1、2.6 2.6 菱形菱形 2.6.1 2.6.1 菱形的性质菱形的性质 A A B B C C D D O O 1.1.掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系. .了解了解 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形菱形既是中心对称图形又是轴对称图形. . 2.2.理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有 关的证明和计算，会计算菱形的面积关的证明和计算，会计算菱形的面积. . 一组一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫作菱形；叫作菱形； AB=BCAB=BC 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱
2、形 ABCDABCD 菱形的定义菱形的定义 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出 一个菱形的纸片？一个菱形的纸片？ 已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形 1 1. .图中有哪些相等的线段图中有哪些相等的线段？ 2 2. .图中有哪些相等的角图中有哪些相等的角？ 3 3. .图中有哪些等腰三角形图中有哪些等腰三角形？ 4 4. .图中有哪些直
3、角三角形图中有哪些直角三角形？ 5 5. .菱形是轴对称图形吗菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴它有几条对称轴？分别是什分别是什 么么？对称轴间有什么关系对称轴间有什么关系？ A A B B C C D D O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形 1 1. .相等的线段：相等的线段： AB=CD=AD=BCAB=CD=AD=BC， OA=OCOA=OC ，OB=ODOB=OD A A B B C C D D O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 DAB=BCDDAB=BCD， A
4、BC =CDA ABC =CDA ， AOB=DOC=AOD=BOC =90AOB=DOC=AOD=BOC =90， 1=2=3=4 1=2=3=4 ，5=6=7=85=6=7=8 2.2.相等的角：相等的角： A A B B C C D D O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 3.3.等腰三角形有：等腰三角形有： ABCABC，DBCDBC，ACDACD，ABDABD A A B B C C D D O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 4.4.直角三角形有：直角三角形有： RtRtAOBAOB， RtRtBOCBOC，R
5、tRtCODCOD，RtRtDOADOA A A B B C C D D O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 5.5.菱形是轴对称图形，有两条对称轴，为两条对角线所在直菱形是轴对称图形，有两条对称轴，为两条对角线所在直 线，两条对称轴垂直线，两条对称轴垂直. . A A B B C C D D O O 菱形的性质：菱形的性质： （1 1）菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；）菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分； （2 2）菱形的四条边都相等；）菱形的四条边都相等； （3 3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一）菱形的对角线互相垂直，并且
6、每一条对角线平分一 组对角；组对角； （4 4）菱形是轴对称图形）菱形是轴对称图形, ,两条对角线所在的直线都是它两条对角线所在的直线都是它 的对称轴；的对称轴； （5 5）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. . 求证：求证：ACBDACBD；ACAC平分平分BADBAD和和BCDBCD； BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC. . 已知：菱形已知：菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O. . 证明：证明：因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形是菱形， A A B B C C D D O
7、O 在在ABDABD中，又因为中，又因为BO=DOBO=DO， 所以所以AB=ADAB=AD（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等） 所以所以ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD， 命题：命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线 平分一组对角平分一组对角. . 同理：同理：ACAC平分平分BCDBCD；BDBD平分平分 ABCABC和和ADC.ADC. 上述的命题也是一个定理上述的命题也是一个定理. . 菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等 边边 对角线对角线 角角 菱
8、形的四条边相等菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对 角线平分一组对角角线平分一组对角. A A D D C C B B O O 菱形的性质菱形的性质 【菱形的面积公式菱形的面积公式】 菱菱 形形 A A B B C C D D O O E E S S菱形 菱形=BCAE =BCAE 思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能利用对角线能 计算计算 菱形的面积吗菱形的面积吗? 2 1 =S=S ABDABD+S +S BCDB
9、CD= AC = ACBD BD S S菱形 菱形ABCDABCD 菱形的面积菱形的面积= =底底高高= =对角线乘积的一半对角线乘积的一半 A A B B C C D D O O 【例题例题】 【解析解析】 【跟踪训练跟踪训练】 【解析解析】 答案：答案： 【解析解析】 答案：答案： 【证明证明】 1.1.（陕西（陕西中考）若一个菱形的边长为中考）若一个菱形的边长为2 2，则这个菱形，则这个菱形 两条对角线的平方和为（两条对角线的平方和为（ ） (A)16 (B)8 (C)4 (D)1(A)16 (B)8 (C)4 (D)1 【解析解析】选选A.A.设这个菱形两条对角线长分别为设这个菱形两条
10、对角线长分别为a,b.a,b.由菱由菱 形对角线互相垂直且平分，则形对角线互相垂直且平分，则 即即a a2 2+b+b2 2=16.=16. 222 ab () +() =2 , 22 【解析解析】 【解析解析】 4.4.如图，菱形如图，菱形ABCDABCD中，中，B=60B=60,AB=2,E,AB=2,E、F F分别是分别是BCBC、 CDCD的中点，连接的中点，连接AEAE、EFEF、AFAF，则，则AEFAEF的周长为的周长为( )( ) （A A） （B B） （C C） （D D）3 3 2 3 3 3 4 3 【解析解析】选选B.B.连接连接AC.AC.因为四边形因为四边形ABC
11、DABCD是菱形，所以是菱形，所以ABABBC.BC. 又因为又因为B B6060，所以，所以ABCABC是等边三角形是等边三角形. .因为因为E E是是BCBC的中的中 点，所以点，所以AEBC.AEBC.同理，同理，AFCD.AFCD.易证得易证得ABEABEADFADF，所以，所以 AE=AF.AE=AF.因为因为ABCDABCD，B=60B=60, ,所以所以C=120C=120. .又因为又因为CE=CF,CE=CF, 所以所以CEFCEF3030，所以，所以AEFAEF6060，所以，所以AEFAEF是等边三角是等边三角 形形. .由勾股定理得由勾股定理得 所以所以AEFAEF的周
12、长为的周长为 AE= 3,3 3. 5.5.（嘉兴（嘉兴中考）如图，已知菱中考）如图，已知菱 形形ABCDABCD的一个内角的一个内角BAD=80BAD=80, ,对角对角 线线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，点，点E E在在ABAB上，且上，且 BE=BOBE=BO，则，则AOE=_.AOE=_. 【解析解析】在菱形在菱形ABCDABCD中，中，ACBDACBD， BAC= BAD=40BAC= BAD=40， 得得ABD=50ABD=50，由，由BE=BOBE=BO， 得得BOE=BEO=65BOE=BEO=65 所以所以AOE=25AOE=25 答案答案: :2525 1 2
13、6.6.（珠海（珠海中考）如图，中考）如图，P P是菱形是菱形ABCDABCD对角线对角线BDBD上一点，上一点， PEABPEAB于点于点E E，PE=4 cmPE=4 cm，则点，则点P P到到BCBC的距离是的距离是_cm._cm. 【解析解析】菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点 到角两边的距离相等，故点到角两边的距离相等，故点P P到到BCBC的距离是的距离是4 cm.4 cm. 答案：答案：4 4 7.7.（常德（常德中考）如图，已知四边形中考）如图，已知四边形ABCDABCD是菱形，是菱形， DEAB,DFBCDEAB,DFBC，求证：
14、，求证：ADEADECDF.CDF. 【证明证明】在在ADEADE和和CDFCDF中，因为四边形中，因为四边形ABCDABCD是菱形，是菱形， 所以所以A=C,AD=CD.A=C,AD=CD.又又DEAB,DFBC,DEAB,DFBC, 所以所以AED=CFD=90AED=CFD=90. . 所以所以ADEADECDF.CDF. 【解析解析】 9.9.（郴州（郴州中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定 性性. .如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接， 转动手柄可改变转动手柄可改变ADCADC的大小（菱形的边
15、长不变），从而的大小（菱形的边长不变），从而 改变千斤顶的高度（即改变千斤顶的高度（即A A、C C之间的距离）之间的距离）. .若若AB=40 cm,AB=40 cm, 当当ADCADC从从6060变为变为120120时，千斤顶升高了多少？时，千斤顶升高了多少？ （ 1.414, 1.7321.414, 1.732，结果保留整数），结果保留整数） 23 【解析解析】连结连结ACAC，与，与BDBD相交于点相交于点O O， 因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形是菱形, , 所以所以ACBDACBD，ADB=CDBADB=CDB，AC=2AO.AC=2AO. 当当ADC=60ADC=60时
16、，时，ADCADC是等边三角形是等边三角形. . 所以所以AC=AD=AB=40.AC=AD=AB=40. 当当ADC=120ADC=120时，时， ADO=60ADO=60，OAD=30OAD=30, ,又又AD=40,AD=40,所以所以OD=20.OD=20. 通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们 1.1.掌握掌握菱形的定义、性质菱形的定义、性质. . 2.2.会利用菱形的对角线求菱形的面积会利用菱形的对角线求菱形的面积. . 3.3.会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题. 少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日 中之光；老而好学，如炳烛之明。 刘向
