1、6.2平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算1.1.向量加法的定义及其运算法则向量加法的定义及其运算法则(1)(1)向量加法的定义向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)(2)向量求和的法则向量求和的法则(3)(3)向量向量a，b的模与的模与a+b的模之间的关系：的模之间的关系：|a|a|+|+|b|.|.【思考思考】(1)(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？提示：提示：求和的两个向
2、量求和的两个向量“首尾连接首尾连接”，其和向量是从，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.(2)(2)向量求和的平行四边形法则中向量求和的平行四边形法则中“不共线不共线”是否多余是否多余，去掉可以吗？，去掉可以吗？提示：提示：不能，因为如果两个向量共线，就无法以它们不能，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量.(3)(3)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？点有什么特点？和向
3、量是怎样产生的？提示：提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量.2.2.向量加法的运算律向量加法的运算律交换律交换律结合律结合律a+b=b+a(a+b)+)+c=a+(+(b+c)【思考思考】(a+b)+()+(c+d)=()=(a+d)+()+(b+c)成立吗？成立吗？提示：提示：成立，向量的加法满足交换律和结合律，因此成立，向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组
4、合去进行和任意的组合去进行.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)a+0=a.()(2)(2)()(3)(3)()(4)(4)a+(+(b+c)=)=c+(+(a+b).).()ABBA2AB.ABBDDCAC.提示：提示：(1)(1).两个向量的和仍然是一个向量，所以两个向量的和仍然是一个向量，所以a+0=a.(2)(2).由向量加法的三角形法则知，由向量加法的三角形法则知，=0.(3).(3).(4).(4).由向量加法的交换律、结合律知，由向量加法的交换律、结合律知，a+(+(b+c)=)=(a+b)+)+c=c+(+(a
5、+b).).ABBA ABBDDCADDCAC.2.2.如图，在如图，在O O中，向量中，向量 是是()OB OC AO ，A.A.有相同起点的向量有相同起点的向量B.B.共线向量共线向量C.C.模相等的向量模相等的向量D.D.相等的向量相等的向量【解析解析】选选C.C.由题干图可知由题干图可知 是模相等的向是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选量，其模均等于圆的半径，故选C.C.OB OC AO ，3.3.若若a表示表示“向东走向东走8 km”8 km”，b表示表示“向北走向北走8 km”8 km”，则则|a+b|=_|=_，a+b的方向是的方向是_._.【解析解析】如图所示，作如图所示，
6、作 =a，=b，则则a+b=+=.=+=.所以所以|a+b|=|=8 (km)|=|=8 (km)，因为因为AOB=45AOB=45，所以所以a+b的方向是东北方向的方向是东北方向.OAAB OAAB OB OB 22882答案：答案：8 km8 km东北方向东北方向2类型一向量的加法法则类型一向量的加法法则【典例典例】1.(20191.(2019济宁高一检测济宁高一检测)如图，在如图，在ABCABC中，中，D D，E E分别是分别是ABAB，ACAC上的点，上的点，F F为线段为线段DEDE延长线上一点，延长线上一点，DEBCDEBC，ABCFABCF，连接，连接CDCD，那么，那么(在横线
7、上只填上一个在横线上只填上一个向量向量)：=_ =_；=_.=_.ABDF ADFC2.2.下列说法正确的是下列说法正确的是_.(_.(填序号填序号)若若|a|=3=3，|b|=2|=2，则，则|a+b|1|1；若向量若向量a，b共线，则共线，则|a+b|=|=|a|+|+|b|；若若|a+b|=|=|a|+|+|b|，则向量，则向量a，b共线共线.3.3.如图，已知三个向量如图，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量行四边形法则分别作向量a+b+c.【思维思维引引】1.1.利用相等向量与向量加法的三角形法利用相等向量与向量加法的三角形法则求解则求
8、解.2.2.利用向量利用向量a，b的模与的模与a+b的模之间的关系作出判断的模之间的关系作出判断.3.3.利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图.【解析解析】1.1.如题干图，由已知得四边形如题干图，由已知得四边形DFCBDFCB为平行四为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：边形，由向量加法的运算法则可知：答案：答案：ABDFABBCAC.ADFCADDBAB.AC AB 2.2.正确，当两向量反向时，和向量的模最小为正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1 1；中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之中描述的只是向量同向时的情况，故不正
9、确，反之正确，即正确正确，即正确.答案：答案：3.3.利用三角形法则作利用三角形法则作a+b+c，如图所示，作，如图所示，作 =a，以以A A为起点，作为起点，作 =b，再以，再以B B为起点，作为起点，作 =c，则，则 =a+b+c.利用平行四边形法则作利用平行四边形法则作a+b+c，如图所示，作，如图所示，作 =a，=b，=c，以，以 、为邻边作为邻边作 OADBOADB，则，则OAAB BC OC OBBCOAABBC OAOC OB OAOB =a+b，再以，再以 、为邻边作为邻边作 ODECODEC，则，则 =a+b+c.ODODOC OEOD OC【内化内化悟悟】用三角形法则与平行
10、四边形法则作三个或以上向量的用三角形法则与平行四边形法则作三个或以上向量的和的方法是怎样的？和的方法是怎样的？提示：提示：用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作图图.【类题类题通通】1.1.向量求和的注意点向量求和的注意点(1)(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)(2)两个向量的和向量仍是一个向量两个向量的和向量仍是一个向量.(3)(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.2
11、.2.利用三角形法则的注意点利用三角形法则的注意点要注意两向量要注意两向量“首尾顺次相连首尾顺次相连”，其和向量为，其和向量为“起点起点指向终点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向的向量；利用平行四边形法则要注意两向量量“共起点共起点”，其和向量为共起点的，其和向量为共起点的“对角线对角线”向量向量.【发散发散拓拓】向量求和的多边形法则向量求和的多边形法则(1)(1)已知已知n n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这点指向末尾向量的终点的向量即为这n n个向量的和，这个向量的和，这称为向量求和的多边形法则称为向量
12、求和的多边形法则.即即011223A AA AA A n2n1n1n0nAAAAA A.(2)(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为形，则它们的和为0.【延伸延伸练练】化简化简 的结果等于的结果等于()A.A.0B.B.C.C.D.D.OPPQQSSO OQSPSQ【解析解析】选选A.=A.=0.OPPQQSSO 【习练习练破破】如图，在正六边形如图，在正六边形ABCDEFABCDEF中，点中，点O O为中心，为中心，=a，=b，求，求 AB AF AC,AD,AE.【解析解析】由向量的平行四边形法则，得由向量的平行四边形
13、法则，得 =a+b.在平行四边形在平行四边形ABCOABCO中，中，=a+a+b=2=2a+b.而而 =2 =2=2 =2a+2+2b，且，且AOABAF ACABAO ADAO =a+b，由三角形法则，得，由三角形法则，得 =b+a+b=a+2+2b.BCAOFE AEAFFE 类型二向量加法运算律的应用类型二向量加法运算律的应用【典例典例】化简：化简：(1)(1)(2)(2)世纪金榜导学号世纪金榜导学号 MABNACCB.ABBDCADC.【思维思维引引】利用向量加法的交换律使求和的各向量利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和首尾相接，然后再利用加法法则求和.【
14、解析解析】1MABNACCBMAACCBBN MCCNMN.2 ABBDCADCABBDDCCA.0【内化内化悟悟】1.1.如何进行多个向量相加或化简？如何进行多个向量相加或化简？提示：提示：观察向量的起点与终点字母的特点，看是否具观察向量的起点与终点字母的特点，看是否具备备“首尾相接首尾相接”.2.2.这种解题操作的理论依据是什么？这种解题操作的理论依据是什么？提示：提示：向量加法的交换律与结合律向量加法的交换律与结合律.【类题类题通通】向量加法运算律的意义和应用原则向量加法运算律的意义和应用原则(1)(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变
15、形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行行.(2)(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量使各向量“首尾相连首尾相连”，通过向量加法的结合律调整，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序向量相加的顺序.【习练习练破破】化简：化简：1 BCAB.2 DBCDBC.【解析解析】1 BCABABBCAC.
16、2 DBCDBCBCCDDBBCCDDBBDDB.0【加练加练固固】在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中(如图如图)，对角线，对角线ACAC，BDBD交于点交于点O O，则则 =_.=_.=_.=_.ADAB CDACDO =_.=_.=_.=_.ABADCD ACBADA 【解析解析】=0.答案：答案：0ADABAC.CDACDOCOACAO.ABADCDACCDAD.ACBADADAACBADCBAABBA AC AOAD类型三利用向量加法解决几何问题类型三利用向量加法解决几何问题【典例典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形平行
17、四边形.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】将互相平分利用向量表示，以此为条件将互相平分利用向量表示，以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.【解析解析】如图，设四边形如图，设四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD相交于相交于点点O O，ACAC与与BDBD互相平分，互相平分，因此因此 且且|=|=|，即四边形，即四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.ABAOOB,DCDOOC.AOOC,OBDO,ABDC,AB DC CD AB【素养素养探探】在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中在用向量加法证明几何
18、问题时，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思的逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及方法予以证明路及方法予以证明.若将本例改为：四边形若将本例改为：四边形ABCDABCD中，中，求证四边形求证四边形ABCDABCD为矩形为矩形.ABDC,BCBA 且BCAB,【证明证明】因为四边形因为四边形ABCDABCD中，中，所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形，如图为平行四边形，如图.所以所以 因为因为 ABDC BCBABD ，BCABABBCAC,BCBABCAB,所以所以 ，即平行四边形对角线相等，即平行四边形对角线相等，故四边形故四边形ABCDA
19、BCD为矩形为矩形.|BD|AC|【类题类题通通】利用向量解决几何问题的方法利用向量解决几何问题的方法用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题为向量，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题还原为几何问题.【习练习练破破】如图所示，如图所示，P P，Q Q是是ABCABC的边的边BCBC上两点，且上两点，且 =0.求证：求证：BPCQ APAQABAC.【证明证明】因为因为 所以所以 又因为又因为 =0，所以，所以 APABBP AQACCQ ，APAQABACBPCQ.BPCQ AP
20、AQABAC.类型四航行中的向量加法问题类型四航行中的向量加法问题 【物理情境物理情境】在长江南岸的某渡口在长江南岸的某渡口A A处，江水以处，江水以12.5 km/h12.5 km/h的速度向的速度向东流，东流，“顺风号顺风号”渡船要以渡船要以25 km/h25 km/h的速度，由南向北的速度，由南向北垂直地渡过长江，其航向应如何确定？垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【转化模板转化模板】1.1.由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量加法模型加法模型.2.2.设设
21、 表示水流速度，表示水流速度，表示渡船的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度表示渡船实际垂直过江的速度.3.3.向量向量 方向为正东方向，长度为方向为正东方向，长度为12.512.5，向，向量量 的长度为的长度为2525，若向量，若向量 ，的和向量的和向量 与与 垂直，求向量垂直，求向量 的方向的方向.AB ADAC AB ADADAB AC AB AD4.4.如图所示，以如图所示，以ABAB为一边，为一边，ACAC为对角线作平行为对角线作平行四边形，在四边形，在RtRtACDACD中，中，ACD=90ACD=90，|=|=|=|=12.512.5，|=25|=25，CAD=30CAD=30.AB DC AD5.5.渡船的航向为北偏西渡船的航向为北偏西3030
