1、 专题专题 1515 动点综合动点综合问题问题 【典例分析】 【考点【考点 1】动点之全等三角形问题动点之全等三角形问题 【例【例 1 1】如图，直线如图，直线 4 4 3 yx 与与x轴和轴和y轴分别交于轴分别交于,A B两点，另一条直线过点两点，另一条直线过点A和点和点(7,3)C . (1)求直线求直线AC的函数表达式的函数表达式; (2)求证求证: ABAC ; (3)若点若点P是直线是直线AC上的一个动点， 点上的一个动点， 点Q是是x轴上的一个动点， 且以轴上的一个动点， 且以 ,P Q A为顶点的三角形与 为顶点的三角形与AOB全全 等，求点等，求点Q的坐标的坐标. 【答案】【答
2、案】(1) 39 44 yx;(2) 222 ABADBD ; (3) 点Q的坐标为(7,0)或(8,0)或( 1,0) 或( 2,0) 【解析【解析】（1）在 y=- 4 3 x+4 中，令 y=0，则 0=- 4 3 x+4，求得 A（3，0） ，设直线 AC 对应的函数 关系式为 y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2） 在直线 ABy=- 4 3 x+4 中， 得到 k1=- 4 3 ， 在直线 ACy 3 4 x 9 4 中， 得到 k2= 3 4 ， 由于 k1k2=-1， 即可得到结论； （3）根据勾股定理得到 AB=5，当AQP=90 时，如图 1，由全等三角形的性质得到
3、AQ=OB=4，于是得到 Q1（7，0） ，Q2（-1，0） ，当APQ=90 时，如图 2，根据全等三角形 的性质得到 AQ=AB=5，于是得到 Q3（8，0） ，Q4（-2，0） ，当PAQ=90 时，这种情况不存 在 【详解】（1）在 y=- 4 3 x+4 中， 令 y=0，则 0=- 4 3 x+4， x=3， A（3，0） ， 设直线 AC 对应的函数关系式为 y=kx+b， 则： 0 3 3 7 kb kb ，解得： 3 4 9 4 k b ， 直线 AC 对应的函数关系式为y 3 4 x- 9 4 . (2) 在直线 ABy=- 4 3 x+4 中， k1=- 4 3 ， 在直
4、线 ACy 3 4 x 9 4 中，k2= 3 4 ， k1k2=-1， ABAC； （3）在 y=- 4 3 x+4 中， 令 x=0，则 y=4， OA=3，OB=4，由勾股定理得 AB=5， 当AQP=90 时，如图 1，AOBAQP， AQ=OB=4， Q1（7，0） ，Q2（-1，0） ， 当APQ=90 时，如图 2，AOBAQP， AQ=AB=5， Q3（8，0） ，Q4（-2，0） 当PAQ=90 时，这种情况不存在， 综上所述：点 Q 的坐标为： （7，0） （8，0） （-1，0） （-2，0） 【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三
5、角形的性质等知 识，分类讨论是解题关键，以防遗漏 【变式【变式 1 1- -1 1】）如图）如图,CABC,垂足为垂足为 C,AC=2Cm,BC=6cm,射线射线 BMBQ,垂足为垂足为 B,动点动点 P 从从 C 点出发以点出发以 1cm/s 的速的速度沿射线度沿射线 CQ 运动运动,点点 N 为射线为射线 BM 上一动点上一动点,满足满足 PN=AB,随着随着 P 点运动而运动点运动而运动,当当点点 P 运动运动 _秒时，秒时， BCA 与点与点 P、N、B 为顶点的三角形全等为顶点的三角形全等.(2 个全等三角形不重合个全等三角形不重合) 【答案】【答案】0；4；8；12 【解析】【解析
6、】此题要分两种情况：当 P 在线段 BC 上时，当 P 在 BQ 上，再分别分两种情况 ACBP 或 AC BN 进行计算即可 【详解】解：当 P 在线段 BC 上，ACBP 时， ACBPBN， AC2， BP2， CP624， 点 P 的运动时间为 4 14（秒） ； 当 P 在线段 BC 上，ACBN 时， ACBNBP， 这时 BCPN6，CP0，因此时间为 0 秒； 当 P 在 BQ 上，ACBP 时， ACBPBN， AC2， BP2， CP268， 点 P 的运动时间为 8 18（秒） ； 当 P 在 BQ 上，ACNB 时， ACBNBP， BC6， BP6， CP6612，
7、点 P 的运动时间为 12 112（秒） ， 故答案为：0 或 4 或 8 或 12 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相 等时，角必须是两边的夹角 【考点考点 2】动点之直角三角形问题动点之直角三角形问题 【例【例 2 2】（模模型建立）型建立） （1）如图）如图 1，等腰直角三角形，等腰直角三角形ABC中，中，90ACB，CBCA，直线，直线ED经过点经过点C，过，过A作作ADED 于点于点D，过，过B作作BEED于点于点E.求证：求证：BECCDA； （模型应用）（模型应用） （2）已知直线）已知直线 1 l： 4 4 3 yx与坐
8、标轴交于点与坐标轴交于点A、B，将直线，将直线 1 l绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转45至直线至直线 2 l，如图，如图 2， 求直线求直线 2 l的函数表达式；的函数表达式； （3）如图）如图 3，长方形，长方形ABCO，O为坐标原点，点为坐标原点，点B的坐标为的坐标为8, 6，点，点A、C分别在坐标轴上，点分别在坐标轴上，点P是是 线段线段BC上的动点，点上的动点，点D是直线是直线26yx 上的动点且在第四象限上的动点且在第四象限.若若APD是以点是以点D为直角顶点的等为直角顶点的等腰腰 直角三角形，直角三角形，请请直接直接 写出点写出点D的坐标的坐标. 【答案】【答案】 （1）见解析；
9、（2）y7x21； （3）D（4，2）或（ 20 3 ， 22 3 ）. 【解析】【解析】 （1）根据 ABC 为等腰直角三角形，ADED，BEED，可判定BECCDA； （2）过点 B 作 BCAB，交 l2于 C，过 C 作 CDy 轴于 D，根据 CBDBAO，得出 BDAO3， CDOB4，求得 C（4，7） ，最后运用待定系数法求直线 l2的函数表达式； （3）根据 APD 是以点 D 为直角顶点的等腰直角三角形，当点 D 是直线 y2x6 上的动点且在第四象 限时，分两种情况：当点 D 在矩形 AOCB 的内部时，当点 D 在矩形 AOCB 的外部时，设 D（x，2x6） ， 分别
10、根据 ADEDPF，得出 AEDF，据此列出方程进行求解即可 【详解】解： （1）证明：ABC 为等腰直角三角形， CBCA，ACDBCE90 ， 又ADED，BEED， DE90 ，EBCBCE90 ， ACDEBC， 在 ACD 与 CBE 中， DE ACDEBC CACB ， BECCDA（AAS） ； （2）如图 2，过点 B 作 BCAB，交 l2于 C，过 C 作 CDy 轴于 D， BAC45 ， ABC 为等腰直角三角形， 由（1）可知： CBDBAO， BDAO，CDOB， 直线 l1：y 4 3 x4 中，若 y0，则 x3；若 x0，则 y4， A（3，0） ，B（0，
11、4） ， BDAO3，CDOB4， OD437， C（4，7） ， 设 l2的解析式为 ykxb，则 74 03 kb kb ， 解得： 7 21 k b ， l2的解析式为：y7x21； （3）D（4，2）或（ 20 3 ， 22 3 ） 理由：当点 D 是直线 y2x6 上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点 D 在矩形 AOCB 的内部时，如图，过 D 作 x 轴的平行线 EF，交直线 OA 于 E，交 BC 于 F， 设 D（x，2x6） ，则 OE2x6，AE6（2x6）122x，DFEFDE8x， 由（1）可得， ADEDPF，则 DFAE，即：122x8x， 解得 x4， 2
12、x62， D（4，2） ， 此时，PFED4，CP6CB，符合题意； 当点 D 在矩形 AOCB 的外部时，如图，过 D 作 x 轴的平行线 EF，交直线 OA 于 E，交直线 BC 于 F， 设 D（x，2x6） ，则 OE2x6，AEOEOA2x662x12，DFEFDE8x， 同理可得： ADEDPF，则 AEDF，即：2x128x， 解得 x 20 3 ， 2x6 22 3 ， D（ 20 3 ， 22 3 ） ， 此时，EDPF 20 3 ，AEBF 4 3 ，BPPFBF 16 3 6，符合题意， 综上所述，D 点坐标为： （4，2）或（ 20 3 ， 22 3 ） 【点睛】本题属
13、于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的 性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角 形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019 辽宁中辽宁中考模拟）如图，已知考模拟）如图，已知二次函数二次函数 yax2+bx+4 的图象与的图象与 x 轴交于点轴交于点 A(4，0)和点和点 D(1，0)，与，与 y 轴交于点轴交于点 C，过点，过点 C 作作 BC 平行于平行于 x 轴交抛物线于点 轴交抛物线于点 B，连接，连接 AC (1)求这个二次函数的表达式；求这个二次
14、函数的表达式； (2)点点 M 从点从点 O 出发以每秒出发以每秒 2 个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点 A 运动；点 运动；点 N 从点从点 B 同时出发，以每秒同时出发，以每秒 1 个单位长度个单位长度 的速度向点的速度向点 C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点 N 作作 NQ 垂直于垂直于 BC 交交 AC 于点于点 Q，连结，连结 MQ. 求求 AQM 的面积的面积 S 与运动时间与运动时间 t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当 t 为何值时，为何
15、值时，S 有最大有最大 值，并求出值，并求出 S 的最大值的最大值； 是否存在点是否存在点 M，使得，使得 AQM 为直角三角形？若存在，求出点为直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由 【答案】【答案】(1)yx2+3x+4；(2)S=-t2+t+2；0t2；t 1 2 时，S最大值 9 4 ；存在，点 M 的坐标分别为(1， 0)和(2，0) 【解析】【解析】(1)由待定系数法将 AD 两点代入即可求解 (2)分别用 t 表示出 AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有 t 的二次函数关系式，由二次函数的最大值 可得答案； 分类讨论直角三角形的直
16、角顶点，然后解出 t，求得 M 坐标 【详解】(1)二次函数的图象经过 A(4，0)和点 D(1，0)， 16440 40 ab ab ， 解得 1 3 a b ， 所以，二次函数的解析式为 yx2+3x+4 (2)延长 NQ 交 x 轴于点 P， BC 平行于 x 轴，C(0，4) B(3，4)，NPOA 根据题意，经过 t 秒时，NBt，OM2t， 则 CN3t，AM42t BCAMAQ45 ， QNCN3t， PQNPNQ4(1t)1+t， S AMQ= 1 2 AM PQ= 1 2 (4-2t)(1+t) t2+t+2 S=-t2+t+2=-(t- 1 2 )2+ 9 4 a10，且
17、0t2，S 有最大值 当 t 1 2 时，S最大值 9 4 存在点 M，使得 AQM 为直角三角形 设经过 t 秒时，NBt，OM2t， 则 CN3t，AM42t， BCAMAQ45 若AQM90 ， 则 PQ 是等腰 Rt MQA 底边 MA 上的高 PQ 是底边 MA 的中线， PQAP 1 2 MA， 1+t 1 2 (42t)， 解得，t 1 2 ， M 的坐标为(1，0) 若QMA90 ，此时 QM 与 QP 重合 QMQPMA， 1+t42t， t1， 点 M 的坐标为(2，0) 所以，使得 AQM 为直角三角形的点 M 的坐标分别为(1，0)和(2，0) 【点睛】此题考查了待定系
18、数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段 的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数 【变式【变式 2 2- -2 2】如图，四边形如图，四边形 ABCD 是正方形，以是正方形，以 DC 为边向外作等边为边向外作等边 DCE，连接，连接 AE 交交 BD 于点于点 F，交，交 CD 于点于点 G，点，点 P 是线段是线段 AE 上一动点，连接上一动点，连接 DP、 、BP （1）求）求AFB 的度数；的度数； （2）在点）在点 P 从从 A 到到 E 的运动过程中，若的运动过程中，若 DP 平分平分CDE，求证：，求证：AGDPDGBD； （3
19、）已知）已知 AD6，在点，在点 P 从从 A 到到 E 的运动过程中，若的运动过程中，若 DBP 是直角三角形，请求是直角三角形，请求 DP 的长的长 【答案】【答案】(1) 60 ；(2)见解析；(3) DP=6 或 DP333 或 DP363 2 时， DBP 是直角三角形 【解析】【解析】 （1）根据正方形的性质、等边三角形的性质解答； （2）连接 AC，证明 DGPAGC，根据相似三角形的对应边的比相等证明； （3）根据正方形的性质、勾股定理分别求出 BD、OD，根据直角三角形的性质求出 DF，分BPD90 、 BDP90 两种情况，根据相似三角形的性质计算 【详解】 （1）四边形
20、ABCD 是正方形， ABDC，ADC90 ， 又DCE 是等边三角形， DEDC，EDC60 ， DADE，ADE150 ， DAE15 ， 又ADB45 ， AFBDAF+ADF15 +45 60 ； （2）连接 AC， CAGCADDAG45 15 30 ， DP 平分CDE， 1 30 2 GDPEDC ， PDGCAG， 又DGPAGC， DGPAGC， DGDP AGAC ，即 AGDPDGAC， ACDB， AGDPDGBD； （3）连接 AC 交 BD 于点 O，则AOF90 ， AD6， 0A 0D3 2 ， 在 Rt AOF 中，OAF30 ， 6,2 6OFAF， FD
21、3 26 ， 由图可知：0 DBP45， 则 DBP 是直角三角形只有BPD90 和BDP90 两种情形： 当BPD90 时， I、若点 P 与点 A 重合，BPD90 ， DPDA6； II、当点 P 在线段 AE 上时，BPD90 ， 连接 OP， 1 3 2 2 OPOABD， OPAOAP30 ， AOP120 ， FOPAOPAOF30 ， DBPOPB15 ， FDP75 ， 又BAFBADDAF75 ， BAFPDF， 又AFBDFP， BAFPDF， DPDF ABAF ，即 3 26 62 6 DP 解得， 3 33DP ； 当BDP90 时，DFPAFB60 ， DPDF
22、tanDFP3(3 26)3 63 2， 综上，DP=6 或 DP3 33 或 DP363 2 时， DBP 是直角三角形 【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性 质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 【考点【考点 3】动点之等腰三角形问题动点之等腰三角形问题 【例【例 3 3】（2019 湖南中考真题）如图一，在射线湖南中考真题）如图一，在射线DE的一侧以的一侧以AD为一条边作矩形为一条边作矩形ABCD， 5 3AD ， 5CD ， 点， 点M是线段是线段AC上一动点 （不与点上一动点 （不与点A重合） ， 连
23、结重合） ， 连结BM， 过点， 过点M作作BM的垂线交射的垂线交射线线DE于点于点N， 连接连接BN （1）求）求CAD的大小；的大小； （2）问题探究：动点）问题探究：动点M在运动的过程中，在运动的过程中， 是否能使是否能使AMN为等腰三角形，如果能，求出线段为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由的长度；如果不能，请说明理由 MBN的大小是否改变？若不改变，请求出的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说明理由的大小；若改变，请说明理由 （3）问题解决：）问题解决： 如图二，当动点如图二，当动点M运动到运动到AC的中点时，的中点时，AM与与BN的交点
24、为的交点为F，MN的中点为的中点为H，求线段，求线段FH的长度的长度 【答案】【答案】（1）30CAD；（2） 能，CM的值为 5 或5 3； 大小不变，30MBN；（3） 5 3 6 FH . 【解析】【解析】 （1）在Rt ADC中，求出DAC的正切值即可解决问题 （2）分两种情形：当NANM时，当ANAM时，分别求解即可 30MBN利用四点共圆解决问题即可 （3）首先证明ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题 【详解】解： （1）如图一（1）中， 四边形ABCD是矩形， 90ADC， DC53 tan AD35 3 CAD， 30CAD （2）如图一（1
25、）中，当ANNM时， 90BANBMN ，BNBN，ANNM， RtRt()BNABNM HL， BABM， 在Rt ABC中，30ACBDAC ，5ABCD， 210ACAB， 60BAM ，BABM， ABM是等边三角形， 5AMAB， 5CMACAM 如图一（2）中，当ANAM时，易证15AMNANM ， 90BMN ， 75CMB ，30MCB ， 180753075CBM ， CMBCBM， 5 5CMCB ， 综上所述，满足条件的CM的值为 5 或5 3 结论：30MBN大小不变 理由：如图一（1）中， 180BANBMN ， , ,A B M N四点共圆， 30MBNMAN 如图
26、一（2）中， 90BMNBAN ， , ,A N B M四点共圆， 180MBNMAN ， 180DACMAN ， 30MBNDAC ， 综上所述，30MBN （3）如图二中， AMMC， BMAMCM， 2ACAB， ABBMAM， ABM是等边三角形， 60BAMBMA ， 90BANBMN ， 30NAMNMA ， NANM， BABM， BN垂直平分线段AM， 5 2 FM ， 5 3 cos303 FM NM ， 90NFM ，NHHM， 15 3 26 FHMN 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三 角形的判定和性质，锐角三角
27、函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 【变式【变式 3 3- -1 1】如图如图，已知正方形，已知正方形ABCD边长为边长为 2，点，点P是是AD边上的一个动点，点边上的一个动点，点A关于直线关于直线BP的对的对 称点是点称点是点Q，连结，连结PQ、DQ、CQ、BQ.设设 AP=x. （1）当）当1x 时，求时，求BP长；长； （2）如图）如图，若若PQ的延长线交的延长线交CD边于边于E，并且，并且90CQD o ，求证：，求证：CEQ为等腰三角形；为等腰三角形； （3）若点）若点P是射线是射线AD上的一个动点
28、，则当上的一个动点，则当CDQ为等腰三角形时，为等腰三角形时，求求x的值的值. 【答案】【答案】 （1）BP=5； （2）证明见解析； （3） CDQ 为等腰三角形时 x 的值为 4-23、 2 3 3 、2 3+4. 【解析】【解析】 （1）利用勾股定理求出 BP 的长即可； （2）根据对称性质及正方形的性质可得 AB=BQ=BC， A=BQP=BCE=90 ，可得BQE=90 ，由第一视角相等性质可得BCQ=BQC，根据同角或等角的 余角相等的性质可得EQC=ECQ，可得 EC=EQ，可得结论； （3）若 CDQ 为等腰三角形，则边 CD 边 为该等腰三角形的一腰或者底边又 Q 点为 A
29、点关于 PB 的对称点，则 AB=QB，以点 B 为圆心，以 AB 的 长为半径画弧，则 Q 点只能在弧 AB 上若 CD 为腰，以点 C 为圆心，以 CD 的长为半径画弧，两弧交点 即为使得 CDQ 为等腰三角形（CD 为腰）的 Q 点若 CD 为底边，则作 CD 的垂直平分线，其与弧 AC 的 交点即为使得 CDQ 为等腰三角形 （CD 为底） 的 Q 点 则如图所示共有三个 Q 点， 那么也共有 3 个 P 点 作 辅助线，利用直角三角形性质求之即可 【详解】 （1）AP=x=1，AB=2， BP= 22 ABAP = 5， （2）四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，A=BCD=9
30、0 Q 点为 A 点关于 BP 的对称点， AB=QB，A=PQB=90 ， QB=BC，BQE=BCE=90 ， BQC=BCQ， EQC+BQC=ECQ+BCQ=90 ， EQC =ECQ， EQ=EC，即 CEQ 为等腰三角形. （3）如图，以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，以点 C 为圆心，以 CD 的长为半径画弧，两弧分别交 于 Q1，Q3此时 CDQ1， CDQ3都为以 CD 为腰的等腰三角形 作 CD 的垂直平分线交弧 AC 于点 Q2，此时 CDQ2以 CD 为底的等腰三角形 讨论 Q1，如图，连接 BQ1、CQ1，作 PQ1BQ1交 AD 于 P，过点 Q1，作 E
31、FAD 于 E，交 BC 于 F， BCQ1为等边三角形，正方形 ABCD 边长为 2， FC=1，Q1F= 22 1 CQFC = 3，Q1E=2-3， 在四边形 ABPQ1中， ABQ1=30 ， APQ1=150 ， EPQ1=30 ， PEQ1为含 30 的直角三角形， PE= 3EQ1=23-3， EF 是 BC 的垂直平分线， AE= 1 2 AD=1， x=AP=AE-PE=1-(2 3-3)=4-23. 讨论 Q2，如图，连接 BQ2，AQ2，过点 Q2作 PGBQ2，交 AD 于 P，交 CD 于 G，连接 BP，过点 Q2作 EFCD 于 E，交 AB 于 F， EF 垂直
32、平分 CD， EF 垂直平分 AB， AQ2=BQ2 AB=BQ2， ABQ2为等边三角形 AF= 1 2 AE=1，FQ2= 22 AEAF = 3， 在四边形 ABQ2P 中， BAD=BQ2P=90 ，ABQ2=60 ， APQ2=120 ， EQ2G=DPG=180 -120 =60 ， EQ2=EF-FQ2=2- 3， EG= 3EQ2=23-3， DG=DE+GE=1+2 3-3=23-2， DG= 3PD，即 PD=2- 2 3 3 ， x=AP=2-PD= 2 3 3 . 对 Q3，如图作辅助线，连接 BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点 Q3作 PQ3BQ3，交 AD 的延长
33、线于 P，连接 BP，过点 Q1，作 EFAD 于 E，此时 Q3在 EF 上，记 Q3与 F 重合 BCQ1为等边三角形， BCQ3为等边三角形，BC=2， Q1Q2=2 3，Q1E=2-3， EF=2+ 3， 在四边形 ABQ3P 中 ABF=ABC+CBQ3=150 ， EPF=30 ， EP= 3EF=23+3， AE=1， x=AP=AE+PE=1+2 3+3=23+4. 综上所述： CDQ 为等腰三角形时 x 的值为 4-2 3、 2 3 3 、2 3+4. 【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含 30 角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高 的题目，可以利用尺规作图
34、的思想将满足要求的点 Q 找全另外求解各个 P 点也是勾股定理的综合应用熟 练掌握并灵活运所学知识是解题关键 【变式【变式 3 3- -2 2】（2019 河南中考模拟）如图，抛物线河南中考模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+3 交交 y 轴于点轴于点 A，交，交 x 轴于点轴于点 B（-3，0）和）和 点点 C（1，0） ，顶点为点） ，顶点为点 M （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （2）如图，点）如图，点 E 为为 x 轴上一动点，若轴上一动点，若 AME 的周长最小，请求出点的周长最小，请求出点 E 的坐标；的坐标； （3）点）点 F 为直线为直线 AB 上一个动点，点上
35、一个动点，点 P 为抛物线上一个动点，若为抛物线上一个动点，若 BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点为等腰直角三角形，请直接写出点 P 的坐标的坐标 【答案】【答案】 （1） 2 23yxx ； （2）E（- 3 7 ，0） ； （3）点 P 的坐标为（2，-5）或（1，0） 【解析】【解析】 （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3） （x-1） ，然后将点 A 的坐标代入函数解析式即可求得此抛物 线的解析式； （2）作 A 关于 x 轴的对称点 A（0，-3） ，连接 MA交 x 轴于 E，此时 AME 的周长最小，求出直线 MA 解析式即可求得 E 的坐标； （3）如图 2，先求直线
36、AB 的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点 F 的坐标为（m，m+3） ， 分三种情况进行讨论： 当PBF=90 时，由 F1Px 轴，得 P（m，-m-3） ，把点 P 的坐标代入抛物线的解析式可得结论； 当BF3P=90 时，如图 3，点 P 与 C 重合， 当BPF4=90 时，如图 3，点 P 与 C 重合， 从而得结论 【详解】 （1）当 x=0 时，y=3，即 A（0，3） ， 设抛物线的解析式为：y=a（x+3） （x-1） ， 把 A（0，3）代入得：3=-3a， a=-1， y=-（x+3） （x-1）=-x2-2x+3， 即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3； （2
37、）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， M（-1，4） ， 如图 1，作点 A（0，3）关于 x 轴的对称点 A（0，-3） ，连接 AM 交 x 轴于点 E，则点 E 就是使得 AME 的周长最小的点， 设直线 AM 的解析式为：y=kx+b， 把 A（0，-3）和 M（-1，4）代入得： 4 3 kb b ， 解得： 7 3 k b 直线 AM 的解析式为：y=-7x-3， 当 y=0 时，-7x-3=0， x=- 3 7 ， 点 E（- 3 7 ，0） ， （3）如图 2，易得直线 AB 的解析式为：y=x+3， 设点 F 的坐标为（m，m+3） ， 当PBF=90 时，过点 B
38、作 BPAB，交抛物线于点 P，此时以 BP 为直角边的等腰直角三角形有两个， 即 BPF1和 BPF2， OA=OB=3， AOB 和 AOB 是等腰直角三角形， F1BC=BF1P=45 ， F1Px 轴， P（m，-m-3） ， 把点 P 的坐标代入抛物线的解析式 y=-x2-2x+3 中得： -m-3=-m2-2m+3， 解得：m1=2，m2=-3（舍） ， P（2，-5） ； 当BF3P=90 时，如图 3， F3BP=45 ，且F3BO=45 ， 点 P 与 C 重合， 故 P（1，0） ， 当BPF4=90 时，如图 3， F4BP=45 ，且F4BO=45 ， 点 P 与 C
39、重合， 故 P（1，0） ， 综上所述，点 P 的坐标为（2，-5）或（1，0） 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识此 题综合性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用 【变式【变式 3 3- -3 3】（2019 广西中考真题）已知抛物线广西中考真题）已知抛物线 2 ymx和直线和直线yxb 都经过点都经过点2,4M ，点，点O为为 坐标原点，点坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线为抛物线上的动点，直线yxb 与与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于AB、两点两点 （1）求）求mb、的值；的值； （2）当）当PAM是以是以AM为底
40、边的等腰三角形时，求点为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；的坐标； （3）满足（）满足（2）的条件时，求）的条件时，求sinBOP的值的值 【答案】【答案】 （1）1m；2b； （2）点P的坐标为 1,1 或2,4； （3）sinBOP的值为 2 2 或 5 5 【解析】【解析】(1)根据点M的坐标，利用待定系数法可求出,m b的值； (2)由(1)可得出抛物线及直线AB的解析式， 继而可求出点A的坐标， 设点P的坐标为 2 ( ,)x x， 结合点 ,A M 的坐标可得出 22 ,PAPM的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出结论； (3)过点P作PN y 轴，垂足为点
41、N，由点P的坐标可得出,PN PO的长，再利用正弦的定义即可求出 sinBOP的值 【详解】(1)将2,4M 代入 2 ymx，得：44m， 1m； 将2,4M 代入yxb ，得：42 b， 2b； (2)由(1)得：抛物线的解析式为 2 yx=，直线AB的解析式为2yx ， 当0y 时，20x ， 解得：2x， 点A的坐标为 2,0，2OA， 设点P的坐标为 2 ( ,)x x，则 2 22242 204()4PAxxxxx， 2 22242 ()247420PMxxxxx ， PAM是以AM为底边的等腰三角形， 22 PAPM ，即 4242 447420xxxxxx， 整理，得： 2 2
42、0xx， 解得： 12 1,2xx ， 点P的坐标为 1,1或2,4； (3)过点P作PN y 轴，垂足为点N，如图所示， 当点P的坐标为 1,1 时，1PN ， 22 112PO ， 2 sin 2 PN BOP PO ； 当点P的坐标为2,4时，2PN ， 22 242 5PO ， 5 sin 5 PN BOP PO ， 满足(2)的条件时，sinBOP的值的值为 2 2 或 5 5 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的 坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定 系数法求出,m
43、b的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；(3)通过解直角三角形， 求出sinBOP的值 【考点【考点 4】动点之相似三角形问题动点之相似三角形问题 【例【例 4 4】在边长为在边长为4的正方形的正方形ABCD中，动点中，动点E以每秒以每秒1个单位长度的速度从点个单位长度的速度从点A开始沿边开始沿边AB向点向点B运运 动动,动点动点F以每秒以每秒2个单位长度的速度从点个单位长度的速度从点B开始沿边开始沿边BC向点向点C运动， 动点运动， 动点E比动点比动点F先出发先出发1秒秒,其中一其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点个动点到达终点时，另一个动点也随之
44、停止运动，设点F的运动时间为的运动时间为t秒秒. 1如图如图1，连接，连接DE, AF，若，若DEAF，求，求t的值的值 2如图如图2，连接，连接 ,EF DF，当 ，当t为何值时，为何值时，?EBFDCF 【答案】【答案】 （1）t=1;(2) 当t为 957 2 秒时，EBFDCF 【解析】【解析】 （1）利用正方形的性质及条件，得出ABFDAE，由 BF=AE，列出方程解方程即可 （2）EBFDCF，得到 EBBF DCCF ，用 t 表示出 BF、AE、FC、BE 列出方程解方程即可，最后对 t 的取值进行取舍 【详解】解： 1四边形ABCD是正方形 ,90ABADABFDAE 90ADEAED DEAF 90BAFAED BAFADE ABFDAE 由题意得，2 ,1BFt AEt 21tt 解得：1t 2若EBFDCF 则 EBBF DCCF 1,2AEtBFt 413BEtt ，4 2CFt 32 442 tt t 解得
