1、 专题专题 0101 数与式问题数与式问题 【考点【考点 1】实数与数轴问题实数与数轴问题 【例【例 1 1】（2019 年大庆）实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n| 【分析】从数轴上可以看出 m、n 都是负数，且 mn，由此逐项分析得出结论即可 【解析】因为 m、n 都是负数，且 mn，|m|n|， A、mn 是错误的； B、n|m|是错误的； C、m|n|是正确的； D、|m|n|是错误的 故选：C 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019 年徐州）如图，数轴上有 O、A、B 三点，O 为原点，OA、OB 分别
2、表示仙女座星系、 M87 黑洞与地球的距离（单位：光年） 下列选项中，与点 B 表示的数最为接近的是（ ） A5106 B107 C5107 D108 【分析】先化简 2.51060.25107，再从选项中分析即可； 【解析】2.51060.25107， （5107）（0.25107）20， 从数轴看比较接近； 故选：C 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019 年枣庄）点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC1，OAOB若 点 C 所表示的数为 a，则点 B 所表示的数为（ ） A（a+1） B（a1） Ca+1 Da1 【分析】根据题意和数轴可以用含 a 的式子表示
3、出点 B 表示的数，本题得以解决 【解析】O 为原点，AC1，OAOB，点 C 所表示的数为 a， 点 A 表示的数为 a1， 点 B 表示的数为：（a1） ， 故选：B 【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 【考点【考点 2】整式的求值问题整式的求值问题 【例【例 2 2】（2019 年泰州）若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】将代数式 4a26ab+3b 变形后，整体代入可得结论 【解析】4a26ab+3b， 2a（2a3b）+3b， 2a+3b， （2a3b） ， 1， 故选：B 【点拨】本题考查代
4、数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019 年常州）如果 ab20，那么代数式 1+2a2b 的值是 5 【分析】将所求式子化简后再将已知条件中 ab2 整体代入即可求值； 【解析】ab20， ab2， 1+2a2b1+2（ab）1+45； 故答案为 5 【变式【变式 2 2- -2 2】（2019济宁）已知 x2y3，那么代数式 32x+4y 的值是（ ） A3 B0 C6 D9 【分析】将 32x+4y 变形为 32（x2y） ，然后代入数值进行计算即可 【解析】x2y3， 32x+4y32（x2y）3233； 故选：A 【考点【考点
5、 3】分式的求值问题分式的求值问题 【例【例 3 3】（2019 年内江）若2，则分式的值为 4 【分析】由2，可得 m+n2mn；化简，即可求解； 【解析】2，可得 m+n2mn， 4； 故答案为4； 【点拨】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到 m+n2mn，整体代入的思想是解题的关键； 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019 年绥化）当 a2018 时，代数式（）的值是 2019 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解析】 （） a+1， 当 a2018 时，原式2018+12019， 故答案为：2019 【变式【变式
6、 3 3- -2 2】（2019 年北京）如果 m+n1，那么代数式（） （m2n2）的值为（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值 【解析】原式 （m+n） （mn） （m+n） （mn）3（m+n） ， 当 m+n1 时，原式3 故选：D 【考点【考点 4】二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简 【例【例 4 4】（2019 年绵阳）已知 x 是整数，当|x|取最小值时，x 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据绝对值的意义，由与最接近的整数是 5，可得结论 【解析】， 5， 且与最接近的整数是 5， 当|x|取最小值
7、时，x 的值是 5， 故选：A 【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键 【变式【变式 4 4- -1 1】（2019 年菏泽）已知 x，那么 x22x 的值是 4 【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案 【解析】x， x22x+26， x22x4， 故答案为：4 【变式【变式 4 4- -2 2】（2019 年内江）若|1001a|a，则 a10012 1002 【分析】由二次根式有意义的条件得到 a1002，据此去绝对值并求得 a 的值，代入求值即可 【解析】a10020， a1002 由|1001a|a，得1001+aa， 1001， a10
8、0210012 a100121002 故答案是：1002 【考点【考点 5】数字的变化规律数字的变化规律 【例【例 5 5】（2019 年河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，是一列数，已知第 1 个数 a14，第 5 个数 a55， 且任意三个相邻的数之和为 15，则第 2019 个数 a2019的值是 6 【分析】由任意三个相邻数之和都是 15，可知 a1、a4、a7、a3n+1相等，a2、a5、a8、a3n+2相等，a3、 a6、a9、a3n相等，可以得出 a5a25，根据 a1+a2+a315 得 4+5+a315，求得 a3，进而按循环规律 求得结果 【解析】由任意三个相邻数之和
9、都是 15 可知： a1+a2+a315， a2+a3+a415， a3+a4+a515， an+an+1+an+215， 可以推出：a1a4a7a3n+1， a2a5a8a3n+2， a3a6a9a3n， 所以 a5a25， 则 4+5+a315， 解得 a36， 20193673， 因此 a2019a36 故答案为：6 【变式【变式 5 5- -1 1】（2019 年益阳）观察下列等式： 32（1）2， 52（）2， 72（）2， 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 _ 【分析】第 n 个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为 n（n+1） ，利用完全平方公式得到第 n 个等
10、式右边的式子为（）2（n1 的整数） 【解析】写出第 6 个等式为 132（）2 故答案为 132（）2 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除 运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰 当的解题途径，往往能事半功倍 【变式【变式 5 5- -2 2】（2019 年铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，（a0） ，按 此规律排列下去，这列数中的第 n 个数是 _ （n 为正整数） 【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定 a 的指数与序号数的关 系 【解析】第 1
11、 个数为（1）1， 第 2 个数为（1）2， 第 3 个数为（1）3， 第 4 个数为（1）4， ， 所以这列数中的第 n 个数是（1）n 故答案为（1）n 【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类 问题的方法 【考点【考点 6】图形的变化规律】图形的变化规律 【例【例 6 6】（2019 年大庆）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图，图，图的规 律摆下去，摆成第 n 个“T”字形需要的棋子个数为 【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第 n 个“T”字形需要的棋子 个数 【解析】由图可得， 图中棋
12、子的个数为：3+25， 图中棋子的个数为：5+38， 图中棋子的个数为：7+411， 则第 n 个“T”字形需要的棋子个数为： （2n+1）+（n+1）3n+2， 故答案为：3n+2 【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形 结合的思想解答 【变式【变式 6 6- -1 1】（2019 年天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律， 第 2019 个图形中共有 6058 个 【分析】根据题目中的图形，可以发现的变化规律，从而可以得到第 2019 个图形中的个数 【解析】由图可得， 第 1 个图象中的个数为：1+314
13、， 第 2 个图象中的个数为：1+327， 第 3 个图象中的个数为：1+3310， 第 4 个图象中的个数为：1+3413， 第 2019 个图形中共有：1+320191+60576058 个， 故答案为：6058 【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中的变化规律，利用数形结 合的思想解答 【变式【变式 6 6- -2 2】（2019 年甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅 图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第 n 幅图中有 2019 个菱形，则 n 1010 【分析】根据题意分析可得：第 1 幅
14、图中有 1 个，第 2 幅图中有 2213 个，第 3 幅图中有 231 5 个，可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个，继而即可得出答案 【解析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个 第 2 幅图中有 2213 个 第 3 幅图中有 2315 个 第 4 幅图中有 2417 个 可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个 故第 n 幅图中共有（2n1）个 当图中有 2019 个菱形时， 2n12019， n1010， 故答案为：1010 【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的 规律 1 （2019 年北京）在数轴上，点 A，B 在
15、原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度， 得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（ ） A3 B2 C1 D1 【分析】根据 COBO 可得点 C 表示的数为2，据此可得 a213 【解析】点 C 在原点的左侧，且 COBO， 点 C 表示的数为2， a213 故选：A 2.（2019 年黄石）下列四个数：3，0.5， ，中，绝对值最大的数是（ ） A3 B0.5 C D 【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数 绝对值大的反而小判断即可 【解析】|3|3，|0.5|0.5，| |，|且 0.53， 所
16、给的几个数中，绝对值最大的数是3 故选：A 3 （2019 年云南）按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式是（ ） A （1）n 1x2n1 B （1）nx2n 1 C （1）n 1x2n+1 D （1）nx2n+1 【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可 【解析】x3（1）1 1x21+1， x5（1）2 1x22+1， x7（1）3 1x23+1， x9（1）4 1x24+1， x11（1）5 1x25+1， 由上可知，第 n 个单项式是： （1）n 1x2n+1， 故选：C 4 （2019 年黔东南州）如果 3ab2m 1 与 9abm+1是同类项
17、，那么 m 等于（ ） A2 B1 C1 D0 【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可 【解析】根据题意，得：2m1m+1， 解得：m2 故选：A 5 （2019 年常德）观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，根据其中 的规律可得 70+71+72+72019的结果的个位数字是（ ） A0 B1 C7 D8 【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出 70+71+72+72019的结果的个位数字 【解析】701，717，7249，73343，742401，7516807， 个位数 4 个数一循环， （2
18、019+1）4505， 1+7+9+320， 70+71+72+72019的结果的个位数字是：0 故选：A 6 （2019 年深圳）定义一种新运算nxn 1dxanbn，例如 2xdxk2n2，若x 2dx2，则 m （ ） A2 B C2 D 【分析】根据新运算列等式为 m 1（5m）12，解出即可 【解析】由题意得：m 1（5m）12， 2， 5110m， m， 故选：B 7 （2019 年攀枝花）一辆货车送货上山，并按原路下山上山速度为 a 千米/时，下山速度为 b 千米/时则 货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时 A （a+b） B C D 【分析】平均速度总路程总时间，设单程的路程
19、为 x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入 化简即可 【解答】设上山的路程为 x 千米， 则上山的时间 小时，下山的时间为 小时， 则上、下山的平均速度千米/时 故选：D 8 （2019 年临沂）计算a1 的正确结果是（ ） A B C D 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了 【解析】原式， ， 9 （2019 年舟山）数轴上有两个实数 a，b，且 a0，b0，a+b0，则四个数 a，b，a，b 的大小关 系为 baab （用“”号连接） 【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于 0，即可得出答案 【解析】a0，b0，
20、a+b0， |b|a， ba，ba， 四个数 a，b，a，b 的大小关系为 baab 故答案为：baab 10 （2019 年咸宁）有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三个相邻数的 积是 412，则这三个数的和是 384 【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 412，可以求得 这三个数，从而可以求得这三个数的和 【解析】一列数为 1，2，4，8，16，32， 这列数的第 n 个数可以表示为（2）n 1， 其中某三个相邻数的积是 412， 设这三个相邻的数为（2）n 1、 （2）n、 （2）n+1， 则（2）n 1 （2）n （
21、2）n+1412， 即（2）3n（22）12， （2）3n224， 3n24， 解得，n8， 这三个数的和是： （2）7+（2）8+（2）9（2）7（12+4）（128）3384， 故答案为：384 11 （2019 年湘潭）若 a+b5，ab3，则 a2b2 15 【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可 【解析】a+b5，ab3， a2b2 （a+b） （ab） 53 15， 故答案为：15 12 （2019 年徐州）若 ab+2，则代数式 a22ab+b2的值为 4 【分析】由 ab+2，可得 ab2，代入所求代数式即可 【解析】ab+2， ab2， a22ab+b2（ab）22
22、24 故答案为：4 13 （2019 年桂林）若 x2+ax+4（x2）2，则 a 4 【分析】直接利用完全平方公式得出 a 的值 【解析】x2+ax+4（x2）2， a4 故答案为：4 【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 14 （2019 年咸宁） 若整式 x2+my2（m 为常数， 且 m0）能在有理数范围内分解因式， 则 m 的值可以是 1 （写一个即可） 【分析】令 m1，使其能利用平方差公式分解即可 【解析】令 m1，整式为 x2y2（x+y） （xy） 故答案为：1（答案不唯一） 15 （2019 年广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 x8 【分析】
23、直接利用分式、二次根式的定义求出 x 的取值范围 【解析】代数式有意义时， x80， 解得：x8 故答案为：x8 16 （2019 年枣庄）观察下列各式： 11+（1） ， 11+（） ， 11+（） ， 请利用你发现的规律，计算： ， 其结果为 2018 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可 【解析】 1+（1）+1+（）+1+（） 2018+1 2018， 故答案为：2018 17.（2019 年西藏）观察下列式子 第 1 个式子：24+1932 第 2 个式子：68+14972 第 3 个式子：1416+1225152 请写出第 n 个式子： （2n+12）2n+1+1（
24、2n+11）2 【分析】由题意可知：等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大 2）与 1 的和； 右边是比左边第一个因数大 1 的数的平方；第 1 个式子的第一个因数是 222，第 2 个式子的第一个 因数是 232，第 3 个式子的第一个因数是 242，以此类推，得出第 n 个式子的第一个因数是 2n+12， 从而能写出第 n 个式子 【解析】第 1 个式子：24+1932，即（222）22+1（221）2， 第 2 个式子：68+14972，即（232）23+1（231）2， 第 3 个式子：1416+1225152，即（242）24+1（241）2， 第 n 个等式为：
25、（2n+12）2n+1+1（2n+11）2 故答案为： （2n+12）2n+1+1（2n+11）2 18 （2019 年海南）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 0 ，这 2019 个数的和是 2 【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 【解析】由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，1，1，0，1，1， 前 6 个数的和是：0+1+1+0+（1）+（1）0， 201963363， 这 2019 个数的和是：0336+（0+1+1）2， 故答案为：0，2 19.（2019 年安顺）如图，将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位 于第 45 行、第 7 列的数是 2019 【分析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 2025，推出第 45 行、第 7 列的 数是 202562019 【解析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2， 第 45 行第一个数是 2025， 第 45 行、第 7 列的数是 202562019， 故答案为 2019
