1、专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 突破设问一突破设问一 切线的判定切线的判定 10年4考：2018.20(1)，2017.20(1)，2015.20(2)，2013.27(1) 典例精讲典例精讲 例例 1 如图如图，AB是是 O的直径的直径，点点P在在AB的延长线上的延长线上，弦弦CDAB， 连接连接OD、PC，若若ODCP，求证：求证：PC是是 O的切线的切线 【思维教练】连接【思维教练】连接OC，要证明，要证明PC是是 O的切线，需证明的切线，需证明OCP是是 直角，根据直角，根据ODCP可得可得OCDP，再根据，再根据CDAB即可即可 求得求得OCP是直角是直角 例1题图 专题七专题七
2、 圆的综合题圆的综合题 证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，AP与与CD交于点交于点E. OCOD， OCDODC， ODCP， OCDP， CDAB，PEC90， PPCE90， OCDPCE90， 即即OCP90， OC是是 O的半径，的半径， PC是是 O的切线的切线 例1题解图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 例例 2 如图如图，AB是是 O的直径的直径，AC是是 O的切线的切线，切点为切点为A，BC交交 O于点于点D， 点点E是是AC的中点的中点，连接连接DE，试判断直线试判断直线DE与与 O的位置关系的位置关系，并说明理由并说明理由 【思维教练】此类设问题目可大胆猜想直线
3、与圆相切，连接【思维教练】此类设问题目可大胆猜想直线与圆相切，连接OE、OD，接下，接下 来证明来证明ODE为直角即可根据切线的性质得到为直角即可根据切线的性质得到OAC90，根据三角形，根据三角形 中位线定理得到中位线定理得到OEBC，再证明，再证明AOE DOE，得出，得出ODE为直角，即为直角，即 可得到直线可得到直线DE与与 O相切相切 例2题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 解：直线解：直线DE与与 O相切，相切， 理由如下：如解图，连接理由如下：如解图，连接OE、OD， AC是是 O的切线，的切线， ABAC， OAC90， 点点E是是AC的中点，的中点，O点为点为AB的中点
4、，的中点， OEBC， 1B，23， OBOD， B3， 12， 例2题解图 在在AOE和和DOE中，中， OAOD 12， OEOE AOE DOE(SAS)， ODEOAE90， DEOD， OD为为 O的半径，的半径， 直线直线DE与与 O相切相切 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 当图形中有两条切线时当图形中有两条切线时，常通过以两条切线为边连接圆心与两条切线的交点常通过以两条切线为边连接圆心与两条切线的交点 的连线为公共边的两三角形全等来进一步证明的连线为公共边的两三角形全等来进一步证明 满分技法满分技法 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 突破设问二突破设问二 求证线段的数量关系
5、求证线段的数量关系(含求线段长含求线段长) (必考) 典例精讲典例精讲 例例 1 如图如图，AB是是 O的直径的直径，过圆外一点过圆外一点E作作EF与与 O相切于点相切于点G，交交AB的延长的延长 线于点线于点F，ECAB于点于点H，与与 O交于交于D，C两点两点，连接连接AG交交DC于点于点K.求证：求证：EG EK. 例1题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 【思维教练】要证【思维教练】要证EGEK，根据等边对等角即可证明，根据等边对等角即可证明EKGEGK，连接，连接OG， 根据切线的性质可得根据切线的性质可得OGE90，再根据半径相等和，再根据半径相等和ECAB即可证得即可证得EK
6、G EGK. 证明：如解图，连接证明：如解图，连接OG. EF是是 O的切线，的切线， OGE90， 即即OGAEGK90. OAOG， OGAOAG， 例1题解图 OAGEGK90. ECAB，AHK90， 则则OAGAKH90. AKHEGK. AKHEKG， EKGEGK， EGEK. 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 例例 2 如图如图，ABC是是 O的内接三角形的内接三角形，AB是是 O的直径的直径，ODAB于点于点O，分分 别交别交AC、CF于点于点E、D，且且DEDC，若若 O的半径为的半径为5，BC ，求求DE的长的长 10 【思维教练】要求【思维教练】要求DE的长，过点的长
7、，过点D作作DHEC于点于点H，构造，构造RtDEH，通过勾股，通过勾股 定理求得定理求得AC的长，再证明的长，再证明AEOABC，求得，求得AE的长，从而求得的长，从而求得EH，在，在 RtDEH中根据锐角三角函数即可求解中根据锐角三角函数即可求解 例2题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 解：如解图，过点解：如解图，过点D作作DHEC于点于点H， ODAB，DHEC， DHEAOE90， DEHAEO， EDHA， DEDC， EHHC EC， O的半径是的半径是5，AB是是 O的直径，的直径， AB10，ACB90， AC ， 1 2 222 10103 10ABBC 例2题解图 专
8、题七专题七 圆的综合题圆的综合题 EAOA，AOEACB90， AEOABC， ， AE ， ECACAE ， EH EC ， AOAE ACAB 5 105 10 33 10 AO AB AC 5 104 10 3 10 33 1 2 2 10 3 DE . EDHA，sinEDHsinA，即，即 ， EHBC DEAB 2 10 10 20 3 310 AB EH BC 例2题解图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 满分技法满分技法 一般情况下一般情况下，若题中有若题中有30、45或或60时时，用锐角三角函数求解用锐角三角函数求解，若若 题中无角度题中无角度，则用相似或者勾股定理求解则用
9、相似或者勾股定理求解 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 突破设问三突破设问三 求证线段的位置关系求证线段的位置关系 2012.27(2) 典例精讲典例精讲 例例 1 如图如图， O是是ABC的外接圆的外接圆，AB为直径为直径，CAB的平分线交的平分线交 O于点于点D，过过 点点D作作 O的切线的切线，分别交分别交AC、AB的延长线于点的延长线于点E、F.求证：求证：EFBC. 例1题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 【思维教练】要证明【思维教练】要证明EFBC，需证明，需证明ACBE，由角平分线的性质和等腰三，由角平分线的性质和等腰三 角形的性质可得角形的性质可得AEOD，由切线的性质
10、和平行线的性质可得，由切线的性质和平行线的性质可得E90，从而得，从而得 到到ACBE. 证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD， AD平分平分CAB， CADDAB， OAOD， OADODA， CADADO， AEOD， 例1题解图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 AB是是 O的直径，的直径， ACB90， EF是是 O的切线，的切线， ODEF， ODF90， EODF90， EACB90， EFBC. 例1题解图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 例例 2 如图如图，AB为为 O的直径的直径，点点C，D在在 O上上，且点且点C是是 的中点连接的中点连接AC， 过点过点C作作 O
11、的切线的切线EF交交AD的延长线于点的延长线于点E.求证：求证：AEEF. BD 例2题图 【思维教练】要证【思维教练】要证AEEF，只需要证明，只需要证明AE与垂直与垂直EF的线段平行即可连接的线段平行即可连接OC， 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得到根据等腰三角形的性质和平行线的判定得到OCAE，从而证得，从而证得OCEF. 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC， OAOC， 12. 点点C是是 的中点，的中点， 13. 32. AEOC. EF是是 O的切线，的切线， OCEF. AEEF. BD 例2题解图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题
12、 突破设问四突破设问四 求证三角形全等或相似求证三角形全等或相似 10年3考：2016.20(1)，2015.20(1)，2014.27(1) 典例精讲典例精讲 例例 1 如图如图，AB是是 O的直径的直径，CA与与 O相切于点相切于点A，且且CABA.连接连接OC，过点过点A 作作ADOC于点于点E，交交 O于点于点D，连接连接DB.求证：求证：ACE BAD. 例1题图 【思维教练】要证明【思维教练】要证明ACE BAD，关键是找对应边及对，关键是找对应边及对 应角相等，由应角相等，由AB是是 O的直径得的直径得ADBAEC90，再，再 根据根据CA是是 O的切线证得的切线证得ACEBAD
13、，最后由，最后由“AAS”判判 定得到定得到ACE BAD. 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 证明：证明：AB是是 O的直径，的直径， ADB90， ADOC，AEC90， CA是是 O的切线，的切线， CAO90， CAEACECAEBAD， ACEBAD， 在在ACE和和BAD中，中， AECBDA ACEBAD CAAB ， ACE BAD(AAS) 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 例例 2 如图如图， O是是ABC的外接圆的外接圆，点点O在在BC边上边上，BAC的平的平分线交分线交 O于点于点 D，连接连接BD，CD.过点过点D作作 O的切线交的切线交AC的延长线于点的延长线于
14、点P.求证：求证：ABDDCP. 【思维教练】要证【思维教练】要证ABDDCP，关键是找两组角对应相等，圆中要证角相等，关键是找两组角对应相等，圆中要证角相等， 考虑用圆周角定理及平行线的性质证得由角平分线及圆周角定理可得垂直关系，考虑用圆周角定理及平行线的性质证得由角平分线及圆周角定理可得垂直关系， 再结合切线的性质即可得到平行，结合圆周角定理得到一组角相等，再利用圆的内再结合切线的性质即可得到平行，结合圆周角定理得到一组角相等，再利用圆的内 接四边形的性质证得另一组角相等，即可得证接四边形的性质证得另一组角相等，即可得证 例2题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 证明：如解图，连接证明
15、：如解图，连接OD， BC是是 O的直径，的直径， BAC90， AD平分平分BAC， BAC2BAD， BOD2BAD， BACBOD90， DP为为 O的切线，的切线， PDOD， 例2题解图 PDBC， ACBP， ACBADB， ADBP， ABDACD180， ACDDCP180， ABDDCP， ABDDCP. 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 突破设问五突破设问五 求变量之间的函数关系式求变量之间的函数关系式 10年2考：2018.20(2)，2014.27(3) 典例精讲典例精讲 例例 1 如图如图，已知在已知在ABC中中，ABAC5，BC6，O为边为边AB上一点上一点(不与
16、不与A、B 重合重合)，以以O为圆心为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交BC于点于点D，设设OBx，DCy，求求y关于关于x的的 函数关系式函数关系式 例1题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 【思维教练】连接【思维教练】连接OD，证得，证得 ODAC，则，则BODBAC，得到，得到 ，从，从 而求得而求得y关于关于x的函数关系式的函数关系式 BOBD BABC 解：如解图，连接解：如解图，连接OD， OBOD，ABAC， BODB，BC， ODBC，ODAC， BODBAC， ， ABAC5，BC6，OBx，DCy， ， y 6. BOBD BABC 6 56 xy 6 5 x 例1题解
17、图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 例例 2 如图如图，已知已知AB是是 O的直径的直径，BP是是 O的弦的弦，弦弦CDAB于点于点F，交交BP于点于点 G，BGPG.设设BFx，BOy，试用含试用含x，y的代数式表示线段的代数式表示线段BG的长的长 例2题图 【思维教练】要用含【思维教练】要用含x，y的代数式表示线段的代数式表示线段BG的长，考虑利用含有的长，考虑利用含有BF，BO，BG 的三角形相似求解由已知的三角形相似求解由已知BGPG，得到垂直关系，再利用，得到垂直关系，再利用CDAB得到角相等，得到角相等， 进而证得三角形相似进而证得三角形相似 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题
18、 解：如解图，连接解：如解图，连接OG， BP是是 O的弦，的弦，BGPG， OGBP， CDAB， BGOBFG90， 又又OBGGBF， BGOBFG， ， BG2BF BOxy， BG . 例2题解图 BFBG BGBO xy 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 突破设问六突破设问六 求弧长及扇形阴影部分面积求弧长及扇形阴影部分面积 2019.20(1) 典例精讲典例精讲 例例 1 如图如图，在在ABC中中，ABAC，BAC54，以以AB为直径的为直径的 O分别交分别交AC、 BC于点于点D、E，若若AB6，求求 的长的长 DE 【思维教练】要求弧长，只需要求出弧长公式中的各项值代入即【
19、思维教练】要求弧长，只需要求出弧长公式中的各项值代入即 可本题根据等腰三角形的性质和直径所对的圆周角等于可本题根据等腰三角形的性质和直径所对的圆周角等于90， 得到得到CAE的度数，再利用圆周角定理得到的度数，再利用圆周角定理得到DOE的度数，然的度数，然 后根据弧长公式即可计算后根据弧长公式即可计算 例1题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 解：如解图，连接解：如解图，连接AE、OD、OE， ABAC，AEBC， AE平分平分BAC， CAE BAC 5427， DOE2CAE22754， 的长的长 . 例1题解图 1 2 1 2 DE 5439 18010 专题七专题七 圆的综合题圆的
20、综合题 例例 2 如图如图，AB是是 O的直径的直径，CD是是 O的弦的弦，且且CDAB，连接连接AC，AD，OD， 其中其中ACCD，过点过点B作作 O切线交切线交CD的延长线于点的延长线于点E.若若AB16，求图中阴影部求图中阴影部 分的面积分的面积 【思维教练】要计算阴影部分的面积，可以使用和差法或割补法求得本题首先【思维教练】要计算阴影部分的面积，可以使用和差法或割补法求得本题首先 分别算出四边形分别算出四边形OBED和扇形和扇形BOD的面积，再利用和差法即可计算出阴影部分的的面积，再利用和差法即可计算出阴影部分的 面积面积 例2题图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 解：如解图，连
21、接解：如解图，连接BD， ACCD， ， CADCDA， CDAB， CDAOAD， CADCDAOAD90 30， DOB60， ODOB， BOD是等边三角形，是等边三角形， 例2题解图 ACCD 1 3 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 BDOB AB8， BE是是 O的切线，的切线， OBE90， DBE30， CDAB，OBE90，E90， DE BD4，BE ， S阴影 阴影 S四边形 四边形OBED S扇形 扇形BOD (48)4 1 2 1 2 1 2 4 3 2 60832 324 3. 3603 p p -=- 例2题解图 专题七专题七 圆的综合题圆的综合题 点击链接至针对训练点击链接至针对训练 W 点击链接至练习册点击链接至练习册 W
