1、 高考一轮复习热点难点精讲精析：2.7幂函数一、幂函数定义的应用1、相关链接（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：指数为常数；底数为自变量;幂系数为1.（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.（3）几个具体函数的定义正比例函数； 反比例函数；一次函数；二次函数；幂函数（）2、例题解析例1已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反
2、比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).解析：(1)f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+)上的增函数，则m=-1.(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得此时m2-m-10,故(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则此时m2-m-10,故例2已知y=(m2+2m-2)+(2n-3)是幂函数，求m、n的值.思路解析：本题是求实数m、n的值，由于已知幂函数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.解答：由题意得：，解得，所以，。二、幂函数的图象与性质（一）
3、幂函数的图象及应用1、相关链接幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：（1）的正负：0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸；（3）=（其中，且互质）。当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称；当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称；当为偶数，为奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。(4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内； (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。2、例题解析例1已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图
4、象上定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.【方法诠释】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值解析：设幂函数为f(x)=x，因为点在f(x)的图象上，所以所以=2，即f(x)=x2；又设g(x)=x，点()在g(x)的图象上，所以(2)=，所以=2，即g(x)=x2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：则有：根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(，1)和(0，1)，单调递减区间是(1，0)和
5、(1，+).注：解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.例2 已知函数（1） 求的单调区间；（2） 比较与的大小（3）解答：（1）方法一：=1+，其图象可由幂函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图：所以该函数在上是减函数，在上是增函数。方法二：=1+，设在定义域内，则（2）图象关于直线对称，又。（二）幂函数的性质与应用1、相关链接比较幂值大小的类型及方法(1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数
6、的单调性比较；(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系；(4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.幂函数y=x的性质(1)定义域、值域及奇偶性,要视的具体值而定.(2)当0时，幂函数在(0，+)上是增函数，当0时，幂函数在(0，+)上是减函数.2、例题解析【例1】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.(2
7、)已知幂函数y=x3m-9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，+)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围.【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数y=x0.2的单调性比较，而后两个同底数的幂值利用指数函数y=2x的单调性比较.(2)利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等式，从而求出a的范围.【规范解答】(1)因为函数y=x0.2在R上为增函数，且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2,又函数y=2x在R上为增函数，且0.21.6,20.221.6,0.20.20.40.220.221.6.(2)函数在(0
8、，+)上递减，3m-90，m3-2a0或0a+13-2a或a+103-2a，解得a-1或a的取值范围是a|a-1或.三、幂函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现类型一：求参数的取值范围例1已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式解：是偶
9、函数，应为偶数又，即，整理，得，又，或1当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数故m的值为1，评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础类型二：求解存在性问题例2已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间解：，则假设存在实数，使得满足题设条件，设，则若，易知，要使在上是减函数，则应有恒成立，而，.从而要使恒成立，则有，即若，易知，要使在上是
10、增函数，则应有恒成立，而，要使恒成立，则必有，即综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例3讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论解：（1）当，即或时，为常函数；（2）当时，或，此时函数为常函数；（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（6）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警觉幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用7
