2020中考数学压轴题专题15 动点综合问题.doc

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1、 专题专题 1515 动点综合动点综合问题问题 【典例分析】 【考点【考点 1】动点之全等三角形问题动点之全等三角形问题 【例【例 1 1】如图,直线如图,直线 4 4 3 yx 与与x轴和轴和y轴分别交于轴分别交于,A B两点,另一条直线过点两点,另一条直线过点A和点和点(7,3)C . (1)求直线求直线AC的函数表达式的函数表达式; (2)求证求证: ABAC ; (3)若点若点P是直线是直线AC上的一个动点, 点上的一个动点, 点Q是是x轴上的一个动点, 且以轴上的一个动点, 且以 ,P Q A为顶点的三角形与 为顶点的三角形与AOB全全 等,求点等,求点Q的坐标的坐标. 【答案】【答

2、案】(1) 39 44 yx;(2) 222 ABADBD ; (3) 点Q的坐标为(7,0)或(8,0)或( 1,0) 或( 2,0) 【解析【解析】(1)在 y=- 4 3 x+4 中,令 y=0,则 0=- 4 3 x+4,求得 A(3,0) ,设直线 AC 对应的函数 关系式为 y=kx+b,解方程组即可得到结论; (2) 在直线 ABy=- 4 3 x+4 中, 得到 k1=- 4 3 , 在直线 ACy 3 4 x 9 4 中, 得到 k2= 3 4 , 由于 k1k2=-1, 即可得到结论; (3)根据勾股定理得到 AB=5,当AQP=90 时,如图 1,由全等三角形的性质得到

3、AQ=OB=4,于是得到 Q1(7,0) ,Q2(-1,0) ,当APQ=90 时,如图 2,根据全等三角形 的性质得到 AQ=AB=5,于是得到 Q3(8,0) ,Q4(-2,0) ,当PAQ=90 时,这种情况不存 在 【详解】(1)在 y=- 4 3 x+4 中, 令 y=0,则 0=- 4 3 x+4, x=3, A(3,0) , 设直线 AC 对应的函数关系式为 y=kx+b, 则: 0 3 3 7 kb kb ,解得: 3 4 9 4 k b , 直线 AC 对应的函数关系式为y 3 4 x- 9 4 . (2) 在直线 ABy=- 4 3 x+4 中, k1=- 4 3 , 在直

4、线 ACy 3 4 x 9 4 中,k2= 3 4 , k1k2=-1, ABAC; (3)在 y=- 4 3 x+4 中, 令 x=0,则 y=4, OA=3,OB=4,由勾股定理得 AB=5, 当AQP=90 时,如图 1,AOBAQP, AQ=OB=4, Q1(7,0) ,Q2(-1,0) , 当APQ=90 时,如图 2,AOBAQP, AQ=AB=5, Q3(8,0) ,Q4(-2,0) 当PAQ=90 时,这种情况不存在, 综上所述:点 Q 的坐标为: (7,0) (8,0) (-1,0) (-2,0) 【点睛】考查了一次函数综合题,待定系数法求函数的解析式,勾股定理的应用和全等三

5、角形的性质等知 识,分类讨论是解题关键,以防遗漏 【变式【变式 1 1- -1 1】)如图)如图,CABC,垂足为垂足为 C,AC=2Cm,BC=6cm,射线射线 BMBQ,垂足为垂足为 B,动点动点 P 从从 C 点出发以点出发以 1cm/s 的速的速度沿射线度沿射线 CQ 运动运动,点点 N 为射线为射线 BM 上一动点上一动点,满足满足 PN=AB,随着随着 P 点运动而运动点运动而运动,当当点点 P 运动运动 _秒时,秒时, BCA 与点与点 P、N、B 为顶点的三角形全等为顶点的三角形全等.(2 个全等三角形不重合个全等三角形不重合) 【答案】【答案】0;4;8;12 【解析】【解析

6、】此题要分两种情况:当 P 在线段 BC 上时,当 P 在 BQ 上,再分别分两种情况 ACBP 或 AC BN 进行计算即可 【详解】解:当 P 在线段 BC 上,ACBP 时, ACBPBN, AC2, BP2, CP624, 点 P 的运动时间为 4 14(秒) ; 当 P 在线段 BC 上,ACBN 时, ACBNBP, 这时 BCPN6,CP0,因此时间为 0 秒; 当 P 在 BQ 上,ACBP 时, ACBPBN, AC2, BP2, CP268, 点 P 的运动时间为 8 18(秒) ; 当 P 在 BQ 上,ACNB 时, ACBNBP, BC6, BP6, CP6612,

7、点 P 的运动时间为 12 112(秒) , 故答案为:0 或 4 或 8 或 12 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等时必须有边的参与,若有两边一角对应相 等时,角必须是两边的夹角 【考点考点 2】动点之直角三角形问题动点之直角三角形问题 【例【例 2 2】(模模型建立)型建立) (1)如图)如图 1,等腰直角三角形,等腰直角三角形ABC中,中,90ACB,CBCA,直线,直线ED经过点经过点C,过,过A作作ADED 于点于点D,过,过B作作BEED于点于点E.求证:求证:BECCDA; (模型应用)(模型应用) (2)已知直线)已知直线 1 l: 4 4 3 yx与坐

8、标轴交于点与坐标轴交于点A、B,将直线,将直线 1 l绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转45至直线至直线 2 l,如图,如图 2, 求直线求直线 2 l的函数表达式;的函数表达式; (3)如图)如图 3,长方形,长方形ABCO,O为坐标原点,点为坐标原点,点B的坐标为的坐标为8, 6,点,点A、C分别在坐标轴上,点分别在坐标轴上,点P是是 线段线段BC上的动点,点上的动点,点D是直线是直线26yx 上的动点且在第四象限上的动点且在第四象限.若若APD是以点是以点D为直角顶点的等为直角顶点的等腰腰 直角三角形,直角三角形,请请直接直接 写出点写出点D的坐标的坐标. 【答案】【答案】 (1)见解析;

9、(2)y7x21; (3)D(4,2)或( 20 3 , 22 3 ). 【解析】【解析】 (1)根据 ABC 为等腰直角三角形,ADED,BEED,可判定BECCDA; (2)过点 B 作 BCAB,交 l2于 C,过 C 作 CDy 轴于 D,根据 CBDBAO,得出 BDAO3, CDOB4,求得 C(4,7) ,最后运用待定系数法求直线 l2的函数表达式; (3)根据 APD 是以点 D 为直角顶点的等腰直角三角形,当点 D 是直线 y2x6 上的动点且在第四象 限时,分两种情况:当点 D 在矩形 AOCB 的内部时,当点 D 在矩形 AOCB 的外部时,设 D(x,2x6) , 分别

10、根据 ADEDPF,得出 AEDF,据此列出方程进行求解即可 【详解】解: (1)证明:ABC 为等腰直角三角形, CBCA,ACDBCE90 , 又ADED,BEED, DE90 ,EBCBCE90 , ACDEBC, 在 ACD 与 CBE 中, DE ACDEBC CACB , BECCDA(AAS) ; (2)如图 2,过点 B 作 BCAB,交 l2于 C,过 C 作 CDy 轴于 D, BAC45 , ABC 为等腰直角三角形, 由(1)可知: CBDBAO, BDAO,CDOB, 直线 l1:y 4 3 x4 中,若 y0,则 x3;若 x0,则 y4, A(3,0) ,B(0,

11、4) , BDAO3,CDOB4, OD437, C(4,7) , 设 l2的解析式为 ykxb,则 74 03 kb kb , 解得: 7 21 k b , l2的解析式为:y7x21; (3)D(4,2)或( 20 3 , 22 3 ) 理由:当点 D 是直线 y2x6 上的动点且在第四象限时,分两种情况: 当点 D 在矩形 AOCB 的内部时,如图,过 D 作 x 轴的平行线 EF,交直线 OA 于 E,交 BC 于 F, 设 D(x,2x6) ,则 OE2x6,AE6(2x6)122x,DFEFDE8x, 由(1)可得, ADEDPF,则 DFAE,即:122x8x, 解得 x4, 2

12、x62, D(4,2) , 此时,PFED4,CP6CB,符合题意; 当点 D 在矩形 AOCB 的外部时,如图,过 D 作 x 轴的平行线 EF,交直线 OA 于 E,交直线 BC 于 F, 设 D(x,2x6) ,则 OE2x6,AEOEOA2x662x12,DFEFDE8x, 同理可得: ADEDPF,则 AEDF,即:2x128x, 解得 x 20 3 , 2x6 22 3 , D( 20 3 , 22 3 ) , 此时,EDPF 20 3 ,AEBF 4 3 ,BPPFBF 16 3 6,符合题意, 综上所述,D 点坐标为: (4,2)或( 20 3 , 22 3 ) 【点睛】本题属

13、于一次函数综合题,主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的 性质以及全等三角形等相关知识的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,运用全等三角 形的性质进行计算,解题时注意分类思想的运用 【变式【变式 2 2- -1 1】(2019 辽宁中辽宁中考模拟)如图,已知考模拟)如图,已知二次函数二次函数 yax2+bx+4 的图象与的图象与 x 轴交于点轴交于点 A(4,0)和点和点 D(1,0),与,与 y 轴交于点轴交于点 C,过点,过点 C 作作 BC 平行于平行于 x 轴交抛物线于点 轴交抛物线于点 B,连接,连接 AC (1)求这个二次函数的表达式;求这个二次

14、函数的表达式; (2)点点 M 从点从点 O 出发以每秒出发以每秒 2 个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点 A 运动;点 运动;点 N 从点从点 B 同时出发,以每秒同时出发,以每秒 1 个单位长度个单位长度 的速度向点的速度向点 C 运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停动,过点运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停动,过点 N 作作 NQ 垂直于垂直于 BC 交交 AC 于点于点 Q,连结,连结 MQ. 求求 AQM 的面积的面积 S 与运动时间与运动时间 t 之间的函数关系式,写出自变量的取值范围;当之间的函数关系式,写出自变量的取值范围;当 t 为何值时,为何

15、值时,S 有最大有最大 值,并求出值,并求出 S 的最大值的最大值; 是否存在点是否存在点 M,使得,使得 AQM 为直角三角形?若存在,求出点为直角三角形?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由的坐标;若不存在,说明理由 【答案】【答案】(1)yx2+3x+4;(2)S=-t2+t+2;0t2;t 1 2 时,S最大值 9 4 ;存在,点 M 的坐标分别为(1, 0)和(2,0) 【解析】【解析】(1)由待定系数法将 AD 两点代入即可求解 (2)分别用 t 表示出 AM、PQ,由三角形面积公式直接写出含有 t 的二次函数关系式,由二次函数的最大值 可得答案; 分类讨论直角三角形的直

16、角顶点,然后解出 t,求得 M 坐标 【详解】(1)二次函数的图象经过 A(4,0)和点 D(1,0), 16440 40 ab ab , 解得 1 3 a b , 所以,二次函数的解析式为 yx2+3x+4 (2)延长 NQ 交 x 轴于点 P, BC 平行于 x 轴,C(0,4) B(3,4),NPOA 根据题意,经过 t 秒时,NBt,OM2t, 则 CN3t,AM42t BCAMAQ45 , QNCN3t, PQNPNQ4(1t)1+t, S AMQ= 1 2 AM PQ= 1 2 (4-2t)(1+t) t2+t+2 S=-t2+t+2=-(t- 1 2 )2+ 9 4 a10,且

17、0t2,S 有最大值 当 t 1 2 时,S最大值 9 4 存在点 M,使得 AQM 为直角三角形 设经过 t 秒时,NBt,OM2t, 则 CN3t,AM42t, BCAMAQ45 若AQM90 , 则 PQ 是等腰 Rt MQA 底边 MA 上的高 PQ 是底边 MA 的中线, PQAP 1 2 MA, 1+t 1 2 (42t), 解得,t 1 2 , M 的坐标为(1,0) 若QMA90 ,此时 QM 与 QP 重合 QMQPMA, 1+t42t, t1, 点 M 的坐标为(2,0) 所以,使得 AQM 为直角三角形的点 M 的坐标分别为(1,0)和(2,0) 【点睛】此题考查了待定系

18、数法求解析式,还考查了三角形的面积,要注意利用点的坐标的意义表示线段 的长度,从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数 【变式【变式 2 2- -2 2】如图,四边形如图,四边形 ABCD 是正方形,以是正方形,以 DC 为边向外作等边为边向外作等边 DCE,连接,连接 AE 交交 BD 于点于点 F,交,交 CD 于点于点 G,点,点 P 是线段是线段 AE 上一动点,连接上一动点,连接 DP、 、BP (1)求)求AFB 的度数;的度数; (2)在点)在点 P 从从 A 到到 E 的运动过程中,若的运动过程中,若 DP 平分平分CDE,求证:,求证:AGDPDGBD; (3

19、)已知)已知 AD6,在点,在点 P 从从 A 到到 E 的运动过程中,若的运动过程中,若 DBP 是直角三角形,请求是直角三角形,请求 DP 的长的长 【答案】【答案】(1) 60 ;(2)见解析;(3) DP=6 或 DP333 或 DP363 2 时, DBP 是直角三角形 【解析】【解析】 (1)根据正方形的性质、等边三角形的性质解答; (2)连接 AC,证明 DGPAGC,根据相似三角形的对应边的比相等证明; (3)根据正方形的性质、勾股定理分别求出 BD、OD,根据直角三角形的性质求出 DF,分BPD90 、 BDP90 两种情况,根据相似三角形的性质计算 【详解】 (1)四边形

20、ABCD 是正方形, ABDC,ADC90 , 又DCE 是等边三角形, DEDC,EDC60 , DADE,ADE150 , DAE15 , 又ADB45 , AFBDAF+ADF15 +45 60 ; (2)连接 AC, CAGCADDAG45 15 30 , DP 平分CDE, 1 30 2 GDPEDC , PDGCAG, 又DGPAGC, DGPAGC, DGDP AGAC ,即 AGDPDGAC, ACDB, AGDPDGBD; (3)连接 AC 交 BD 于点 O,则AOF90 , AD6, 0A 0D3 2 , 在 Rt AOF 中,OAF30 , 6,2 6OFAF, FD

21、3 26 , 由图可知:0 DBP45, 则 DBP 是直角三角形只有BPD90 和BDP90 两种情形: 当BPD90 时, I、若点 P 与点 A 重合,BPD90 , DPDA6; II、当点 P 在线段 AE 上时,BPD90 , 连接 OP, 1 3 2 2 OPOABD, OPAOAP30 , AOP120 , FOPAOPAOF30 , DBPOPB15 , FDP75 , 又BAFBADDAF75 , BAFPDF, 又AFBDFP, BAFPDF, DPDF ABAF ,即 3 26 62 6 DP 解得, 3 33DP ; 当BDP90 时,DFPAFB60 , DPDF

22、tanDFP3(3 26)3 63 2, 综上,DP=6 或 DP3 33 或 DP363 2 时, DBP 是直角三角形 【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性 质,掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 【考点【考点 3】动点之等腰三角形问题动点之等腰三角形问题 【例【例 3 3】(2019 湖南中考真题)如图一,在射线湖南中考真题)如图一,在射线DE的一侧以的一侧以AD为一条边作矩形为一条边作矩形ABCD, 5 3AD , 5CD , 点, 点M是线段是线段AC上一动点 (不与点上一动点 (不与点A重合) , 连

23、结重合) , 连结BM, 过点, 过点M作作BM的垂线交射的垂线交射线线DE于点于点N, 连接连接BN (1)求)求CAD的大小;的大小; (2)问题探究:动点)问题探究:动点M在运动的过程中,在运动的过程中, 是否能使是否能使AMN为等腰三角形,如果能,求出线段为等腰三角形,如果能,求出线段MC的长度;如果不能,请说明理由的长度;如果不能,请说明理由 MBN的大小是否改变?若不改变,请求出的大小是否改变?若不改变,请求出MBN的大小;若改变,请说明理由的大小;若改变,请说明理由 (3)问题解决:)问题解决: 如图二,当动点如图二,当动点M运动到运动到AC的中点时,的中点时,AM与与BN的交点

24、为的交点为F,MN的中点为的中点为H,求线段,求线段FH的长度的长度 【答案】【答案】(1)30CAD;(2) 能,CM的值为 5 或5 3; 大小不变,30MBN;(3) 5 3 6 FH . 【解析】【解析】 (1)在Rt ADC中,求出DAC的正切值即可解决问题 (2)分两种情形:当NANM时,当ANAM时,分别求解即可 30MBN利用四点共圆解决问题即可 (3)首先证明ABM是等边三角形,再证明BN垂直平分线段AM,解直角三角形即可解决问题 【详解】解: (1)如图一(1)中, 四边形ABCD是矩形, 90ADC, DC53 tan AD35 3 CAD, 30CAD (2)如图一(1

25、)中,当ANNM时, 90BANBMN ,BNBN,ANNM, RtRt()BNABNM HL, BABM, 在Rt ABC中,30ACBDAC ,5ABCD, 210ACAB, 60BAM ,BABM, ABM是等边三角形, 5AMAB, 5CMACAM 如图一(2)中,当ANAM时,易证15AMNANM , 90BMN , 75CMB ,30MCB , 180753075CBM , CMBCBM, 5 5CMCB , 综上所述,满足条件的CM的值为 5 或5 3 结论:30MBN大小不变 理由:如图一(1)中, 180BANBMN , , ,A B M N四点共圆, 30MBNMAN 如图

26、一(2)中, 90BMNBAN , , ,A N B M四点共圆, 180MBNMAN , 180DACMAN , 30MBNDAC , 综上所述,30MBN (3)如图二中, AMMC, BMAMCM, 2ACAB, ABBMAM, ABM是等边三角形, 60BAMBMA , 90BANBMN , 30NAMNMA , NANM, BABM, BN垂直平分线段AM, 5 2 FM , 5 3 cos303 FM NM , 90NFM ,NHHM, 15 3 26 FHMN 【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,等边三 角形的判定和性质,锐角三角

27、函数,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题 【变式【变式 3 3- -1 1】如图如图,已知正方形,已知正方形ABCD边长为边长为 2,点,点P是是AD边上的一个动点,点边上的一个动点,点A关于直线关于直线BP的对的对 称点是点称点是点Q,连结,连结PQ、DQ、CQ、BQ.设设 AP=x. (1)当)当1x 时,求时,求BP长;长; (2)如图)如图,若若PQ的延长线交的延长线交CD边于边于E,并且,并且90CQD o ,求证:,求证:CEQ为等腰三角形;为等腰三角形; (3)若点)若点P是射线是射线AD上的一个动点

28、,则当上的一个动点,则当CDQ为等腰三角形时,为等腰三角形时,求求x的值的值. 【答案】【答案】 (1)BP=5; (2)证明见解析; (3) CDQ 为等腰三角形时 x 的值为 4-23、 2 3 3 、2 3+4. 【解析】【解析】 (1)利用勾股定理求出 BP 的长即可; (2)根据对称性质及正方形的性质可得 AB=BQ=BC, A=BQP=BCE=90 ,可得BQE=90 ,由第一视角相等性质可得BCQ=BQC,根据同角或等角的 余角相等的性质可得EQC=ECQ,可得 EC=EQ,可得结论; (3)若 CDQ 为等腰三角形,则边 CD 边 为该等腰三角形的一腰或者底边又 Q 点为 A

29、点关于 PB 的对称点,则 AB=QB,以点 B 为圆心,以 AB 的 长为半径画弧,则 Q 点只能在弧 AB 上若 CD 为腰,以点 C 为圆心,以 CD 的长为半径画弧,两弧交点 即为使得 CDQ 为等腰三角形(CD 为腰)的 Q 点若 CD 为底边,则作 CD 的垂直平分线,其与弧 AC 的 交点即为使得 CDQ 为等腰三角形 (CD 为底) 的 Q 点 则如图所示共有三个 Q 点, 那么也共有 3 个 P 点 作 辅助线,利用直角三角形性质求之即可 【详解】 (1)AP=x=1,AB=2, BP= 22 ABAP = 5, (2)四边形 ABCD 是正方形, AB=BC,A=BCD=9

30、0 Q 点为 A 点关于 BP 的对称点, AB=QB,A=PQB=90 , QB=BC,BQE=BCE=90 , BQC=BCQ, EQC+BQC=ECQ+BCQ=90 , EQC =ECQ, EQ=EC,即 CEQ 为等腰三角形. (3)如图,以点 B 为圆心,以 AB 的长为半径画弧,以点 C 为圆心,以 CD 的长为半径画弧,两弧分别交 于 Q1,Q3此时 CDQ1, CDQ3都为以 CD 为腰的等腰三角形 作 CD 的垂直平分线交弧 AC 于点 Q2,此时 CDQ2以 CD 为底的等腰三角形 讨论 Q1,如图,连接 BQ1、CQ1,作 PQ1BQ1交 AD 于 P,过点 Q1,作 E

31、FAD 于 E,交 BC 于 F, BCQ1为等边三角形,正方形 ABCD 边长为 2, FC=1,Q1F= 22 1 CQFC = 3,Q1E=2-3, 在四边形 ABPQ1中, ABQ1=30 , APQ1=150 , EPQ1=30 , PEQ1为含 30 的直角三角形, PE= 3EQ1=23-3, EF 是 BC 的垂直平分线, AE= 1 2 AD=1, x=AP=AE-PE=1-(2 3-3)=4-23. 讨论 Q2,如图,连接 BQ2,AQ2,过点 Q2作 PGBQ2,交 AD 于 P,交 CD 于 G,连接 BP,过点 Q2作 EFCD 于 E,交 AB 于 F, EF 垂直

32、平分 CD, EF 垂直平分 AB, AQ2=BQ2 AB=BQ2, ABQ2为等边三角形 AF= 1 2 AE=1,FQ2= 22 AEAF = 3, 在四边形 ABQ2P 中, BAD=BQ2P=90 ,ABQ2=60 , APQ2=120 , EQ2G=DPG=180 -120 =60 , EQ2=EF-FQ2=2- 3, EG= 3EQ2=23-3, DG=DE+GE=1+2 3-3=23-2, DG= 3PD,即 PD=2- 2 3 3 , x=AP=2-PD= 2 3 3 . 对 Q3,如图作辅助线,连接 BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,过点 Q3作 PQ3BQ3,交 AD 的延长

33、线于 P,连接 BP,过点 Q1,作 EFAD 于 E,此时 Q3在 EF 上,记 Q3与 F 重合 BCQ1为等边三角形, BCQ3为等边三角形,BC=2, Q1Q2=2 3,Q1E=2-3, EF=2+ 3, 在四边形 ABQ3P 中 ABF=ABC+CBQ3=150 , EPF=30 , EP= 3EF=23+3, AE=1, x=AP=AE+PE=1+2 3+3=23+4. 综上所述: CDQ 为等腰三角形时 x 的值为 4-2 3、 2 3 3 、2 3+4. 【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含 30 角的直角三角形的性质,第三问是一个难度非常高 的题目,可以利用尺规作图

34、的思想将满足要求的点 Q 找全另外求解各个 P 点也是勾股定理的综合应用熟 练掌握并灵活运所学知识是解题关键 【变式【变式 3 3- -2 2】(2019 河南中考模拟)如图,抛物线河南中考模拟)如图,抛物线 y=ax2+bx+3 交交 y 轴于点轴于点 A,交,交 x 轴于点轴于点 B(-3,0)和)和 点点 C(1,0) ,顶点为点) ,顶点为点 M (1)求抛物线的解析式;)求抛物线的解析式; (2)如图,点)如图,点 E 为为 x 轴上一动点,若轴上一动点,若 AME 的周长最小,请求出点的周长最小,请求出点 E 的坐标;的坐标; (3)点)点 F 为直线为直线 AB 上一个动点,点上

35、一个动点,点 P 为抛物线上一个动点,若为抛物线上一个动点,若 BFP 为等腰直角三角形,请直接写出点为等腰直角三角形,请直接写出点 P 的坐标的坐标 【答案】【答案】 (1) 2 23yxx ; (2)E(- 3 7 ,0) ; (3)点 P 的坐标为(2,-5)或(1,0) 【解析】【解析】 (1)设抛物线的解析式为:y=a(x+3) (x-1) ,然后将点 A 的坐标代入函数解析式即可求得此抛物 线的解析式; (2)作 A 关于 x 轴的对称点 A(0,-3) ,连接 MA交 x 轴于 E,此时 AME 的周长最小,求出直线 MA 解析式即可求得 E 的坐标; (3)如图 2,先求直线

36、AB 的解析式为:y=x+3,根据解析式表示点 F 的坐标为(m,m+3) , 分三种情况进行讨论: 当PBF=90 时,由 F1Px 轴,得 P(m,-m-3) ,把点 P 的坐标代入抛物线的解析式可得结论; 当BF3P=90 时,如图 3,点 P 与 C 重合, 当BPF4=90 时,如图 3,点 P 与 C 重合, 从而得结论 【详解】 (1)当 x=0 时,y=3,即 A(0,3) , 设抛物线的解析式为:y=a(x+3) (x-1) , 把 A(0,3)代入得:3=-3a, a=-1, y=-(x+3) (x-1)=-x2-2x+3, 即抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3; (2

37、)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, M(-1,4) , 如图 1,作点 A(0,3)关于 x 轴的对称点 A(0,-3) ,连接 AM 交 x 轴于点 E,则点 E 就是使得 AME 的周长最小的点, 设直线 AM 的解析式为:y=kx+b, 把 A(0,-3)和 M(-1,4)代入得: 4 3 kb b , 解得: 7 3 k b 直线 AM 的解析式为:y=-7x-3, 当 y=0 时,-7x-3=0, x=- 3 7 , 点 E(- 3 7 ,0) , (3)如图 2,易得直线 AB 的解析式为:y=x+3, 设点 F 的坐标为(m,m+3) , 当PBF=90 时,过点 B

38、作 BPAB,交抛物线于点 P,此时以 BP 为直角边的等腰直角三角形有两个, 即 BPF1和 BPF2, OA=OB=3, AOB 和 AOB 是等腰直角三角形, F1BC=BF1P=45 , F1Px 轴, P(m,-m-3) , 把点 P 的坐标代入抛物线的解析式 y=-x2-2x+3 中得: -m-3=-m2-2m+3, 解得:m1=2,m2=-3(舍) , P(2,-5) ; 当BF3P=90 时,如图 3, F3BP=45 ,且F3BO=45 , 点 P 与 C 重合, 故 P(1,0) , 当BPF4=90 时,如图 3, F4BP=45 ,且F4BO=45 , 点 P 与 C

39、重合, 故 P(1,0) , 综上所述,点 P 的坐标为(2,-5)或(1,0) 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式,周长最短问题,等腰直角三角形的性质和判定等知识此 题综合性很强,解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用 【变式【变式 3 3- -3 3】(2019 广西中考真题)已知抛物线广西中考真题)已知抛物线 2 ymx和直线和直线yxb 都经过点都经过点2,4M ,点,点O为为 坐标原点,点坐标原点,点P为抛物线上的动点,直线为抛物线上的动点,直线yxb 与与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于AB、两点两点 (1)求)求mb、的值;的值; (2)当)当PAM是以是以AM为底

40、边的等腰三角形时,求点为底边的等腰三角形时,求点P的坐标;的坐标; (3)满足()满足(2)的条件时,求)的条件时,求sinBOP的值的值 【答案】【答案】 (1)1m;2b; (2)点P的坐标为 1,1 或2,4; (3)sinBOP的值为 2 2 或 5 5 【解析】【解析】(1)根据点M的坐标,利用待定系数法可求出,m b的值; (2)由(1)可得出抛物线及直线AB的解析式, 继而可求出点A的坐标, 设点P的坐标为 2 ( ,)x x, 结合点 ,A M 的坐标可得出 22 ,PAPM的值,再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程,解之即可得出结论; (3)过点P作PN y 轴,垂足为点

41、N,由点P的坐标可得出,PN PO的长,再利用正弦的定义即可求出 sinBOP的值 【详解】(1)将2,4M 代入 2 ymx,得:44m, 1m; 将2,4M 代入yxb ,得:42 b, 2b; (2)由(1)得:抛物线的解析式为 2 yx=,直线AB的解析式为2yx , 当0y 时,20x , 解得:2x, 点A的坐标为 2,0,2OA, 设点P的坐标为 2 ( ,)x x,则 2 22242 204()4PAxxxxx, 2 22242 ()247420PMxxxxx , PAM是以AM为底边的等腰三角形, 22 PAPM ,即 4242 447420xxxxxx, 整理,得: 2 2

42、0xx, 解得: 12 1,2xx , 点P的坐标为 1,1或2,4; (3)过点P作PN y 轴,垂足为点N,如图所示, 当点P的坐标为 1,1 时,1PN , 22 112PO , 2 sin 2 PN BOP PO ; 当点P的坐标为2,4时,2PN , 22 242 5PO , 5 sin 5 PN BOP PO , 满足(2)的条件时,sinBOP的值的值为 2 2 或 5 5 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的 坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定 系数法求出,m

43、b的值;(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质,找出关于x的方程;(3)通过解直角三角形, 求出sinBOP的值 【考点【考点 4】动点之相似三角形问题动点之相似三角形问题 【例【例 4 4】在边长为在边长为4的正方形的正方形ABCD中,动点中,动点E以每秒以每秒1个单位长度的速度从点个单位长度的速度从点A开始沿边开始沿边AB向点向点B运运 动动,动点动点F以每秒以每秒2个单位长度的速度从点个单位长度的速度从点B开始沿边开始沿边BC向点向点C运动, 动点运动, 动点E比动点比动点F先出发先出发1秒秒,其中一其中一 个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点个动点到达终点时,另一个动点也随之

44、停止运动,设点F的运动时间为的运动时间为t秒秒. 1如图如图1,连接,连接DE, AF,若,若DEAF,求,求t的值的值 2如图如图2,连接,连接 ,EF DF,当 ,当t为何值时,为何值时,?EBFDCF 【答案】【答案】 (1)t=1;(2) 当t为 957 2 秒时,EBFDCF 【解析】【解析】 (1)利用正方形的性质及条件,得出ABFDAE,由 BF=AE,列出方程解方程即可 (2)EBFDCF,得到 EBBF DCCF ,用 t 表示出 BF、AE、FC、BE 列出方程解方程即可,最后对 t 的取值进行取舍 【详解】解: 1四边形ABCD是正方形 ,90ABADABFDAE 90ADEAED DEAF 90BAFAED BAFADE ABFDAE 由题意得,2 ,1BFt AEt 21tt 解得:1t 2若EBFDCF 则 EBBF DCCF 1,2AEtBFt 413BEtt ,4 2CFt 32 442 tt t 解得

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