1、3.5 相似三角形的应用第3章 图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（XJ）教学课件乐山大佛导入新课导入新课图片引入世界上最高的树 红杉台湾最高的楼 台北101大楼怎样测量这些非常高大的物体的高度？世界上最宽的河 亚马逊河怎样测量河宽？利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.问题:如图，A,B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A,B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？利用相似三角形测量宽度一A B 如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A,B 两点，连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取
2、一点D，在BC的延长线上取一点E，使测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A,B 间的距离了.C D F讲授新课讲授新课例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已知测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.PRQSbTaPQ90=(PQ+45)60.解得 PQ=90.因此，河宽大约为 90 m.解：PQR=PST=90，P
3、=P，PQRPST.PRQSbTa ，PQQRPSST即 ，PQQRPQQSST604590PQPQ，还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？45m90m60m例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 ABBC，然后，再选点 E，使 EC BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D 此时如果测得 BD120米，DC60米，EC50米，求两岸间的大致距离 ABEADCB60m50m120m解：ADBEDC，ABCECD90，ABDECD.，即 ，ABBDECDC1205060AB解得 AB=100.因此，两岸间的大致距离为 100
4、m.EADCB60m50m120m 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.归纳：利用相似三角形测量高度二 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.怎样测出OA 的长？解：太阳光是平行的光线，因此 BAO=EDF.又 AOB=DFE=90，ABO DEF.，BOOAEFFD 201 23OA EFBOFD=134(m).因此金字塔的高度为134 m.表达式：物1高：
5、物2高=影1长：影2长测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.归纳：例4：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作ANBD交ID于N，交EF于M，则可得AEMACN.AECDFBNAECDFBN解：过点A作ANBD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，ABF=EFD=CDF=90,ABEFCD,EMA=
6、CNA.EAM=CAN,AEMACN,.AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,CN=3.6（m），CD=3.6+1.6=5.2（m）.故树的高度为5.2m.ANAMCNEM2724276.02CN1.如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等 式是 ()A B C D CABEFDEBCABDEEFBCABBCDEEFABACDEDF练一练2.如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他
7、头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC=2 米，AB=10 米，则旗杆的高度是_米 8AFEBO还可以有其他测量方法吗？OBEF=OAAFABOAEFOB=OA EFAF平面镜想一想：测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB=2 米，且测得 BP=3 米，DP=12 米，那么该古城墙的高度是 ()A.6米 B.8米 C.18米 D.24米 B试一试：例5 如图，左、右并排
8、的两棵大树的高分别是 AB=8 m 和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了?利用相似解决有遮挡物问题三分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 AFH 是观察点 A 的仰角.类似地，CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域和都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到 C 点了.由此可知，如果观察者继续前进，当她
9、与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C.解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上 ABl，CDl，ABCD.AEHCEK.，EHAHEKCK8 1.66.4.512 1.610.4EHEH即解得 EH=8.1.小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ()A.45米 B.40米 C.90米 D.80米 当堂练习当堂练习2.小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影
10、子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ()A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2mAA3.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CDAB.若测得 CD5 m，AD 15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.ABEDC204.如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB10 cm，BC 20 cm，PCAC，且 PC24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 .12 cm5.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，求旗杆的高度.ABCDGEFABCDGEF解：由题意可得：DEFDCA，DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则 .DEEFDCCA解得：AC=10，故 AB=AC+BC =10+1.5=11.5(m).答：旗杆的高度为 11.5 m.0.50.2520CA，
