1、“隐圆隐圆”问题问题扬州市梅岭中学 在中考数学中，有一类高频率考题，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”题目的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！圆的有关概念圆的有关概念 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都定长r 等于 A r（2）到定点的距离等于定长的点都同一个圆上 在?圆的集合定义 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所O 有到定点O的距离等于定长r的点的集合 “隐圆”题型知识储备 圆外一点到圆的最大距离是_ 圆外一点到圆的最小距离是
2、_POA1A2P为圆外一点，A为圆上一点，求作PA最小和最大时，A的位置。PA2PA1A一、利用圆的定义来构造圆一、利用圆的定义来构造圆 在圆 O 中，OA=OB=OC 在四边形OABC中，有OA=OB=OC,则可以构造以O为圆心的，OA为半径的圆O。例1（2019江西九江模拟）如图，已知 ABAC ADCBD 2 BDC，BAC 44，则CAD 的度数为B（）B.88 C.90 D.112 A.68一、利用圆的定义来构造圆一、利用圆的定义来构造圆244一、利用圆的定义来构造圆一、利用圆的定义来构造圆例题中存在如图所示的一个结构，即有公共端点的三条相等线段，不妨形象地称为“相等三爪图”，它“逼
3、”我们联想到：“到定点的距离等于定长的点的集合是圆”。见“相等三爪图”现“定义圆”二、利用二、利用9090的圆周角所对弦是直径构造圆的圆周角所对弦是直径构造圆 在圆直径，点O中，AB是圆O的则有 C=90C在圆上，在三角形则可以ABABC为直径构造圆。中，C=90 例 2（2016安徽）如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值为（B）O?P 二、利用二、利用9090的圆周角所对弦是直径构造圆的圆周角所对弦是直径构造圆当O、P、C三点共线时，CP的值最小。OC=5,r=3，34斜边长为定值的直角三角形，让我们联
4、想到“9090的圆周角所对弦是的圆周角所对弦是直径直径”。我们便可以这条斜边为直径，作出该直角三角形的外接圆。见“斜边长一定的直角三角形”现“其外接圆”二、利用二、利用9090的圆周角所对弦是直径构造圆的圆周角所对弦是直径构造圆三、利用对角互补型四边形三、利用对角互补型四边形“四点共圆四点共圆”构造圆构造圆 在圆O内接四边形中，四边形ACBD中，若 则可以构造ACBD 四点共圆。四边形ABCD中，若A+C=180 则也可以构造 ABCD四点共圆。C=D=90C=D=90CAD+CBD=180 例 3 如图，四边形ABCD 为矩形，BE 平分ABC，交 AD 于点 F，AEC=90.(1)A、B
5、、C、E 四点共圆吗？(2)求ACE 的度数；答：(1)共圆 (2)45 O 三、利用对角互补型四边形三、利用对角互补型四边形“四点共圆四点共圆”构造圆构造圆在一个四边形中，如果有一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。即“对角互补存隐圆”。见“四边形对角互补”现“四点共圆”三、利用对角互补型四边形三、利用对角互补型四边形“四点共圆四点共圆”构造圆构造圆四、利用定弦定角构造辅助圆四、利用定弦定角构造辅助圆 在圆角相等，即O中，弦 C=D=EAB所对的圆周 2 线段则AB为定长，C为定角点A、B、C三点在同一个圆上，造辅圆。C在圆上运动，此时可以构 、四、利用定弦定角构造辅助圆四、利用定弦定
6、角构造辅助圆)(SASBCEABD60ABPCBEABPBADAPEO例4（2019南昌模拟）如图，边长为 的等边ABC，D、E分别为边BC、AC上的两个动点，且BD=CE，AD、BE 交于P点，求CP的最小值？并求P点的运动路径长332,1的运动路径为最小值PCPAOB=120，AO=1,OC=21601203P120在ABC中，C是动点，C所对的线段是AB，若线段AB和C分别是一条定长的线段和一个定值的角。由“圆中相等的圆周角所对的弦相等”想到点C在ABC的外接圆上运动。见“定线（弦）对定角”现“其外接圆”四、利用定弦定角构造辅助圆四、利用定弦定角构造辅助圆练习1如图，在矩形ABCD中，A
7、B4，AD6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的最小值是（）B26A2练习2等腰直角ABC中，C90，ACBC4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CHBD于H，连接AH，则AH的最小值为（）BA、H、O共线时，AH最小练习3.如图，在等腰直角ABC中，C=90，AC=BC=4，点 D 为斜边 AB 的中点，E 是 AC 上一动点，过点 D 作 DF 垂直 DE 交 BC 于 F 点，连接 EF。则 EF 的最小值是。OEF=EO+FO=CO+DOCO=EO=FO=DOEF的最小值就是CO+DO的最小值。即当C、O、D三点共线
8、时有最小值22练习4如图，扇形AOD中，AOD90，OA6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQOD于Q，点I为OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）D135,135OIDDOIPOIPIO。重合），、上运动（不与在弧90DOODOODI135135练习5如图，P在第一象限，半径为3动点A沿着P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为 27连接OP，交P于点A和A，过O作OP的垂线，截取OC=，OC=。CC=OC-OCOA33OAP3336333CPAAOAOACC，A1C1主动点A的路径是一个圆，导致从动点C的路径也是一个圆，“圆生圆”，所谓“种瓜得瓜、种豆得豆”，“瓜豆”原理之说，再形象不过了；在P上任取一点A1，作OC1OA1,且OC1=易证A1OPC1OP,故C1P=3331PA13OA构造辅圆几种常见模型模型一：利用圆的定义来构造圆 模型二：利用所对弦是直径构造圆 90的圆周角 模型三：利用“四点共圆”构造辅助圆 模型四：定弦对定角构造辅助圆 课堂小结化隐为显化隐为显谢谢聆听！
