1、勾股定理的逆定理拓展勾股定理的逆定理拓展习题习题含答案含答案 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 2.如图所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm， D=120， 则该零件另一腰 AB 的长是_ cm （结果不取近似值） . 第 2 题图 第 3 题图 3.如图所示，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3， 且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为_. 4.如图所示，已知正方形 ABCD 的边
2、长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点， 且 AF= 4 1 AD，试判断EFC 的形状. 第 4 题图 5.一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师 傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合 要求吗？ 第 5 题图 6.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1） ，求证：ABC 是直角三角 形. 7.已知 a，b，c 是 RtABC 的三边长，A1B1C1的三边长分别是 2a，2b，2c， 那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，
3、且 CD 2=AD BD. 求证：ABC 是直角三角形. 第 8 题图 9.如图所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A （3，1） ，B （2，4） ， OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 第 9 题图 10. 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为 a = 6 米，b= 8 米。现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 b 为直角边的 直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长是多少米？ 11.已知：在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状. 12
4、.已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积. 第 12 题图 C A B D 习题答案习题答案 1. D 2. 53 3. 23 4. 解：E 为 AB 中点，BE=2. CE 2=BE2+BC2=22+42=20. 同理可求得,EF 2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. CE 2+EF2=CF2, EFC 是以CEF 为直角的直角三角形. 5. 解：在ABD 中，AB 2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD 为直角三角形， A =90. 在BDC 中, BD 2
5、+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2. 所以BDC 是直角三角形，CDB =90. 因此这个零件符合要求. 6. 证明：k 2+1k21,k2+12k=(k1)20,即 k2+12k，k2+1 是最长边. (k 21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2, ABC 是直角三角形. 7. 解：111是直角三角形 理由：a,b,c 是 RtABC 的三边长，设 c 是斜边 由勾股定理得：2+ 2= 2 (2)2+ (2)2= 42+ 42= 4(2+ 2) = 42= (2)2 111是直角三角形 8. 证明：AC 2=AD2+CD2，B
6、C2=CD2+BD2， AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD 2+2ADBD+BD2 =（AD+BD） 2=AB2. ABC 是直角三角形. 9. 解： OA 2=OA 1 2+A 1A 2=32+12=10, OB 2=OB 1 2+B 1B 2=22+42=20, AB 2=AC2+BC2=12+32=10, OA 2+AB2=OB2. OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 . 10.由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定， 若设扩充所得的三角形是ABD， 则应分为AB=AD，AD=BD 两种情况进行讨论 如图所示：在 RtABC 中， AC=8m，BC=6m， AB=1
7、0m， 第 10 题图 如图 1，当AB=AD时，CD=BC=6m， 此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m） ； 如图 2：当 AD=BD 时，设 AD=BD=xm； RtACD 中，BD=xm，CD=（x6）m； 由勾股定理，得2= 2+ 2，即( 6)2+ 82= 2，解得 x=25 3 ； 此时等腰三角形绿地的周长=25 3 2+10=80 3 （m） 当 AB=BD 时，在 RtACD 中，AD=2+ 2=82+ (10 6)2=45， 此时等腰三角形绿地的周长=210+45=20+45 综上扩建后等腰三角形花圃的周长为 32 米或80 3 米或 20+45米 11.
8、 解：由已知可得 a 210a+25+b224b+144+c226c+169=0, 配方并化简得,(a5) 2+(b12)2+(c13)2=0. (a5) 20,(b12)20,(c13)20. a5=0,b12=0,c13=0. 解得 a=5,b=12,c=13. 又a 2+b2=169=c2, ABC 是直角三角形. 12. 解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）, DE=AB=4，BE=AD=3. BC=6,EC=EB=3. DE 2+CE2=32+42=25=CD2, DEC 为直角三角形. 又EC=EB=3, DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在BDA 中 AD 2+AB2=32+42=25=BD2, BDA 是直角三角形. 它们的面积分别为SBDA= 2 1 34=6;SDBC= 2 1 64=12. 第12题图 S四边形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18. A B D C E
