1、n n! (n m)! = n(n 1)(n 2) (n m + 1) n Am = n An = n! 高中数学选修高中数学选修 2-3 知识点知识点 第一章第一章 计数原理计数原理 1.1 分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理：分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同 的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不 同的方法。分类要做到分类要做到“不重不漏不重不漏”。 分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2
2、 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法。分步分步 要做到要做到“步骤完整步骤完整”。 n 元集合元集合 A=a1，a2，an的不同子集有的不同子集有 2n 个。个。 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列排列(arrangement)。 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数排列数，用符号Am表示。 排列数公式： n 个元素的全排列数 规定：
3、规定：0!=1 1.2.2 组合 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合组合(combination)。 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数组合数，用符号Cm或( n )表示。 n m 组合数公式： Am = Cm Am n n m = n n m n nk n *Ck Cmk = Cm Ck n1 n kCk = nCk1 （杨辉三角） n n = Cm + Cm1 n+1 Cm (“构建组合意义”“殊途同归”) n n Cm
4、 = Cnm n Tk+1 = Ckankbk k+1 表示通项展开式的第 k+1 项： k nk k n C a b 叫做二项展开式的通项二项展开式的通项，用 T 式中的 n 其中各项的系数Ck (k0，1，2，n)叫做二项式系数二项式系数(binomial coefficient)； (nN N*) n n n n (a + b)n = C0an + C1 an1b + + Ckankbk + + Cnbn 规定：规定： 组合数的性质： 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理二项式定理(binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两
5、个不同的概念。注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 *表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性 n+1 (2) 当 n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项C2 取得最大值； n1 n+1 当 n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cn2 ，C 2 同时取得最大值。 (3) 各二项式系数的和为 2n = C0 + C1 + C2 + + Ck + + Cn n n n n n n! n(n 1)(n 2) (n m + 1) m! (n m)! = m! m n = Am n m Cm = A i=
6、1 (4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和： C0 + C2 + C4 + = C1 + C3 + C5 + (5) 一般地， n n n n n n Cr + Cr + Cr + + Cr = Cr+1 (n ) r r+1 r+2 n1 n 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量随机变量(random variable)。 随机变量和函数
7、都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数 把实数映为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相 当于函数的值域。 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量离散型随机变量(discrete random variable)。 概率分布列概率分布列(probability distribution series)，简称为分布列分布列(distribution series)。 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 也可用等式表示： P(X = xi) = pi ，i = 1，2， ，n 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
8、(1) pi0，i=1，2，n； (2) n pi = 1 随机变量 X 的均值均值(mean)或数学期望数学期望(mathematical expectation)： E(X) = x1p1 + x2p2 + + xipi + xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 随机变量 X 的方差方差(variance)刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度 n D(X) = (xi E(X)2pi i=1 Cn 其算术平方根D(X)为随机变量 X 的标准差标准差(standard deviation)。 E(aX + b) =
9、 aE(X) + b D(aX + b) = a2D(X) 若随机变量 X 的分布具有下表的形式，则称 X 服从两点分布两点分布(two-point distribution)，并称 p=P(X=1)为成功概率。(两点分布又称 0-1 分布分布。由于只有两 个可能结果的随机试验叫伯努利试验伯努利试验，所以两点分布又叫伯努利分布伯努利分布) X 0 1 P 1-p p 若 X 服从两点分布，则E(X) = p ，D(X) = p(1 p) 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 Ck Cnk ( = k) = M NM ，k=0
10、，1，2，m N X 0 1 m P C 0 Cn0 M NM Cn N C 1 Cn1 M NM Cn N C mCnm M NM Cn N 其中 m=minM，n，且 nN，MN，n，M，NN N* 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布超几何分布 (hypergeometric distribution)。 2.2 二项分布及其应用二项分布及其应用 2.2.1 条件概率条件概率 一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率条件概率(conditional p
11、robability)。 如果 B 和 C 是两个互斥事件互斥事件，则 P(B C|A) = P(B|A) + P(C|A) P(B|A) = P(AB) P(A) n 2.2.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 设 A，B 为两个事件，若 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 与事件 B 相互独立相互独立(mutually independent)。 可以证明，如果事件如果事件 A 与与 B 相互独立，那么相互独立，那么 A 与与 ， 与与 B， 与与 也都相互独立。也都相互独立。 2.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 一般
12、地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验次独立重复试验(independent and repeated trials)。 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An) 其中 Ai (i=1，2，n)是第 i 次试验的结果。 一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验 中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X = k) = Ckpk(1 p)nk ， k = 0，1，2， ，n 此时称随机变量 X 服从二项分布二项分布(binomial distribution)，记作XB(n，p)，并称 p 为成功概率。 若XB(n，p) ，
13、则 n n n1 E(X) = kCkpkqnk = npCk1pk1qn1(k1) = np Ck pkqn1k n k=0 k=1 n1 k=0 n1 = np(p + q)n1 = np D(X) = np(1 p) *随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样 本的平均值是随机变量。 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的 方差是随机变量。 P( + ) = 0.6826 P( 2 + 2) = 0.9544 P( 3 + 3) = 0.9974 ， 2.4 正态分布正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b (ab)，随机变量 X 满足 (x) = 1 2 (x) 2 e 22 ，x （ ， + ） b P(a 0， +a P( a + ) = ，(x) dx a 该面积随着 的减少而变大。这说明 越小，X 落在区间( a， + a的 概率越大，即X 集中在 周围概率越大。 特别有 在实际应用中， 通常认为服从于正态分布 N( ， 2) 的随机变量 X 只取 ( 3 R2 ，则模型 1 比模型 2 拟合效果更好；若R2 w0时，就判断“X 和 Y 有关系” ；否则，判断“X 和 Y 没有 关系”。这里w0为正实数，且满足在“X 和 Y 没有关系”的前提下 P(W2 w0) = 0.01
