1、 专题 22 恒成立问题参变分离法专题训练 1、已知函数 xx f xeae，若 ( ) 2 3fx 恒成立，则实数a的取值范围是_ 解、首先转化不等式， ( )xx fxeae，即2 3 x x a e e 恒成立，观察不等式a与 x e便于分离，考 虑利用参变分离法，使, a x分居不等式两侧， 2 2 3 xx aee ，若不等式恒成立，只需 2 max 2 3 xx aee ， 令 2 2 2 333 xxx g xeee（解析式可看做关于 x e的二次 函数，故配方求最值） max3g x，所以3a 答案、3a 2、已知函数 ln a fxx x ，若 2 f xx在1,上恒成立，则
2、a的取值范围是_ 解、 233 lnlnln a xxxxaxaxxx x ，其中1,x 只需要 3 max lnaxxx，令 3 lng xxxx 2 ( )1ln3g xxx （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将lnx变为 1 x ，所以二阶导函数的单调 性可分析，为了便于确定 g x的符号，不妨先验边界值） 12g ， 2 116 60 x gxx xx ，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过 程） g x在1,单调递减， 10( )g xgg x在1,单调递减 11g xg 1a 答案、1a 3、若对任意xR，不等式 2 3 32 4 xaxx恒成立，则实数
3、a的范围是 解、在本题中关于, a x的项仅有2ax一项，便于进行参变分离，但由于xR,则分离参数时要对x的符 号 进 行 讨 论 ， 并 且 利 用x的 符 号 的 讨 论 也 可 把 绝 对 值 去 掉 ， 进 而 得 到a的 范 围 ， 22 33 3223 44 xaxxaxxx，当0x 时， min 3 231 4 ax x ，而 333 31312312 444 xxx xxx 221aa； 当0x 时， 不等式恒成立； 当0x 时， max 3 231 4 ax x ，而 33 31132 44 xx xx 221aa 综上所述、11a 答案、11a 4、设函数 2 ( )1f
4、xx，对任意的 2 3 ,4( )(1)4 ( ) 2 x xfm f xf xf m m 恒成立，则实 数m的取值范围是_ 解 、 先 将 不 等 式 进 行 化 简 可 得 、 2 2 222 1411141 x mxxm m ， 即 222 2 1 423mxxx m ，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以 2 x，可得、 2 2 22 min 123 4 xx m mx ， 2 2 2 2311 321 xx g x xxx ， 12 0, 3x 最 小 值 25 33 g ， 242 2 15 412530 3 mmm m 即 22 31430mm解 得 、 33 , 22 m 答案
5、、 33 , 22 m 5、若不等式 23 22xxxax对0,4x恒成立，则实数a的取值范围是 解、 23 23 min 22 22 xxx xxxaxa x ，令 23 22xxx f x x ，对绝对值内 部进行符号讨论，即 2 2 2 2 2, 24 2 2 2 2,02 xxx x f xxx x xxx x ，而 2 2 2yxx x 在 2,4单调递增， 2 2 2yxx x 在0, 2 单调递减，可求出 min 22 2f xf 2 2a 答案、2 2a 6、设正数 222 1, x e xe x f xg x xe ，对任意 12 ,0,x x ，不等式 12 1 g xf
6、x kk 恒成立，则 正数k的取值范围是（ ） 解、先将k放置不等号一侧，可得 2 1 1 kf x g x k ，所以 2 1 max 1 kf x g x k ，先求出 g x的最大 值， 2 1 x g xex e， 可得 g x在0,1单调递增， 在1,单调递减。 故 max 1g xge， 所以若原不等式恒成立，只需 2 1 kf x e k ，不等式中只含 1 , k x，可以考虑再进行一次参变分离， 2 2 1 1 kf xk eef x kk ，则只需 2 min 1k ef x k ， 22 22 111 22 e x f xe xe xe xxx ， 2 min 2f xe
7、 所以 1 2 k ee k 解得、1k 答案、1k 7 、 已 知 函 数 2 21ln ,1 x f xaxaxx aR g xex， 若 对 于 任 意 的 12 0,xxR，不等式 12 f xg x恒成立，求实数a的取值范围 解、 12 f xg x恒成立 只需 1 min f xg x 由 1 x g xex得、 1 x g xe，令 0g x 解得、0x g x在,0单调递减，在0,单调递增 min 00g xg 1 0,x， 2 111 21ln0axaxx恒成立 即只需 max0f x 2 22112111 221 axaxaxx fxaxa xxx 当0a 时，令 21a
8、x a 则 21211 lnln 20 aa f aaa ，与 0f x 矛盾 当0a 时，210ax 0fx解得1x f x在0,1单调递增，在1,单调递减 max 1211f xfaaa 101aa 综上所述、1,0a 8、若不等式2 2xxya xy对任意正数, x y恒成立，则正数a的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 1 2 2 D. 2 21 解、本题无论分离x还是分离y都相对困难，所以考虑将, x y归至不等号的一侧，致力于去求, x y表达 式的最值、 max 2 2 2 2 xxy xxya xya xy ，从2 2xy入手考虑使用均值不等式、 2 2222xyxyxy
9、 22 2 2 xxyxxy xyxy ，所以2a 答案、B 9、已知函数 1ln x fx x ，如果当1x 时，不等式 1 k fx x 恒成立，求实数k的取值范围. 解、1x 1 1ln1ln 1 xxxk k xxx 即只需要 min 1 1lnxx k x 设 1 1lnxx g x x 22 1 1ln1 1ln ln xxxxx xx gx xx 令 lnh xxx (分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析） 11 1 x hx xx 1x 0h x h x在1,+单调递增 110h xh 0g x g x在1,+单调递增 min 12g xg 2k 答案、2k 10
10、、已知函数 lnf xxxx,若kZ,且 1 fx k x 对任意1x 恒成立,则k的最大值为 _. 解 、 恒 成 立 不 等 式 ln 11 f xxxx k xx ， min ln 1 xxx k x ， 令 ln 1 xxx g x x ， 则 2 l n2 1 xx gx x ，考虑分子 ln2h xxx， 11 10 x hx xx h x在1,单调 递增。尽管不能够确定零点，但可以通过零点存在性定理大致的确定零点所在的位置。 31 ln30,42ln20hh 3,4b ，使得 0h b 。 1,00xb h xg x ，同理，,xb时， 0g x ，所以 g x在1,b单调递减， 在, b 单调递增。 min ln 1 bbb g xg b b ，因为 0h b 即ln20ln2bbbb， 2 3,4 1 bb b g bb b kb max 3k 答案、3
