1、 专题 32 解三角形中的不等问题专项训练 1、ABC各角的对应边分别为cba,，满足 1 bc acab ，则角A的范围是 A(0, 3 B(0, 6 C, ) 3 D, ) 6 解、从所给条件入手，进行不等式化简、1 bc acab 222 b abc acacabbcabc，观察到余弦定理公式特征，进而利用余 弦定理表示cos A、 222 bcabc 222 1 cos 22 bca A bc ，可解得、0, 3 A 答案、A 2、在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 sin3cos ac CA （1）求A的大小 （2 2）若）若6a ，求求bc的取值范围
2、的取值范围 解、 （1）由条件 sin3cos ac CA 可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角” sinsin 1 sinsin3cos3cos acAC CCAA tan3A 3 A （2） 解、4 3 sinsinsin bca BCA 4 3sin ,bB 4 3sincC 3 A 22 33 BCCB 2 4 3 sinsin4 3 sinsin 3 bcBCBB 3131 4 3 sincossin12sincos12sin 22226 BBBBBB 2 0 3 B 51 ,sin,1 66662 BB 6,12bc 3、在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a
3、b c，且2 cos2bCac （1）求角B （2 2）求）求sinsinAC的取值范围的取值范围 解、 （1）使用余弦定理 222 2 cos222 2 abc bCacbac ab 222222 bcaacbacac 由余弦定理得、 222 2cosbacacB 1 cos 23 BB （2） 22 33 ACCA 2 23131 sinsinsincossinsincossin 32222 AAAAAAAA 31cos211 sin2sin 2 44264 A AA ABC为锐角三角形 , ,0, 2 A B C 0 2 262 0 32 A A A 5 2, 666 A 1 sin 2
4、,1 62 A 1 3 sinsin, 2 4 AC 4、在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sinsinsinACpB pR，且 2 1 4 acb （1）当 5 ,1 4 pb时，求, a c的值 （2）若角B为锐角，求p的取值范围 解、 （1） 555 sinsinsin 444 ACBacb 1 4 ac 5 1 4 1 1 4 4 aac c ac 或 1 4 1 a c （2）解、考虑余弦定理 2 222 2cos21cosbacacBacacB 2222 1 1cos 2 bp bbB 2 31 cos 22 pB B为锐角，0cos1B 2 3 ,
5、2 2 p 0acpbp 6 , 2 2 p 5、若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是 解、 222 cos 2 abc C ab 由sin2sin2sinABC可得、22abc 2 2 ab c 2 22 22 222 2 312 2 312 422 cos 222844 ab ab abab abcab C abababba 36 2 844 ab ba 答案、 6 4 6、在锐角ABC中2,AB B、C的对边长分别是b、c,则 + b b c 的取值范围是( ) A 1 1 ( , ) 4 3 B 1 1 ( , ) 3 2 C 1 2 ( , ) 2 3
6、 D 2 3 ( , ) 3 4 解、 sin1 sin +sinsin 1 sin bB C b cBC B sinsinsincossincos sinsinsin ABCABBA BBB 由 2 2sinsin22sincos ,coscos22cos1ABABBBABB 2 22 sin2sincossincos2 2coscos24cos1 sinsin CBBBB BBB BB 因为ABC为锐角三角形 0 2 02 2 03 2 B AB CB 解得、 64 B 23 cos, 22 B 2 sin 4cos11,2 sin C B B 11 1 , sin +3 2 1 sin
7、b C b c B 答案、B 7、已知ABC的角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且 222 2 3 abcab，若ABC的外接圆半径为 3 2 2 ，则ABC面积的最大值为_ 解、由 222 2 3 abcab可联想到余弦定理求cosC，所以 222 1 cos 23 abc C ab ，从而 2 2 sin 3 C ，所求面积可表示为 1 sin 2 ABC SabC，则只需解出ab的最大值即可。由外接圆半径 3 2 2 R 及sinC可得、2 sin4cRC，所以 22 2 16 3 abab，而 22 2abab，所以有 2 16212 3 ababab，所以 12 2
8、124 2 23 ABC S 答案、4 2 8、设ABC的内角, ,A B C所对的边为, ,a b c，若, ,a b c成等比数列，则 sin sin B A 的取值范围是 _ 解、 由, ,a b c成等比数列可得、 2 bac， 也可视为 2 sinsinsinBAC ， 所求表达式 sin sin B A 也可视为 b a 。 如果从角入手，则 22 sinsinsinsinsinsinBACBAAB无法与 sin sin B A 联系。所以考虑从边入 手。由 2 bac可得、 2 b c a ，在ABC中，若abc ，则cab，所以 2 b ab a ，即 2 15 101 2 b
9、bb aaa ， 同 理 ， 若cba， 则 2 b abcab a ， 解 得 、 51 1 2 b a 。综上 sin5151 , sin22 Bb Aa 答案、 5151 , 22 9、 已知ABC 中， 角 A,B,C 所对的边分别为, ,a b c， 且 BC 边上的高为a， 则 bc cb 的取值范围为_ 解、一方面由所求 bc cb 出发，可用均值不等式得到22 bcb c cbc b ，验证bc时存在这样的三 角形，得到最小值；再从另一个角度入手 22 bcbc cbbc 可联想到余弦定理 222 2cosabcbcA， 而由题目中的底和高可得 22 11 sinsin 22
10、ABC SabcAabcA，所以有、 2 2cossin2cos sin2cos bcabcAbcAbcA AA cbbcbc ，只需求得sin2cosAA的范围即 可 ， 考 虑 12 sin2cos5sincos5sin 55 AAAAA ，tan2， 所 以 s i n2 c o s5AA，综上、2, 5 bc cb 答案、2, 5 10 已知ABC的内角, ,A B C满足 1 sin 2sin()sin 2 AABCCAB，面积S满足 12S，记, ,a b c分别是, ,A B C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 8bc bc B. 16 2ab ab C. 612a
11、bc D. 1224abc 解、 1 sin2sin()sin 2 AABCCAB 1 sin2sin2sin 2 2 ABC 1 sin2sin2sin2 2 ABC 1 sin2sin2sin 22 2 ABAB 1 sin2sin2sin2 cos2sin2 cos2 2 ABABBA 1 sin21cos2sin21cos2 2 ABBA 22 1 2sin2 sin2sin2 sin 2 ABBA 22 1 4sincossin4sincossin 2 AABBBA 1 sinsinsincossincos 8 ABABBA 1 sinsinsin 8 ABAB即 1 sinsins
12、in 8 ABC 由正弦定理可得、2 sin ,2 sin ,2 sinaRA bRB cRC 22 111 sin2 sin2 sinsin2sinsinsin 224 ABC SabCRARBCRABCR 所以由12S可得、 2 1 1222 2 4 RR 33 8sinsinsin8,16 2abcRABCR ，所以,C D均不正确 bca 8bc bcabc A正确 同理abc 8ab ababc，B不正确 11、 ）设锐角ABC的三内角, ,A B C所对边的边长分别为, ,a b c，且1,2aBA，则b的取值范围为 （ ） A. 2, 3 B. 1, 3 C. 2,2 D. 0,
13、2 答案、A 解析、2sinsin2BABA sin2sincosBAA 2 cos2cosbaAA 由锐角ABC可知、 02 2 0 2 03 2 BA A CABA ， 解得 64 A ， 所以 23 cos, 22 A ， 从而 2cos2, 3bA 12、在ABC中，3,4,ABACN是AB的中点， 边AC（含端点）上存在点M，使得BMCN， 则cosA的取值范围是_ 答案、 3 ,1 8 解析、 方法一、若AC存在点M，使得BMCN，则BNC为锐角或直角 在BNC中 222 0BNCNBC 222 222 2cos 2cos CNANACAN ACA BCABACAB ACA 222
14、22 2cos2cos0BNANACAN ACAABACAB ACA 代入 3 ,3,4 2 BNANABAC，可得、 99 1612cos91624cos0 44 AA 9 12cos 2 A 3 cos 8 A 3 cos,1 8 A 方法二（向量法） 以A为原点，直线AB为x轴建系，则 3 3,0 ,0 2 BN ，设4cos ,4sinCAA，04AMtt cos , sinM tA tA 3 cos3, sin,4cos , 4sin 2 BMtAtA CNAA 3 cos34cossin4sin0 2 BM CNBMtAAtAA 155 cos8 38 A t 由0,4t和cos1
15、,1A 可得 3 cos,1 8 A 13、在平行四边形ABCD中，75ABC，2BC ，则AB的取值范围是_ 答案、 62, 62 解析、延长,BA CD交于点E，则在ADE中，105 ,45 ,30DAEADEE 设ADx， 则 由 正 弦 定 理 s i ns i ns i n A DA ED E EA D EE A D 可 得 62 2 , 2 AEx DEx 设 CDm， 则 由 正 弦 定 理 、 sinsin CEBC BE 可 得 、 62 2 2 sin75sin30 mx ， 整 理 后 可 得 、 62 62 2 mx ，所以622ABBEAECEAEx ，由 62 62
16、 2 mx 可知0,2x，所以 62, 62AB 14、在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且2,2cba，则ABC的面积最大值为 _ 答案、2 2 解 析 、 由 余 弦 定 理 可 得 、 222 2coscababC， 代 入2,2cba可 得 、 222 422 2cosaaaC，即 2 2 34 cos 2 2 a C a ，所以有、 42 22242 4 12224161 sin1cos2416 22284 ABC aa SabCaCaaa a 2 2 1 12128 4 a 所以当12a 时， ABC S有最大值为2 2 15、 已知, ,a b c分别
17、为ABC三个内角, ,A B C的对边，2a 且2 sinsinsinbABcbC， 则ABC面积的最大值为_ 答案、3 解析、由正弦定理可得、 2 sinsinsin2bABcbCbabcb c 22 22abbabcbc 2222 44bcbcbcbc 222 42cosabcbcA 1 cos 23 AA 13 sin 24 ABC SbcAbc 22 4bcbc且 22 2bcbc 24bcbc即4bc 3 ABC S 16、在ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，则下列命题正确的是_ 若 2 sinsin2sinABC，则0 4 C 若2abc，则0 3 C 若
18、 444 abc，则ABC为锐角三角形 若2ab cab，则 2 C 答案、 解析、 由正弦定理可知、 2 2abc，由余弦定理可得 222 2cos 2 ab cababC，整理可得、 22 11132 2 cos1 224442 ab ab ab C abba ，所以0 4 C 2 22 22222 323314 cos 22884 ab ab abcaabbab C abababba 从而 31311 cos2 84842 aba b C bab a ，从而0, 3 C 22 44422222 20abcabca b，所以 22 222222222 0abcabcabc，即 222 0a
19、bc，则 222 cos0 2 abc C ab ，所以ABC最大角为锐角。即ABC是锐角三角形 取2,1abc满足2ab cab，则 32 C ，不符题意 17、ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c （1）若, ,a b c成等差数列，证明、sinsin2sinACAC （2）若, ,a b c成等比数列，求cosB的最小值 解析、 （1）, ,a b c成等差数列 2bac ，由正弦定理可得、 2sinsinsinBAC BAC sinsin2sin2sinACACAC （2）, ,a b c成等比数列 2 bac 由余弦定理可得、 22222 111 cos121 2
20、2222 acbacacaca c B acaccac a 等号成立当且仅当ac cosB的最小值为 1 2 18、设ABC的内角CBA,所对的边分别为,cba且bcCa 2 1 cos. （1）求角A的大小； （2）若1a，求ABC的周长l的取值范围. 解析、 （1） 11 cossincossinsin 22 aCcbACCB 1 sincossinsin 2 ACCAC 1 sincossinsincossincos 2 ACCACCA 1 cos 2 A 3 A （2） 12 sinsinsin33 2 bca BCA 22 sin,sin 33 bB cC 2 1sinsin 3 l
21、abcBC sinsinsinsinsinsin 3 BCBABBB 1333 sinsincossincos 2222 BBBBB 3sin 6 B 2 0 3 , 223 0 33 B AABC CB 解得、 2 0, 3 B 5 , 666 B 3 sinsin, 3 2 BC 2,3l 19、已知ABC和 111 ABC满足、 111 sincos,sincos,sincos,AABBCC （1）求证、ABC是钝角三角形，并求最大角的度数 （2）求 222 sinsinsinABC的最小值 解析、 （1）不妨设ABC，由 1 1 1 sincos sincos sincos AA BB
22、 CC 可得、 1 1 1 coscos 2 coscos 2 coscos 2 AA BB CC 若0, 2 A ，则,0, 2 B C 1 1 1 2 2 2 AA BB CC ，三式相加可得、 111 33 22 ABCABC ， 等式显然不成立 若 2 A ，则 11 cossin10 2 AA ，显然不成立 , 2 A ，此时 1 1 1 2 2 2 AA BB CC ，三式相加可得、 111 2 ABCABC 2 AA ，解得、 3 4 A （2）由（1）可得、 3 4 CB 且0, 4 B 222 sinsinsinABC 23 1cos21cos2 sin 422 BC 31
23、cos2cos 2 224 BB 3132 cos2sin2sin 2 22224 BBB 0, 4 B 3 2, 444 B 2 sin 2,1 42 B 222 min 32 sinsinsin 2 ABC （在 8 B 处取得） 20、已知函数 2cos 2cos21 3 f xxx . （1）求 f x的对称中心 （2）若锐角ABC中角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 0f A ，求 b c 的取值范围 解析、 （1） 13 2cos2sin2cos21 22 f xxxx 3sin2cos212sin 21 6 xxx 对称中心为、2 6122 k xkxkZ 对称中心为、,1 12 k （2）由已知可得、 1 2sin 210sin 2 662 AA 2 66 A （舍）或 5 2 663 AA 31 sin cossin sin313 22 sinsinsin2tan2 C CC bB cCCCC 因为ABC为锐角三角形 0 2 , 26 2 0 32 C C BC 3 tan 3 C 1 ,2 2 b c
