在其上的 直线 平行（为常数）。,0 xazybz1xyzab,a b例6平面与椭球面相切，求 等于多少。33160 xyz222316xyz9-7 方向导数与梯度例1说明函数 在点 处沿任意方向 的方向导数都存在，且有 而偏导数 都不存在。22=Zxy0,00,01zl000,0 xyzzxyl例2求函数 在点 到点 的方向的方向导数。2yZxe1,0P2,1Q例3求 在点 沿方向 的方向 导数，其中 的方向角分别为 。,f x y zxyyzzx1,1,2l60,45,60l例4求二元函数在点 沿方向的方向导数及梯度，并指出 在该点沿哪个方向减少的最快，沿哪个方向的方向导数为为零。2
15、2uxxyy1,112,15le u例5设函数 在 处沿 的方向导数是1，沿的方向导数是-3，求 在 沿 的方向导数。,f x y02,0p12,2l 22,0l f0p3,2l 例6设 求 （1）在 处增加最快的方向以及 沿这个方向的方向导数。（2）在 处减少最快的方向以及 沿这个方向的方向导数。（3）在 处的变化率为零的方向。2201,1,12fx yxyp,f x y0p,f x y,f x y,f x y0p0p,f x y例7设 问 在 处沿什么方向变化最快，在这个方向的变化率是多少？320,1,1,0f x y zxxyz p,f x y z0p例8求曲面 在点 得切平面和法线 方
16、程。2229xyz01,2,4p例9设 求 。222,f x y zxyz1,1,2gradf例10试求数量场 所产生梯度场，其中常数为原点 间的距离。mr2220+mrxyz,M x y z与点9-8 多元函数的极值及其求法例1求函数的极值。3322,339f x yxyxyx例2求函数 的极值。4422,2Zf x yxyxxy y例3某厂要用铁板做成一个体积为 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。32m例4求函数 在 和 所围成的闭区域D上的最大值和 最小值。,4Zf x yxyxy1,xyo6xy例5有一宽为 的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？24cm例6求表面积为 而体积为 最大的长方体的体积。例7求函数 在附加条件下的极值。2auxyz11110000 xyzaxyza
