1、3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点第三章第三章 函数的应用函数的应用试一试试一试解下列方程并作出相应函数的图象解下列方程并作出相应函数的图象 (1)(1)2x2x-4 4=0=0 (2)y=2x-4(2)y=2x-4探究探究1 1：观察几个具体的一元二次方程及：观察几个具体的一元二次方程及相应的二次函数，完成下表相应的二次函数，完成下表：问题探究问题探究方程方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的方程的 实数根实数根实数根实数根 函数函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函数图像函数图像y y 函数图像函数图像与与x x
2、轴交点轴交点图象与图象与x x轴交点轴交点 xyO-13xyO111yxO2x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3x x1 1=x=x2 2=1=1无实数根无实数根两个交点两个交点（-1-1，0 0）（3,03,0）一个交点一个交点 （1,01,0）没有交点没有交点思考：思考：方程根方程根与相应函数图象与相应函数图象有什么联系有什么联系?一元二次方程如果有实数根，那么方一元二次方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相应二次函数的图象与程的实数根就是相应二次函数的图象与x x轴轴交点的横坐标。交点的横坐标。思考思考(完成下表完成下表)：一元二次方程的根与相应二次函数的图：一元二次方程的根
3、与相应二次函数的图象关系？象关系？0 0=0=0 0 0=b=b2 24ac4acax2+bx+c=0(a0)的根的根y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象函数的图象函数的图象与与 x 轴的交轴的交点点没有交点没有交点yxx1x20 xy0 x1xy0没有实数根没有实数根两个不相等两个不相等实数根实数根x1,x2两个相等两个相等实数根实数根x1=x2(x1,0),(x2,0)(x1,0)探究归纳探究归纳 方程如果有实数根，那么方程的方程如果有实数根，那么方程的实数根就是函数的图象与实数根就是函数的图象与x x轴交点的横轴交点的横坐标。坐标。规律：规律：新知学习新知学习函数零点的概念：函数零点
4、的概念：对于函数对于函数y=fy=f(x x)，我们把使，我们把使f f(x x)=0)=0的的实数实数x x叫做函数叫做函数y=fy=f(x x)的零点。的零点。方程f(x)=0有实数根函数的图象与x轴有交点()yfx函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点(1)y=3x-3 (2)y=log2x练习练习1 1：求下列函数的零点：求下列函数的零点1 1 方程方程法法2 2 图象图象法法探究探究2：如何求函数的零点？：如何求函数的零点？A(2，0)（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）f(x)=lg(x2+4x-4)（4,0），（0,0），（-4,0）如果函数y=f(x)在区间
5、a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，（2）零点对于函数而言，根对于方程而言.方程如果有实数根，那么方程的实数根就是函数的图象与x轴交点的横坐标。那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也（2）函数零点的概念；(1)2x-4=0（2）解方程f(x)=0；探究1：观察几个具体的一元二次方程及相应的二次函数，完成下表：（2）函数零点的概念；1方程的根与函数的零点1、函数f(x)=x(x2-16)的零点为（4,0），（0,0），（-4,0）函数的图象与x轴有交点（2）f(x)=lg(x2+4x-4)对于函数y=f(x)，我们把
6、使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。（1）令f(x)=0；求函数零点的步骤：求函数零点的步骤：（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点.小结：小结：练习2：函数f(x)=x2-4的零点为（）A(2，0)B2C(2，0)，(2，0)D2，2注意：函数的零点是实数，而不是注意：函数的零点是实数，而不是点点 ！小结：小结：（1 1）求函数的零点可以转化成）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；求对应方程的根；（2 2）零点对于函数而言，根对）零点对于函数而言，根对于方程而言于方程而言.1、函数f(x)=x(x2-16)的零点为A.（0,0），（4,0）B.0,4C.（4,0），（0,0
7、），（-4,0）D.-4,0,42 2、求下列函数的零点、求下列函数的零点（1 1）f(x)=-xf(x)=-x2 2+3x+4+3x+4（2 2）f(x)=lg(xf(x)=lg(x2 2+4x-4)+4x-4)探究探究3 3：零点存在性定理：零点存在性定理结合图像填空：在区间(a，b)上_(有/无)零点；f(a)f(b)_ 0（“”或“”）在区间(b，c)上_(有/无)零点；f(b)f(c)_ 0（“”或“”）在区间(c，d)上_(有/无)零点；f(c)f(d)_ 0（“”或“”）看图填空看图填空axyb在区间(a，b)上_(有/无)零点；f(a)f(b)_ 0（“”或“”）函数零点存在性
8、定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表的对应值表3-13-1和和图象图象3.1-33.1-3例例1 1：求函数：求函数f(x)=ln)=lnx+2+2x-6 6的零点个数的零点个数.4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972123456789xf（x）表表3-13-1yx0 02 24
9、410105 52 24 410108 86 6121214148 87 76 64 43 32 21 19 9图图3.1-33.1-3f(2)0f(2)0即即f(2)(2)f(3)0(3)0函数在区间函数在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。想一想能否有其它方法也可得到本题结论？解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x x1 12 23 34 4f f(x x)将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数g(x)=lnx与h
10、(x)=-2x+6的图象交点的个数。g(x)=lnxh(x)=-2x+6yx012136解法3（函数交点法）练一练：练一练：（1 1）已知函数）已知函数f f(x x)的图象是连续的图象是连续不断的，有如下的不断的，有如下的x x，f f(x x)对应值表：对应值表：x x1 12 23 34 45 56 67 7f f(x x)23239 97 7 1111 5 512122626那么函数在区间那么函数在区间11，66上的零点至少上的零点至少有有（）A A5 5个个 B B4 4个个 C C3 3个个 D D2 2个个课堂小结课堂小结（2）函数零点的概念；（3）函数零点的存在性定理；（1）方程的根与函数的零点；作业布置：完成学案-课后作业
