1、2.3.1 幂函数幂函数普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修1学习目标学习目标:1.能说出幂函数的概念并会判断一个函数是否是幂函数;2.能画出常见幂函数的图像并能根据图像说出它们性质;3.会判断幂函数的单调性。(1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P=_w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S=_(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V=_(5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度
2、速度v=_是是_的函数的函数a a V是是a的函数的函数t km/s v是是t 的函数的函数(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边那么正方形的边长长_12Sa是是S的函数的函数以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?Pwa y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1ayx_是是_的函数的函数Sa探究一探究一:式子式子 名称名称 a x y 指数函数指数函数:y=a x 幂函数幂函数:y=x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数
3、函数切入点看看自变量看看自变量x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数试一试：判断下列函数中，哪些是幂函数？试一试：判断下列函数中，哪些是幂函数？xy2.0)1(51)2(xy 3)3(xy2(4)yx解：解：(2),（3）和（）和（4）是幂函数）是幂函数解析答案探究二探究二 幂函数幂函数 的图象和性质的图象和性质yx结合图象，研究性质：结合图象，研究性质：定义域、值域、单调定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。性、奇偶性、过定点的情况等。x-3-2-10123-3-2-101239410149-27-8-10182701-1/3-1/2-111/21/32yx3yx12yx
4、1yxy=xy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1)x-3-2-1 0 1 2 3y=x29 410 1 4 94321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1 0 1 2 3y=x3-27-8-1 0 1 8 274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y
5、=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x 0 1 2 4 0 1 212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-11 23-1/3-1/2-11 1/21/31y x4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1
6、)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当a0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时，图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时时,图象还都过点图象还都
7、过点(0,0)点点 定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性公共点公共点12yx1yx3yx2yxyx观察图象，将你发现的结论填入下表观察图象，将你发现的结论填入下表RRRRR奇奇奇奇奇奇偶偶非奇非偶非奇非偶增增增增增增0,+)增增(-,0减减0,+)0,+)0,+)x|x0y|y0(0,+)减减(-,0)减减(1,1)探究三探究三 根据上表的内容并结合图像，试总结函数），），（的图像都过点）函数（001,1,12132xyxyxyxy递增上单调在）函数（),0,22132xyxyxyxy2.在 上单调递减1yx(0,)12321.,yx yx yx yx共同性质a10 0a a1 1ay
8、x思考：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数在第一象限的图象特征吗？xyo.110例例2如果函数如果函数 是幂函是幂函数，且在区间（数，且在区间（0，+）内是减函数，求满足条）内是减函数，求满足条件的实数件的实数m的集合。的集合。32221mmxmmxf)()(解解:依题意依题意,得得112mm解方程解方程,得得 m=2或或m=-1检验检验:当当 m=2时时,函数为函数为3)(xxf符合题意符合题意.当当m=-1时时,函数为函数为1)(0 xxf不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=2则x且xxx,),0,2121例例3证明证明:任取任取证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是
9、增函数.xxf)(2121212121)()()(xxxxxxxxxfxf,2121xxxx).()(,0,0212121xfxfxxxx所以幂函数所以幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.xxf)(证法二证法二:任取任取x1,x2 0，+）,且且x1 x2；证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)(1)作差法作差法:若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法:证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分
10、子和分母均为正数,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)(x(x2 2)。()f xx即即所以所以试一试：利用单调性判断下列各值的大小。试一试：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)与与解解:(1)y=x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数,5.25.3 5.20.8 5.30.8(2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5252.5252.7当堂检测当堂检测CAD12yx（五）自主小结：自主小结：以“我是幂函数”为题，结合本学案进行小结。如我是指数函数，我的形式是 ，x是我的自变量，他可以取任何实数。Y是我的值，他永远在x轴的上方(0,1)xyaaa12312(,.)yx yxyxyxyx 同学们好！我是幂函数 ，欢迎同学们来到我的家族。为了你们轻松愉快的学习，家族仅配几个重要代表 和你们交流。会画我们正确的草图是帮助你们了解我的性质的重要方法。()yx（六）拓展延伸（六）拓展延伸归纳：画幂函数简图的步骤：(1)根据幂函数的性质，先画出幂函数在第_象限的图象。(2)根据幂函数的 定义域 和_，再画出完整图象。课本课本P79 1;P82 10.
