1、高高三三下下学学期期第第二二次次质质检检考考试试理理科科数数学学第第 1 1 页页 共共 5 5 页页 河河北北武武邑邑中中学学 2 20 01 19 92 20 02 20 0 学学年年高高三三年年级级下下学学期期第第二二次次质质 检检考考试试数数学学试试题题（理理科科） 注注意意事事项项： 1 1本本试试卷卷分分第第卷卷（选选择择题题）和和 I II I 卷卷（非非选选择择题题）两两部部分分，满满分分150分分，考考试试时时间间120分分钟钟。 2 2答答题题前前请请仔仔细细阅阅读读答答题题卡卡（纸纸）上上的的“注注意意事事项项” ，按按照照“注注意意事事项项”的的规规定定答答题题。 3
2、3选选择择题题答答案案涂涂在在答答题题卡卡上上，非非选选择择题题答答案案写写在在答答题题卡卡上上相相应应位位置置，在在试试卷卷和和草草稿稿纸纸上上作作答答无无效效。 第第卷卷选选择择题题（共共 6 60 0 分分） 一一. 选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分，在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，有有且且只只有有一一项项符符 合合题题目目要要求求,将将正正确确答答案案填填涂涂在在答答题题卡卡上上。 1 1. .已已知知集集合合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 40 0 ，B B y y| |y y2 2 x x+
3、+3 3 ， ，则则A AB B（） A A 3 3，4 4）B B（1 1，+ +）C C（3 3，4 4）D D（3 3，+ +） 2 2. .已已知知复复数数z z1 13 3b bi i，z z2 21 12 2i i，若若是是实实数数，则则实实数数b b的的值值为为（） A A6 6B B6 6C C0 0D D 3 3. .党党的的十十九九大大报报告告明明确确提提出出：在在共共享享经经济济等等领领域域培培育育增增长长点点、形形成成新新动动能能. .共共享享经经济济是是公公众众将将闲闲置置资资 源源通通过过社社会会化化平平台台与与他他人人共共享享， 进进而而获获得得收收入入的的经经济
4、济现现象象. .为为考考察察共共享享经经济济对对企企业业经经济济活活跃跃度度的的影影响响， 在在四四个个不不同同的的企企业业各各取取两两个个部部门门进进行行共共享享经经济济对对比比试试验验， 根根据据四四个个企企业业得得到到的的试试验验数数据据画画出出如如下下四四个个 等等高高条条形形图图，最最能能体体现现共共享享经经济济对对该该部部门门的的发发展展有有显显著著效效果果的的图图形形是是（） A A. .B B. .C C. .D D. . 4 4. .设设 1 tan 2 ， 4 cos()(0,) 5 ，则则tan(2)的的值值为为（） A A 7 24 B B 5 24 C C 5 24
5、D D 7 24 5 5. .大大衍衍数数列列来来源源于于我我国国古古代代文文献献乾乾坤坤谱谱中中对对易易传传“大大衍衍之之数数五五十十”的的推推论论，主主要要用用于于解解释释我我国国传传 统统文文化化中中的的太太极极衍衍生生原原理理，数数列列中中的的每每一一项项，都都代代表表太太极极衍衍生生过过程程中中，曾曾经经经经历历过过的的两两仪仪数数量量总总和和. . 高三下学高三下学期第二次质检期第二次质检考试理科数学考试理科数学第第 2 2 页页 共共 5 5 页页 已知该数列前已知该数列前 1010 项是项是 0 0，2 2，4 4，8 8，1212，1818，2424，3232，4040，50
6、50，则大衍数列中奇数项的通项公式则大衍数列中奇数项的通项公式 为（为（）A.A. 2 2 nn B.B. 2 1 2 n C.C. 2 1 2 n D.D. 2 2 n 6.6.如图所示，某几何体的如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为正视图与俯视图均为边长为边长为 4 4 的的正方形，其侧视正方形，其侧视 图中的曲线为图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（圆周，则该几何体的体积为（） A AB BC CD D 7.7.已知函数已知函数f f（x x）的图象如图所示，则函数）的图象如图所示，则函数f f（x x）的解析式可能是（）的解析式可能是（） A Af f（x x）（）（4 4 x
7、x+4 +4 x x） ）| |x x| |B Bf f（x x）（）（4 4 x x 4 4 x x） ）loglog2 2| |x x| | C Cf f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）loglog2 2| |x x| |D Df f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）| |x x| | 8.8.五声音阶是中国古乐的基本音阶五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语故有成语“五音不全五音不全” 。中国古乐中的五声音阶依次为中国古乐中的五声音阶依次为：宫宫、商商、 角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧角、徽、
8、羽，如果用上这五个音阶，排成一五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧， 可排成的不同音序有（可排成的不同音序有（ ） A.20A.20 种种B.24B.24 种种C.32C.32 种种D.48D.48 种种 9.9.已知函数已知函数与与 轴交于点轴交于点，距离，距离 轴最近的最大轴最近的最大 值点值点，若，若，且，且，恒有，恒有，则实数，则实数 的最大值为（的最大值为（） A AB BC CD D 10.10.如图，如图， 为为的外心，的外心，为钝角，为钝角，是边是边的中点，则的中点，则 的值为（的值为（）A.A. 4 4B.B.C.C.D.D. 11.11.已知双曲线已知双曲线的左的
9、左、右焦点分别为右焦点分别为，圆圆与双曲线在第一与双曲线在第一 象限内的交点为象限内的交点为 M M，若，若则该双曲线的离心率为则该双曲线的离心率为（） A A2 2B B3 3C CD D 高三下学高三下学期第二次质检期第二次质检考试理科数学考试理科数学第第 3 3 页页 共共 5 5 页页 12.12. 已知定义在已知定义在 R R 上的函数上的函数， 若函数若函数恰有恰有 2 2 个零点个零点，则实数则实数 的的 取值范围是（取值范围是（） A AB B C CD D 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 9090 分）分） 二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小
10、题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。分，将答案填在答题卡上相应位置。 13.13.若若 , x y满足约束条件 满足约束条件 220 330 0 xy xy x ，则，则z xy 的最小值为的最小值为_._. 14.14.已知已知*nN，满足满足，则则 2 n xxy的展开式中的展开式中 52 x y的系的系 数为数为_._. 15.15.四边形四边形 ABCDABCD 中，中，A=60A=60，cosB=cosB=,AB=BC=7,AB=BC=7, ,当边当边 CDCD 最短时，四边形最短时，四边形 ABCDABCD 的面积为的面积为_ 16.16.点点 P P 为棱
11、长是为棱长是 3 3 的正方体的正方体的内切球的内切球 O O 球面上的动点，点球面上的动点，点 P P 满足满足 则动点则动点 P P 的轨迹的长度为的轨迹的长度为_ 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本题满分（本题满分 12 分）分） 已知等比数列已知等比数列 n a的公比的公比1q ，且且 135 42aaa， 3 9a 是是 15 ,a a的等差中项的等差中项，数列数列 n b的通项的通项 公式公式 1 2 11 n n nn b aa ， * nN . （1
12、）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 n b的前的前 n 项和项和 n S. 18 （本题满分（本题满分 12 分）分） 如图，已知三棱柱如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，中， 1 ABCB BC与是全等的等边三角形，是全等的等边三角形， （1）求证：求证： 1 BCAB；（2）若）若 4 1 cos 1 BAB，求二面角，求二面角ABBC 1 的余弦值的余弦值 高三下学高三下学期第二次质检期第二次质检考试理科数学考试理科数学第第 4 4 页页 共共 5 5 页页 19.（本题满分（本题满分 12 分）分） 已知抛物线已知抛物线 2 2yx，过点，过点
13、(1,1)P分别作斜率为分别作斜率为 1 k， 2 k的抛物线的动弦的抛物线的动弦AB、 CD，设，设M、N分别为线段分别为线段AB、CD的中点的中点 （）若）若P为线段为线段AB的中点，求直线的中点，求直线AB的方程；的方程； （）若）若 12 1kk，求证直线，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标恒过定点，并求出定点坐标 20.（本题满分（本题满分 12 分）分） 由甲由甲、乙乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁第一关解密码锁，3 3 个人依次进行个人依次进行，每人必须每人必须 在在 1 1 分钟内完成分钟内完成，否则派下一个人否则派下一
14、个人3 3 个人中只要有一人能解开密码锁个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关则该团队进入下一关，否否 则淘汰出局根据以往则淘汰出局根据以往 100100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图 （1 1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 4747，求，求a a、b b的值，并分别求出甲、乙在的值，并分别求出甲、乙在 1 1 分钟内解开分钟内解开 密码锁的频率；密码锁的频率； （2 2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率若以解开密码
15、锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并并 且丙在且丙在 1 1 分钟内解开密码锁的概率为分钟内解开密码锁的概率为 0.50.5，各人是否解开密码锁相互独立，各人是否解开密码锁相互独立 求该团队能进入下一关的概率；求该团队能进入下一关的概率； 该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X X的数学期望达到最小，并说明的数学期望达到最小，并说明 理由理由 21.（本题满分（本题满分 12 分）分） 已知函数已知函数( ) x f xex （1）讨论讨论( )f x的单调性；的单调性； （2）若若 12
16、()()f xf x， 12 xx，求证：，求证： 12 2 xx ee 高三下学高三下学期第二次质检期第二次质检考试理科数学考试理科数学第第 5 5 页页 共共 5 5 页页 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用 2B 铅铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22(本小题满分本小题满分 10 分分)选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中，曲线曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 3co
17、s 33sin x y （为参数为参数） ，以坐标原点以坐标原点O为为 极点，极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为2cos. . （1 1）求曲线）求曲线 1 C的普通方程和的普通方程和 2 C的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2 2）已知曲线已知曲线 3 C的极坐标方程为的极坐标方程为（0，R） ，点点A是曲线是曲线 3 C与与 1 C的交点的交点，点点B是是 曲线曲线 3 C与与 2 C的交点，的交点，A、B均异于原点均异于原点O，且，且| | 2 2AB ，求实数，求实数的值的值. . 23(本小题满分本小题满
18、分 10 分分)选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数已知函数 23fxxax， 23g xx 1解不等式解不等式 6g x ； 2若对任意的若对任意的 2 xR，均存在，均存在 1 xR，使得，使得 12 g xf x成立，求实数成立，求实数a a的取值范围的取值范围 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 1 1 页页 共共 1 12 2 页页 河北武邑中河北武邑中学学201920192022020 0学年高三年级下学期学年高三年级下学期第二次质检第二次质检 考试数学试题（理科）考试数学试题（理科）答案答案 1.1.已知集合已知集合A A x x|
19、 |x x 2 2 3 3x x4 400，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3，则，则A AB B（） A A33，4 4）B B（1 1，+ +）C C（3 3，4 4）D D（3 3，+ +） 解：解：集合集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400 x x| |1 1x x44，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3 y y| |y y33， A AB B x x| |x x11（1 1，+ +）故选：）故选：B B 2 2已知复数已知复数z z1 13 3bibi，z z2 21 12 2i i，若，若是实数，则实数是实数，则实数b b的值
20、为（的值为（） A A6 6B B6 6C C0 0D D 解：解：是实数，是实数， 则则 6 6b b0 0，实数实数b b的值为的值为 6 6， 故选：故选：A A 3.3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能. .共享经济是公众将闲置资共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享源通过社会化平台与他人共享， 进而获得收入的经济现象进而获得收入的经济现象. .为考察共享经济对企业经济活跃度的影响为考察共享经济对企业经济活跃度的影响， 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验在四个不同的企业
21、各取两个部门进行共享经济对比试验， 根据四个企业得到的试验数据画出如下四个根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（） A.A.B.B.C.C.D.D. 解：解： 根据四个列联表中的等高条形图可知，根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中图中 D D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D D 4 4设设 1 tan 2 ， 4
22、cos()(0,) 5 ，则，则tan(2)的值为（的值为（） A A 7 24 B B 5 24 C C 5 24 D D 7 24 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 2 2 页页 共共 1 12 2 页页 解：解： 1 tan 2 ， 2 2tan4 tan2 1tan3 ， 4 cos()cos 5 ，(0,)， 4 cos 5 ， 3 sin 5 ， 3 tan 4 ， 43 tan2tan7 34 tan(2) 43 1tan2tan24 1 34 选选 D D 5.5.大衍数列大衍数列来来源于我国古代文献源于我国古代文献乾坤谱乾坤谱中对易传中对易
23、传“大衍之数五十大衍之数五十”的推论的推论，主要用于解释我国传主要用于解释我国传 统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和. . 已知该数列前已知该数列前 1010 项是项是 0 0，2 2，4 4，8 8，1212，1818，2424，3232，4040，5050，则大衍数列中奇数项的通项公式则大衍数列中奇数项的通项公式 为（为（）A.A. 2 2 nn B.B. 2 1 2 n C.C. 2 1 2 n D.D. 2 2 n 解：解：由题意由题意 1 0a ，
24、排除，排除 D D， 3 4a ，排除，排除 A A，C C同时同时 B B 也满足也满足 5 12a ， 7 24a ， 9 40a ， 选：选：B B 6 6如图所示，某几何体的如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为正视图与俯视图均为边长为边长为 4 4 的的正方形，其正方形，其 侧视图中的曲线为侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（圆周，则该几何体的体积为（） A AB BC CD D 解：解：结合题意，绘制图像，如图所示结合题意，绘制图像，如图所示 平面平面 DEFDEF 的面积为的面积为，故该几何体的体积，故该几何体的体积 ，选，选 B.B. 7.7.已知函数已知函数f f（x
25、 x）的图象如图所示，则函数）的图象如图所示，则函数f f（x x）的解析式可能是（）的解析式可能是（） A Af f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）| |x x| |B Bf f（x x）（）（4 4 x x 4 4 x x） ）loglog2 2| |x x| | C Cf f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）loglog2 2| |x x| |D Df f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）| |x x| | 解：解：函数函数f f（x x）的图象如图所示，函数是偶函数，）的图象如图所示，函数是偶函数，x x1 1 时，函数值为
26、时，函数值为 0 0 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 3 3 页页 共共 1 12 2 页页 f f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）| |x x| |是偶函数，但是是偶函数，但是f f（1 1）0 0， f f（x x）（）（4 4 x x 4 4 x x） ）loglog2 2| |x x| |是奇函数，不满足题意是奇函数，不满足题意 f f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）loglog2 2| |x x| |是偶函数，是偶函数，f f（1 1）0 0 满足题意；满足题意； f f（x x）（）（4 4 x x+
27、4 +4 x x） ）| |x x| |是偶函数，是偶函数，f f（1 1）0 0，x x（0 0，1 1）时，）时，f f（x x）0 0，不满足题意，不满足题意 则函数则函数f f（x x）的解析式可能是）的解析式可能是f f（x x）（）（4 4 x x+4 +4 x x） ）loglog2 2| |x x| |选：选：C C 8 8. .五声音阶是中国古乐的基本音阶五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语故有成语“五音不全五音不全” 。中国古乐中的五声音阶依次为中国古乐中的五声音阶依次为：宫宫、商商、 角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一 五音阶音
28、序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧， 可排成的不同音序有（可排成的不同音序有（ ） A.20A.20 种种B.24B.24 种种C.32C.32 种种D.48D.48 种种 解：先排角、商、徽，可分三种情况：解：先排角、商、徽，可分三种情况： 9.9.已知函数已知函数与与 轴交于点轴交于点，距离，距离 轴最近的最大轴最近的最大 值点值点，若，若，且，且，恒有，恒有，则实数，则实数 的最大值为（的最大值为（） A AB BC CD D 解：解：由题意得，由题意得， ，由五点作图法知，由五点作图法知，解得，解得， ，令，令，. . 解得解得，.
29、.，选，选:C.:C. 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 4 4 页页 共共 1 12 2 页页 10.10.如图如图， 为为的外心的外心，为钝角为钝角， 是边是边的中点的中点， 则则的值为的值为 （） A.A. 4 4B.B.C.C.D.D. 11.11.已知双曲线已知双曲线的左的左、右焦点分别为右焦点分别为，圆圆与双曲线在第一与双曲线在第一 象限内的交点为象限内的交点为 M M，若，若则该双曲线的离心率为则该双曲线的离心率为（） A A2 2B B3 3C CD D 解：解：根据题意可画出以上图像，过根据题意可画出以上图像，过点作点作垂线并交垂线并交于点
30、于点 ， 因为因为，在双曲线上，在双曲线上， 所以根据双曲线性质可知，所以根据双曲线性质可知，即，即 ， 因为圆因为圆的半径为的半径为 ，是圆是圆的半径，所以的半径，所以， 因为因为， 所以所以，三角形，三角形是直角三角形，是直角三角形， 因为因为，所以，所以，即，即点纵坐标为点纵坐标为， 将将点纵坐标带入圆的方程中可得点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，解得， 将将点坐标带入双曲线中可得点坐标带入双曲线中可得， 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 5 5 页页 共共 1 12 2 页页 化简得化简得，选，选 D.D. 12.12. 已知定义在已知定义在 上的函
31、数上的函数，若函数若函数恰有恰有 2 个零点个零点，则实数则实数 的的 取值范围是（取值范围是（） AB CD 解：解：由题意函数由题意函数恰有恰有 2 个零点，即是方程个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数有两不等实根，即是两函数 与与有两不同交点，作出函数图象如下图，有两不同交点，作出函数图象如下图， 易得当易得当时，有两交点，即函数时，有两交点，即函数恰有恰有 2 个零点选个零点选 B 13.13.若若 , x y满足约束条件 满足约束条件 220 330 0 xy xy x ，则，则z xy 的最小值的最小值 为为_._. 答案为：答案为：-2-2 解：解：先作可行域，则直线先作可行
32、域，则直线z xy 过点过点(0,2)A时取最小值时取最小值2， 14.14. 已知已知*nN，满足，满足则则 2 n xxy的展开式中的展开式中 52 x y的系的系 数为数为_._. 解：解：由题意由题意即即，所以所以5n 5 2 xxy的展开式中的展开式中 52 x y的系数为的系数为 22 53 30C C 答案为：答案为：3030 15.四边形四边形中中，, ,当边当边最短时最短时，四边形四边形的面积为的面积为_ 解解：当当边最短时边最短时，就是就是时时，连接连接，应用余弦定理可以求得应用余弦定理可以求得，并且可以求得并且可以求得 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学
33、考试理科数学第第 6 6 页页 共共 1 12 2 页页 ，从而求得从而求得，从而求得从而求得 ，利用平方关系求得利用平方关系求得，从从 而求得而求得，所以四边形的面积所以四边形的面积 。 答案答案为为. . 16.点点P为棱长是为棱长是3的正方体的正方体 1111 ABCDABC D的内切球的内切球O球面上的动点，点球面上的动点，点P满足满足 1 BPAC， 则动点则动点P的轨迹的长度为的轨迹的长度为 17.已知等比数列已知等比数列 n a的公比的公比1q ，且，且 135 42aaa， 3 9a 是是 15 ,a a的等差中项，数列的等差中项，数列 n b的的 通项公式通项公式 1 2 1
34、1 n n nn b aa ， * nN . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 n b的前的前 n 项和项和 n S. 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 7 7 页页 共共 1 12 2 页页 解解： （1）由）由 3 9a 是是 1 a， 5 a的等差中项得的等差中项得 153 218aaa， 所以所以 135 aaa 3 31842a，解得，解得 3 8a ， 由由 15 34aa，得，得 2 2 8 834q q ，解得，解得 2 4q 或或 2 1 4 q ，因为，因为1q ，所以，所以2q = 所以，所以，
35、2n n a （2）由（由（1）可得）可得 1 2 2121 n n nn b ， * nN 所以所以 1 2 2121 n n nn b 1 11 2 ( 2121) ( 2121)( 2121) nnn nnnn 1 1 2 ( 2121) 21 21 nnn nn 1 1 2 ( 2121) 2121 2 nnn nn n ， 所以所以+ 18 （本题满分本题满分 12 分分）如图如图， 已知三棱柱已知三棱柱 111 ABCABC 中中， 1 ABCB BC与 是全等的等边三角形是全等的等边三角形， （1）求证：）求证： 1 BCAB； （2）若）若 4 1 cos 1 BAB，求二面角
36、，求二面角ABBC 1 的余弦值的余弦值 解解： （1）取）取BC的中点的中点O，连接，连接AO， 1 BO， 由 于由 于 1 ABCB BC与是 等 边 三 角 形 ， 所 以 有是 等 边 三 角 形 ， 所 以 有AOBC， 1 BOBC，且且 1 AOBOO，所以所以 1 BCB AO平面， 11 ABB AO 平面，所以所以 1 BCAB （2）设）设ABa， 1 ABCB BC与是全等的等边三角形，是全等的等边三角形， 所以所以 11 BBABBCACBCa， 又又 4 1 cos 1 BAB，由余弦定理可得由余弦定理可得 2222 1 13 2 42 ABaaa aa ， 高三
37、下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 8 8 页页 共共 1 12 2 页页 在在 1 ABC中，有中，有 222 11 ABAOBO， 所以以所以以OA，OB， 1 OB分别为分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则则 3 (,0,0) 2 Aa，(0,0) 2 a B， 1 3 (0,0,) 2 B， 设平面设平面 1 ABB的一个法向量为的一个法向量为( , , )x y zn，则则 1 31 0 0 22 033 0 22 axay AB AB axaz n n ， 令令1x ，则，则(1, 3,1)n， 又平面又
38、平面 1 BCB的一个法向量为的一个法向量为(1,0,0)m， 所以二面所以二面角角ABBC 1 的余弦值为的余弦值为 5 cos 5 n m nm 19.（本题满分（本题满分 12 分）分）已知抛物线已知抛物线 2 2yx，过点，过点(1,1)P分别作斜率为分别作斜率为 1 k， 2 k的抛物线的动弦的抛物线的动弦AB、 CD，设，设M、N分别为线段分别为线段AB、CD的中点的中点 （）若）若P为线段为线段AB的中点，求直线的中点，求直线AB的方程；的方程； （）若）若 12 1kk，求证直线，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标恒过定点，并求出定点坐标 解解： （）设设 11 ( ,)A
39、x y， 22 (,)B xy，则，则 2 11 2yx， 2 22 2yx ，得，得 121212 ()()2()yyyyxx 又因为又因为(1,1)P是线段是线段AB的中点，所以的中点，所以 12 2yy 所以，所以， 21 1 2121 2 =1 yy k xxyy 又直线又直线AB过过(1,1)P，所以直线，所以直线AB的方程为的方程为yx； （）依题设依题设(,) MM M xy，直线，直线AB的方程为的方程为 1 1(1)yk x ，即，即 11 1yk xk ， 亦即亦即 12 yk xk，代入抛物线方程并化简得，代入抛物线方程并化简得 222 1122 (22)0k xk kx
40、k 所以，所以， 1212 12 22 11 2222k kk k xx kk 于是，于是， 12 2 1 1 M k k x k ， 12 1212 2 1 1 1 1 MM k k ykxkkk k k 同理，同理， 12 2 2 1 N k k x k ， 2 1 N y k 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 9 9 页页 共共 1 12 2 页页 易知易知 1 2 0k k ，所以直线，所以直线MN的斜率的斜率 21 21 1 MN MN yyk k k xxk k 故直线故直线MN的方程为的方程为 2112 2 121 1 1 1 () 1 k k
41、k k yx kk k k ， 即即 2 1 2 1 1 1 k k yx k k 此时直线过定点此时直线过定点(0,1) 故直线故直线MN恒过定点恒过定点(0,1) 20.（本题满分（本题满分 12 分）分） 由甲由甲、乙乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁第一关解密码锁，3 3 个人依次进行个人依次进行，每人必须每人必须 在在 1 1 分钟内完成分钟内完成，否则派下一个人否则派下一个人3 3 个人中只要有一人能解开密码锁个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关则该团队进入下一关，否否 则淘汰出局根据以往则淘汰出局根据以往 1001
42、00 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图 解：解：（1 1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 4747，求，求a a、b b的值，并分别求出甲、乙在的值，并分别求出甲、乙在 1 1 分钟内分钟内 解开密码锁的频率；解开密码锁的频率； （2 2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并并 且丙在且丙在 1 1 分钟内解开密码锁的概率为分钟内解开密码锁的概率为 0.50
43、.5，各人是否解开密码锁相互独立，各人是否解开密码锁相互独立 求该团队能进入下一关的概率；求该团队能进入下一关的概率； 该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X X的数学期望达到最小，并说明的数学期望达到最小，并说明 理由理由 解：解：（1 1）甲解开密码锁所需时间的中位数为）甲解开密码锁所需时间的中位数为 4747， 0.010.015+0.0145+0.0145+5+b b5+0.0345+0.0345+0.045+0.04（47474545）0.50.5，解得，解得b b0.0260.026； 0.040.043+0.
44、0323+0.0325+5+a a5+0.0105+0.01010100.50.5，解得，解得a a0.0240.024； 甲在甲在 1 1 分钟内解开密码锁的频率是分钟内解开密码锁的频率是f f甲 甲 1 10.010.0110100.90.9； 乙在乙在 1 1 分钟内解开密码锁的频率是分钟内解开密码锁的频率是f f乙 乙 1 10.0350.0355 50.0250.0255 50.70.7； 高三下学期高三下学期第二次第二次质检质检考试理科数学考试理科数学第第 1010 页页 共共 1 12 2 页页 （2 2）由（）由（1 1）知，甲在）知，甲在 1 1 分钟内解开密码锁的频率是分钟内解开密码锁的频率是 0.90.9，乙是，乙是 0.70.7，丙是，丙是 0.50.5，且各人是否解开，且各人是否解开 密码锁相互独立；密码锁相互独立； 不能进入下一关的概率为（不能进入下一关的概率为（1 10.90.9）（）（1 10.70.7）（）
