1、第 1 页 共 8 页丰台区 2022202320222023 学年度第一学期期末练习高二数学参考答案2023.01一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分题号12345678910答案ABADCADDCB二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11yx 120.75132x 或4310 xy（写出任意一条即可）14515（全选对给 5 分，有错选给 0 分，其他情况给 3 分）三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证
2、明过程16（本小题共 13 分）解：（）设圆C的方程为22220(40)xyDxEyFDEF因为点(0,0)O，(2,0)A，(4,2)B在圆C上，所以0,420,20420.FDFDEF.3 分解得2,6,0.DEF .3 分所以圆C的方程为22260 xyxy.7 分（）因为圆C的圆心(1,3)C，半径10r.10 分设圆心C到直线l的距离为d，则224 1 3 3 8143d .11 分记直线l与圆C的两个交点分别为,M N，则有222()92MNrd，.12 分所以6MN.13 分17（本小题共 14 分）解：（）证明：在正四棱柱1111ABCDABC D中，AB，AD，1AA两两互相
3、垂直，以 A 为原点，AB，AD，1AA所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系第 2 页 共 8 页设(02)CMmm，则(0,0,0),(1,1,),(1,0,0),(0,1,0)AMm BD.所以(1,1,),(1,1,0)AMm BD ，所以0AM BD ，所以AMBD ，所以AMBD.7 分（）因为(1,0,0),(1,1,0)BC,M是1CC的中点，所以(0,1,0)BC ，所以(1,1,1)M，所以(1,1,1)AM.设异面直线AM与BC所成角为，所以cos,|3cos3AM BCAM BCAMBC .所以异面AM与BC所成角的余弦值为33.14 分18（
4、本小题共 14 分）解：（）设从A地区抽取的用户中抽取的 10 名参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于 60 分的用户有m名，则24010400m，所以6m.4 分（）将从（）中参加座谈的且评分不低于 60 分的 6 名用户中，评分为60,80)的 4 名用户编号为 1，2，3，4，评分为80,100的 2 名用户编号为a，b，从 6 人中随机选取 2 名用户的样本空间(1,2),(1,3),(1,4),(1,),(1,),(2,3),(2,4),(2,),(2,),(3,4),(3,),(3,),(4,),(4,),(,)ababababa b.设事件M“这两名用户的评分恰有一名低于 8
5、0 分”，则(1,),(1,),(2,),(2,),(3,),(3,),(4,),(4,).Mabababab则()8()()15n MP Mn，所以这两名用户的评分恰有一名低于 80 分的概率为815.11 分第 3 页 共 8 页（）结论 1：1202，用样本估计总体方法一：计算11342305070906410101010，23241305070905610101010，计算07142093050709062.450505050所以1202方法二：依据A B,两个地区调查后各组数据的频率对比，易知12，因为A B,两个地区抽取的样本容量不同():()4:1n An B，所以1201241
6、552.14 分结论 2：无法判断0与122的大小关系.理由一：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较.14 分理由二：因为抽取样本时在两个地区中的抽样的权重不知道，所以无法确定0的值，所以无法比较.14 分注意：只判断大小，不说明理由不给分。19（本小题共 14 分）解：（）因为抛物线2:2C ypx经过点1,2A，所以24p，即2p.故抛物线C的方程为24yx，焦点坐标为1,0.5 分（）解法 1：因为22125OA，2OABS，所以点B到直线OA的距离244 555OABSdOA.因为直线OA的方程为20 xy，设点B坐标为2,4tBt，所以点B到直线OA的距离
7、又可以表示为22222224252 521ttttttd，所以242tt，解得2t 或4t.所以点B的坐标为1,2或4,4.14 分第 4 页 共 8 页解法 2：因为22125OA，2OABS，所以点B到直线OA的距离244 555OABSdOA.设经过点B平行于直线OA的直线l的方程为2yxm，所以点O到直线l的距离224 5521md ，解得4m .当4m 时，由24,24yxyx得2280yy无解；当4m 时，由24,24yxyx得2280yy，解得2y 或4y.所以点B的坐标为1,2或4,4.14 分解法 3：当直线AB的斜率不存在时，点B的坐标为1,2，此时2OABS，符合题意.当
8、直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，显然有0k，方程记为20kxyk.由24,20yxkxyk，得222222220k xkkxk.显然22222422421610kkkkk.设1122,A x yB xy，有221212222222,kkkxxx xkk，所以2221222 111kkABkxxk.记点O到直线AB的距离221kdk，所以2224 112112221OABkkkSAB dkk，即2232kkk，所以，23k.由24,2340yxxy可得2y（舍）或4y.所以点B的坐标为1,2或4,4.14 分第 5 页 共 8 页解法 4：当直线AB的斜率不存在时，点B的坐标为1,2
9、，此时2OABS，符合题意.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，显然有0k，方程记为20kxyk.由24,20yxkxyk，得222222220k xkkxk.显然22222422421610kkkkk.设1122,A x yB xy，有221212222222,kkkxxx xkk，因为11x，所以2222kxk.所以222224222kkkykxkkkk，所以点B的坐标为22242,kkkk.因为22125OA，2OABS，所以点B到直线OA的距离244 555OABSdOA.因为直线OA的方程为20 xy，所以点B到直线OA的距离又可以表示为2222222424(32)2455
10、21kkkkkkkd，所以2232kkk，解得23k.所以点B的坐标为1,2或4,4.14 分20（本小题共 15 分）解：（）因为PD 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PDAB.因为90ADC，所以ADCD，因为ABCD，所以ADAB.因为PDADD，PD 平面PAD，AD 平面PAD，所以AB平面PAD.4 分第 6 页 共 8 页（）因为PD平面ABCD，90ADC，所以 DA，DC，DP 两两互相垂直.以 D 为原点，DA，DC，DP 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设2PD，则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)
11、DABCP，所以(2,1,2),(2,1,0)PBBC .设平面PBC的一个法向量为(,)x y zn，因为00PBBC，nn即22020.xyzxy，所以22.zxyx，令=1 x，于是(1,2,2)n.因为平面PAD的一个法向量为(0,1,0)m，所以2cos,|3n mn mnm.所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为23.10分（）棱PB上存在点G，使得 DG平面PBC所成角的正弦值为23.设PGPB，其中(0,1)，所以(2,22)DPDPDGPGPB .又因为平面PBC的法向量为(1,2,2)n，DG平面PBC所成角的正弦值为23，所以222|,|42|cos|33(2)(22)
12、DGDGDG nnn整理得2980，解得89，或0（舍），故89PGPB.所以存在点G，当89PGPB时，DG与平面PBC所成角的正弦值为23.15 分第 7 页 共 8 页21（本小题共 15 分）解：（）由题意得2,1ab，所以椭圆E的方程为2214xy.4 分（）（）设过点2,1P的直线l的方程为12yk x，设1122,C x yD xy，不妨令1222xx，由2212,440yk xxy 整理得22221481616160kxkkxkk，所以22228164 1416160kkkkk，解得0k，所以221212221681616,1414kkkkxxx xkk当120 x x 时，直
13、线BC的方程为1111yyxx，令0y，解得111Mxxy直线BD的方程为2211yyxx，令0y，解得221Nxxy，所以NMxx212111xxyy2121121121xxk xk x212122xxk xk x121212122224x xxxk x xxx 2222222216161682214141616168241414kkkkkkkkkkkkk 4.所以AMAN.11 分当120 x x 时，得0,1C，8 3,5 5D，此时直线BC的方程为0 x，直线BD的方程为14xy ，所以0,0,4,0MN，符合题意.13 分第 8 页 共 8 页综上，AMAN（）31,2Q.15 分（若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）
