1、 题型题型4 实际应用问题实际应用问题 考查类型考查类型 年份年份 考查形式考查形式 题型题型 分值分值 函数实际 应用问题 2018 一次函数销售类实际应用题， 利用待定系数法求一次函数 解析式，并通过一元二次方 程模型求设备单价 解答 12分 2017 应用二次函数解决抛物线形 水柱问题 解答 10分 方程、不 等式与函 数综合应 用问题 2016 综合应用反比例函数和分式 方程解决产品销售问题 解答 10分 综合应用一次函数和一元二 次方程解决产品销售问题 10分 2015 解答 综合应用一次函数和一元一 次方程解决产品销售问题 2014 解答 8分 综合应用反比例函数和分式 方程解决土
2、石方运输问题 2013 解答 10分 类型类型函数实际应用问题函数实际应用问题 例例1 2018 衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水 池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池 中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中 心为原点建立直角坐标系 (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不 被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以 内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷 出水柱的形状不变
3、的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向 喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合， 请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 规范解答：规范解答：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 ya(x3)25(a0)，(2分) 将(8，0)代入 ya(x3)25，得25a50， 解得a ， 水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y (x3)2 5(0x8)(8分 ) 5 1 5 1 (2)当y1.8时， (x3)251.8， 解得x11(舍去)，x27， 为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心 7米以内(10分 ) 5 1 (3)当x0时，y (
4、x3)25 . 设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y x2bx (12分 ) 该函数图象过点(16，0)， 0 16216b ，解得b3， 改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y x23x (x )2 . 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米(15分 ) 5 1 5 16 5 1 5 16 5 1 5 16 5 1 5 16 5 1 2 15 20 289 20 289 满分技法(1)二次函数的实际应用问题大致有这么几类：一、面 积类，运用面积公式表示关系式；二、销售利润类，利用总利润 单位利润数量这个公式表示关系式；三、求实际问题中的二 次函数解析式类，合理
5、建立坐标系可以使得问题简单；四、与一 次函数图象结合类等，根据函数图象提供的信息建立关式(2) 实际问题必须考虑自变量的取值是否满足实际要求 【满分必练】【满分必练】 12018 淮安某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元经市场调研， 当该纪念品每件的销售价为 50 元时，每 天可销售 200 件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数 量将减少 10 件 (1)当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为 _件； (2)当每件的销售价x (元)为多少时，销售该纪念品每天获得的 利润 y (元) 最大？并求出最大利润 解：解：(1)180. (2)y(x40)20010(
6、x50)(x40)(70010x)10x2 1100x28000. 100， 当x 55时，y有最大值，y最大值为2250. 答：当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利 润最大，最大利润为2250元 22018 滨州 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出， 小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的 飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 x(单位：s)之间具有函数关系y 5x220x，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是 多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最
7、大？最大高度是多少？ 解：解：(1)当y15时，5x220x 15， 化简，得x24x30，即(x1)(x3)0， 故x1或3， 即当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1秒或者3秒 (2)飞出和落地的瞬间，高度都为0， 所以有05x220x，解得x0或4， 所以，从飞出到落地所用时间是4秒 (3)y5x220x5(x2)220， 当x2时，y取得最大值，此时y20， 所以当x2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米 32017 福建如图，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙(墙MN 长为a米，MNAD)，另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围 成 (1)当前a20米时，矩形ABCD的面积为45
8、0平方米，求AD长； (2)求矩形ABCD面积的最大值 解：解：(1)设ADx米， 则BCx米，ABCD (100x) (50 x)米， 依题意，有x(50 x)450， 整理，得x2100x9000，解得x90或x10. MNa20，MNAD， x9020不合题意，舍去， x10，即AD长为10米 (2)设AD y，则ABCD(50 y)米， 满足 解得0y100. 设矩形ABCD的面积为S，则 S y(50 y) y250y ( y50)21250， 若a50，则当 y50时，S最大1250； 若当0a50，则当0ya时，S随y的增大而增大， 故当ya时，S最大50a a2. 综上所述，当
9、a50时，矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250 平方米 当0a50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是(50a a2) 平方米 42018 黔西南州某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的 关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1 的图象是线段，图2的图象是抛物线) (1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是 多少元？(收益售价成本) (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由； (3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且 5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销 售量分别是多少万千克？ 解：解：(
10、1)当x6时， y13，y21， y1y2312， 6月份出售这种蔬菜每千克的收 益是2元 (2)设 y1mxn，y2a(x6)21. 将(3，5)，(6，3)代入 y1mxn， 得 解得 y1 x7. 将(3，4)代入 y2a(x6)21， 4a(36)21，解得a ， y2 (x6)21 x24x13. y1y2 x7( x24x13) x2 x6 (x5)2 . 0， 当x5时，y1y2取最大值，最大值为 ， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大 (3)当x4时，y1y2 x2 x62. 设4月份的销售量为 t万千克，则5月份的销售量为(t2)万 千克， 根据题意，得2t (t2)22
11、，解得t4， t26. 答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千 克 类型类型方程、不等式与函数实际应用问题方程、不等式与函数实际应用问题 例例2 2018 青岛某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第 一年成本)，成功研发出一种产品公司按订单生产(产量销 售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件此产品 年销售量y(万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式yx 26. (1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函 数关系式； (2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是 多少？ (3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20
12、万元只计入第二 年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件为保持 市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， 另外受产能限制，销售量无法超过12万件请计算该公司第二 年的利润W2至少为多少万元 (2)该产品第一年的利润为20万元， x232x23620， (x16)20，x1x216. 答：该产品第一年的售价是16元(8分) 规范解答：规范解答：(1)根据题意，得W1xy6y80(x26)x6( x26)80x226x6x15680， 故W1x232x236.(5分) (3) 依题意，得W2yx5y20(x26)x5(x26)20， W2x231x150. 公司规定第二年产
13、品售价不超过第一年的售价， x16. 另外受产能限制，销售量无法超过12万件， x2612，解得x14， W2x231x150(14x16)(10分) 10，对称轴为x ， x14时，W2有最小值为88万元 答：利润最少为88万元(12分) 2 31 满分技法(1)方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以 下几个类型的问题：一、一次函数与方程或不等式的综合应用， 这类属于高频命题形式，考查内容可以涉及多个，如一次函数 图象信息题，一次函数方案选择类型问题等，结合二元一次方 程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、 二次函数与方程或不等式的综合应用，包括销售利润类，与一 次函数结
14、合等类型(2)命题中常常以方程或方程组，根据已 知条件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范 围，再根据函数的性质解答问题(3)利用表格、图例、函数 图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础， 关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键， 把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细微处思考 争满分 【满分必练】【满分必练】 52018 南通小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的 单价相同，具体信息如下表： 次数次数 购买数量购买数量(件件) 购买总费用（元）购买总费用（元） A B 第一次 2 1 55 第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：
15、 (1)求A，B两种商品的单价； (2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B 种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 分析：分析：(1)根据表格中的信息可以知道，购买2件A的费用购买 1件B的费用55元，购买1件A的费用购买3件B的费用65元， 根据这两个等量关系可以列二元一次方程组解决；(2)要解决购 买商品的最省钱的购买方案，可考虑利用函数的增减性求总费 用的最小值在求函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范 围 (2)设第三次购买A种商品m件，购买商品的总费用W元，则购 买B种商品(12m)件 W20m15(12m)5m180. 由题意，知m2(12m
16、)， m8. W随m的增大而增大， 当m8时，W有最小值，此时12m4. 最省钱的购买方案是购买A种商品8件，B种商品4件 解：解：(1)设A，B两种商品的单价分别为x元，y元 根据题意，得 解得 答：A，B两种商品的单价分别为20元，15元 62018 河南某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品 的日销售量 y(个)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，关 于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表： (注：日销售利润日销售量(销售单价成本单价) 销售单价销售单价x(元元) 85 95 105 115 日销售量日销售量y(个个) 175 125 75 m 日销售利润日销售利润
17、w(元元) 875 1875 1875 875 (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值； (2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是_元，当 销售单价x_元时，日销售利润w最大，最大值是 _元； (3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后 的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系，若想实现 销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该 产品的成本单价应不超过多少元？ (2)80；100；2000. (3)设该产品的成本单价为a元， 由题意，得(590600)(90a)3750， 解得a65. 答：该产品的成本单价应不超过65元
18、解：解：(1)设y关于x的函数解析式为ykxb， 由题意，得 解得 y关于x的函数解析式为y5x600. 当x115时，m511560025. 72018 眉山传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子 生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天 内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人 李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系： ， )60(34 ).206(8020 xxy xx (1)李明第几天生产的粽子数量为280只？ (2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的 关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利润为 w元，求w与x之间
19、的函数表达式，并求出第几天的利润最大？ 最大利润是多少元？(利润出厂价成本) 解：解：(1)634204(只)， 前六天中第6天生产的粽子最多达到 204只， 20x80280， 解得x10. 答：第10天生产的粽子数量为280只 (2)当0x10时，p2， 当10x20时，设pkxb，将(10，2)和(20，3)代入， 得 解得 p x1. 当0x6时，w(42)34x68x，w随x的增大而增大， 当x6时，w的最大值为408； 当6x10时，w(42)(20x80)40x160，w随x的增大而 增大，当x10时，w最大值为560； 当10x20时，w(4 x1) (20x80)2x252x240， 对称轴为x13，在10x20内，将x13代入，得w最大578. 综上所述，w与x的函数表达式为w 第13天的时候利润最大，最大利润为578元 检测学习成果，体验成功快乐！请用高分提升训练第219221页。祝你取得好成绩！
