1、1.1 探索勾股定理1 强强大大的台风使得一个旗杆在离地面的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒下，处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断之前处，请问旗杆折断之前有多高？有多高？在在直角直角三角形中，任意两条边确定了，另一边三角形中，任意两条边确定了，另一边确定吗？为什么？确定吗？为什么？怎怎么解答么解答这道题呢？这道题呢？情境导入情境导入2 活动活动1：任画一个直角三角形，分别度量三条边，：任画一个直角三角形，分别度量三条边，把长度标在图形中，并计算三边的平方，把结果填在把长度标在图形中，并计算三边的平方，把结果填在表格中表格中.a2b2c2123
2、4观察表格数据，你有什么发现？观察表格数据，你有什么发现？探究新知探究新知a+b=c你是否得到了的关系呢？222画画一一画画cba3 活动活动2：请看下图，直角三角形三边的平方分别是：请看下图，直角三角形三边的平方分别是多少？多少？它它们满们满足猜足猜想的数想的数量关量关系吗系吗？你是如何计算你是如何计算的？的？探究新知探究新知ABCABC4ABCABC思考：在这幅图中，边长的平方如何刻画？思考：在这幅图中，边长的平方如何刻画？用正方形用正方形A，B，C的面积的面积刻画刻画，就是证，就是证SA+SB=SC.我们的猜想如何验证我们的猜想如何验证？探究新知探究新知5ABCABC请想办法计算左边图形
3、中请想办法计算左边图形中A，B，C的面的面积积.你用什么办法计算你用什么办法计算C的的面积呢？面积呢？SA=9 SB=9SC=18探究新知探究新知数格子数格子6 方法：可方法：可把正方形把正方形C分分成两个全等的成两个全等的等腰直角三角等腰直角三角形，可形，可求求得正得正方形方形C的面积的面积为为18.验证法验证法1探究新知探究新知CBA还可以用什么办法计算还可以用什么办法计算C的的面积呢？面积呢？7 方法：可方法：可把正方形把正方形C分成分成四个全等的等四个全等的等腰直角三角形，腰直角三角形，可可求求得正方形得正方形C的面积为的面积为18.验证法验证法2探究新知探究新知CBA还可以用什么办法
4、计算还可以用什么办法计算C的的面积呢？面积呢？8 方法：方法：可在可在正方形正方形C外边圈外边圈一个大正方形，一个大正方形，用大正方形的面用大正方形的面积减去积减去4个个直角直角三角形的面积，三角形的面积，即即可可求求得正方形得正方形C的面积为的面积为18.验证法验证法3探究新知探究新知CBA还可以用什么办法计算还可以用什么办法计算C的的面积呢？面积呢？9探究新知探究新知CBASA=9=9 SB=9 9SC=1818 由以上计算由以上计算A，B，C三个图形的面积，我三个图形的面积，我们能得到什么结论？们能得到什么结论？SA+SB=SCa+b=c22210 以上的三角形具有特殊性，都是等腰直角以
5、上的三角形具有特殊性，都是等腰直角三角形，一般直角三角形是否有这个关系，你三角形，一般直角三角形是否有这个关系，你还能验证吗？还能验证吗？探究新知探究新知11活动活动3：看下图，验证是否满足：看下图，验证是否满足结论：结论：SA+SB=SC 即：即：a+b=c222探究新知探究新知222abc.CBACBA12CBACBA为什么为什么不用数不用数格子的格子的方法？方法？结论：结论：SA+SB=SC 即：即：探究新知探究新知活动活动3：看下图，验证是否满足：看下图，验证是否满足222abc.a+b=c22213 勾股定理刻画了直角三角形三边的平方关系，你能勾股定理刻画了直角三角形三边的平方关系，
6、你能用语言描述吗？用语言描述吗？我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”.通过以上探索可以发现：通过以上探索可以发现：勾股弦+=222即即探究新知探究新知a+b=c222直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.14 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.在在RtABC中中，直角边分别是，直角边分别是a，b，斜边是斜边是c，则：则：说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；说明
7、：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画直角三角形三边平方的关系勾股定理是刻画直角三角形三边平方的关系.勾股定理：勾股定理：探究新知探究新知abc222+=15 勾股定理刻画了直角三角形三边的数量关勾股定理刻画了直角三角形三边的数量关系，由系，由“形形”定定“数数”，有，有“数与形的第一定数与形的第一定理理”的美称，体现了的美称，体现了“数数”与与“形形”的完美结的完美结合，它能解决哪些问题呢？合，它能解决哪些问题呢？探究新知探究新知16求出下列三角形中未知边的长度求出下列三角形中未知边的长度.（1 1）（2 2）解：（解：（1）由勾股定理得：）由勾股定理得：x2=62+82=10
8、0.探究新知探究新知x86y135因为因为x0，所以，所以x=10.（2）由勾股定理得：）由勾股定理得：y2=13252=144.因为因为y0，所以，所以y=12.在直角三角形中，已在直角三角形中，已知两边求第三边知两边求第三边.17 强强大大的台风使得一个旗杆在离地面的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部下，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断处，请问旗杆折断前有多高？前有多高？探究新知探究新知解：设旗杆折断前有解：设旗杆折断前有x m，由勾股定理得，由勾股定理得：（x9）2=122+92=225.因为因为x90，所以，所以x9=15，所以，所以
9、x=24.18求出下列字母所代表的正方形的面积求出下列字母所代表的正方形的面积.正方形正方形A面积为面积为625正方形正方形B面积为面积为144探究新知探究新知BA求面积求面积19 台风使得一个旗杆折断倒下，台风使得一个旗杆折断倒下，倒下部分长比未倒下部分长倒下部分长比未倒下部分长4 m，如图，旗杆顶部落在离旗杆底部如图，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前有多高？处，旗杆折断之前有多高？探究新知探究新知解：解：设未折断部分为设未折断部分为x m，则折断部分为（，则折断部分为（x+4）m.根据题意得根据题意得 22222+12=(+4)+144=+8+16xxxxx,整理得.即：即：
10、8x=128.解得解得x=16.x+4=20（m），），16+20=36（m）.答：旗杆折断之前有答：旗杆折断之前有36 m高高.在直角三角形中，在直角三角形中，已知一边和另两边已知一边和另两边的关系，可以用方的关系，可以用方程求出另两边程求出另两边.20 在在RtABC中中，若直角边长分别是，若直角边长分别是a，b，斜边长是，斜边长是c，则：则：直角三角形的三边有怎样的关系？直角三角形的三边有怎样的关系？你是通过怎样你是通过怎样的的方法验证的？方法验证的？222a+b=c测量、数格子等测量、数格子等复习复习导入导入 怎样用科学的方怎样用科学的方法去验证勾股定理的法去验证勾股定理的正确性呢？正
11、确性呢？21 如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？探究新知探究新知你是如何做的？你是如何做的？与同伴交流与同伴交流.22割割补补探究新知探究新知 如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？23ABCD 活动活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？怎样
12、对大正方形进行割补的？探究新知探究新知割割补补 你能将所有三角形和正方形的面积用你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式的关系式表示出来吗？表示出来吗？24a+b大正方形大正方形ABCD的面积可以表示为：的面积可以表示为：或者或者 可得等式可得等式 ab+c14 22a+b2()ab+c=a+b2214()2探究新知探究新知25正方形正方形证明：，又（），（）.ABCDABCDS=ab+cS=a+bab+c=a+bab+c=a+ab+ba+b=c222222222214214222你能用右图验证勾股定理吗？你能用右图验证勾股定理吗？探究新知探究新知验证了勾验证了勾股定理股定理26小正
13、方形小正方形ABCD的面积可以表示为：的面积可以表示为：或者或者 ab+ab214()2探究新知探究新知ABCD可得等式可得等式 c2ab+ab=c2214()227正方形正方形证明：（），又，（），.ABCDABCDS=ab+ab S=c ab+ab=c ab+aab+b=c a+b=c222222222214214222探究新知探究新知你能用右图验证勾股定理吗？你能用右图验证勾股定理吗？ABCD也验证了也验证了勾股定理勾股定理28探究新知探究新知 割补法是几何证明题中常用的方法，要注割补法是几何证明题中常用的方法，要注意这种方法的应用意这种方法的应用.你还能用其他方法证明勾你还能用其他方法
14、证明勾股定理吗？股定理吗？29 例例 我方侦察员小王在距离东西向公路我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车后，汽车与他相距与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？探究新知探究新知400 m500 m 思考：思考：1.你能求出你能求出BC的的长吗？你用的是什么长吗？你用的是什么方法？方法？2.你能求出汽车你能求出汽车的速度吗？的速度吗？30400 m500 m 222225
15、0040090 000300 m10s300 m1 h300 3 600 10 800 m108 km h10108 km h-BC=ABAC=BC=/.解：由勾股定理，得，即.汽车行驶，那么它行驶的距离为：（）（）.答：敌方汽车速度为温馨提示：温馨提示：勾股定理勾股定理的应用前的应用前提是在直提是在直角三角形角三角形中！中！探究新知探究新知 例例 我方侦察员小王在距离东西向我方侦察员小王在距离东西向公路公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽后
16、，汽车与他相距车与他相距500 m，你能帮小王计算，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？敌方汽车的速度吗？31 观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.议一议：议一议：探究新知探究新知32 你是如何求出左侧你是如何求出左侧图形中每个正方形的图形中每个正方形的面积的？面积的？你得到什么结论？你得到什么结论？议一议：议一议：探究新知探究新知 结论结论1：若钝角三角形中较长边长为：若钝角三角形中较长边长为c，较，较短边长为短边长为a、b，则，则a2+b2c2.S=5 S=8S=9 34 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发如图是某沿江地区交
17、通平面图，为了加快经济发展，该展，该地地区拟修建一条连接区拟修建一条连接M,O,Q三城三城市的沿江高速公市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？该沿江高速公路的造价预计是多少？探究新知探究新知30 km40 km50 km120 km35222222Rt304050 km130 km50 1305 000 900 000900 000MNOMN+NO=MO+=MOMO=OQ=+=解：在中，根据勾股定理得，（）.同理：.总造价为：（）（万元）.答：估计总造价为万元.探究新知探究新知30 km40 km
18、50 km120 km该沿江高速公路的造价预计是多少？怎样求？该沿江高速公路的造价预计是多少？怎样求？36 1.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3 m处折断倒下，旗处折断倒下，旗杆顶杆顶部落在离旗杆底部部落在离旗杆底部4 m处处.旗杆折断前有多高？旗杆折断前有多高？8 m强化练习强化练习37 2.1876年，美国总统伽菲尔德（年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用下图证明了勾股定理，你能利用它验）利用下图证明了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系的联系.强化练习强化练习S=ab+cS=a+ba+b=a+bab+c=a+ba+b=c梯形梯形证明：，又（）（）（），（），.22222221122211221112222利用面积法利用面积法进行证明进行证明38
