1、 专题专题 2121等腰三角形的存在性等腰三角形的存在性 破解策略破解策略 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图 1 所示： 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径 的圆上（不与线段AB共线） 解等腰三角形的存在性问题时， 若没有明确指出等腰三角形的底或腰， 就需要进行分类 讨论通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算 如图 2，若ABAC，过点A作ADBC，垂足为D，则BDCD，BADCAD，从而利 用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题 （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验 有时候将
2、几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好 例题讲解例题讲解 例例 1 如图，正方形ABCD的边长是 16，点E在AB边上，AE3，F是BC边上不与B，C重 合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处若CDB恰为等腰三角形，则DB 解解 16 或 45 如图 1，当CBCD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去； 如图 2，当DBCD时，DB16； 如图 3，当DBBC时，过点B作GHAD，交AB于点G，交CD于点H 显然G，H分别为AB，CD的中点 由题意可得BE13，DHBG8，所以EG5， 从而BG 22 BEEG12，BH4， 所以DB 22 BHDH45 A B 图 1 A B C
3、 D 图 2 A B C D E F B 如图 2 所示：当DBCD时，则DB16（易知点F在BC上且不与点C、B重合） 图 2 如图 3 所示：当BDBC时，过B点作GHAD，则BGE90 图 3 当BCBD时，AGDH 1 2 DC8 由AE3，AB16，得BE13 由翻折的性质，得BEBE13 EGAGAE835， BG 22 12B EEG， BHGHBG16124， DB 22 45B HDH 例例 2 如图，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果点P由点B出发沿BA方 图 1 A B C D E B (F) 向向点A匀速运动， 同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动
4、， 它们的速度均为1cm/s 连 接PQ，设运动时间为t（s）（0t4）， 解解：如图，过点P作PHAC于H， C90，ACBC， PHBC， APHABC， PH BC AP AB ， AC4cm，BC3cm， AB5cm， 3 PH 5t t PH3 3 5 t，AH 4(5) 5 t QH 9 4 5 t，PQ 222 9318 (4)(3)1825 555 tttt 在APQ中， 当AQAP，即t5t时，解得：t1 5 2 ； 当PQAQ，即 2 18 1825 5 ttt时，解得：t2 25 13 ，t35； 当PQAP，即 2 18 1825 5 tt5t时，解得：t40，t5 4
5、0 13 ； 0t4， t35，t40 不合题意，舍去， 当t为 5 2 s或 25 13 s或 40 13 s时，APQ是等腰三角形 例例 3 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的 正半轴上，OA1，OC2，点D在边OC上且OD 5 4 （1）求直线AC的解析式； （2） 在y轴上是否存在点P， 直线PD与矩形对角线AC交于点M， 使得DMC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 解解：（1）设直线AC的解析式ykxb， 又OA1，OC2， A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k 1 2 ，b1
6、直线AC的函数解析式：y 1 1 2 x （2）若DC为底边， M的横坐标为 5 2 4 2 13 8 ， 则点M的坐标为（13 8 ， 3 16 ） 直线DM解析式为：y 15 28 x P（0， 5 8 ）； 若DM为底，则CDCM 3 4 ， AMAN 3 5 4 ， N（ 3 5 4 ，1）， 可求得直线DM的解析式为y（52）x 5 4 （5+2）， P（0， 5 4 （5+2） 若CM为底，则CDDM 3 4 点M的坐标为（ 4 5 ， 3 5 ） 直线DM的解析式为y 4 3 x 5 3 ， 点P的坐标为（0， 5 3 ） 综上所述，符合条件的点P的坐标为（0， 5 8 ），（0
7、， 5 4 （5+2），（0， 5 3 ） 例例 4 已知抛物线yx 2mxn 的对称轴为x2，且与x轴只有一个交点 （1）求m，n的值； （2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位，得到新的抛物线C， 求新抛物线C的解析式； （3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在 点D，使BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 解解：（1）抛物线的对称轴为x2， m4 抛物线与x轴只有一个交点， m 24n0 从而 n4 H D O y x B P （2）原抛物线的表达式为yx 24x4（x2）2 所以抛物线
8、C的表达式为yx 21 （3）假设点D存在，设点D的坐标为（d，d 21） 如图，作DHy轴于点H， 则DH 2 d2，BH2（d22）2 若BPD是等边三角形，则有= 3 DH BH ，即d 23（d22）2， 解得d3或d 2 3 3 所以满足条件的点D存在，分别为D1（3，2），D2（3，2），D3（ 2 3 3 ， 1 3 ）， D4（ 2 3 3 ， 1 3 ） 例例 5 5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 1 2 x 23x8 与 x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C， 直线l经过原点O， 与抛物线的一个交点为D， 与抛物线的对称轴交于点E（3， 4），连结CE，若P是y轴负半
9、轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l 交于点Q试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形 E l C B x y O D A 解 由抛物线y 1 2 x 23x81 2 （x8）（x2） ， 可得点A，B，C的坐标分别为（2，0），（8，0）（0，8） 所以CE 22 (3 0)(48)5OE， Q A D O y x B C l E 所以OEC是顶角为钝角的等腰三角形，即OEC90， OPQ曲等腰三角形有三种可能： 当POPQ时，即OPQ为顶角， 显然POQCOE， 所以OPQOEC90， 由题意可知这种可能性不存在； 当OPOQ时，则OPQOQP 如图 1，过点E作PQ的平
10、行线，分别交x轴，y轴于点F，G， 则OGEOPQOQPOEG， 所以OGOE5，即点G的坐标为（0，5）， 所以直线GE的表达式为y 1 3 x5， 所以点F的坐标为（5，0） 而 OPOB OGOF ， 所以 8 515 m ，即 8 3 m ； A D O y xB C l E 当QOQP时，则QPOQOPOCE，所以CEPQ， 如图 2，设直线CE与x轴交于点H 由C，E两点的坐标可得直线CE的表达式为，y 4 3 x8 所以点H的坐标为（6，0） OCOH OPOB ， 所以 86 8m ，即 32 3 m 综上可得，当m的值为 8 3 或 32 3 时，OPQ是等腰三角形 进阶训练
11、进阶训练 1如图，在 RtABC中，ACB 90，AC6，BC8，点D以每秒 1 个单位长度的速度 由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点 D运动的时间为t，若DMN是等腰三角形，求t的值 A BC D M N 【答案】t5，6 或 36 5 时，DMN是等腰三角形 2设二次函数yx 22ax 2 2 a （a0）的图象顶点为A，与x轴的交点为B，C （1）当ABC为等边三角形时，求a的值， （2）当ABC为等腰直角三角形时，求a的值 【答案】（1）a6；（2）a2 3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），E为
12、 线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），以E为顶点作OFT45，射线ET交线段 OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OCAB抛物线y2x 2mxn 经过A，C两点 （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求证：BEFAOE； （3）当EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标 【答案】（1）y2x 2 2x2 2；（2）略；（3）点E的坐标为（1，1），（ 2，22） 【提示】（2）由BAOFEOABO45即可证； （3）分类讨论：当OEOF时， 点E与点A重合，不符合题意； 点EOEF时（如图 1），易证AFOBFE，从而BEAC2，再过点E作EH y 轴，即可求得点E（2，22）； 当FEF
13、D时（如图 2），此时BFE和OFE均为等腰直角三角形，求得点E（1，1） F C B x y O T E H E T O y x B C F E T O y x B C F 4如图，抛物线yax 26xc 与x轴交于点A（5，0），B（1，0），与y轴交于点 C，P是抛物线上的一个动点，连结PA，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，请问： APD能否为等腰三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由 【答案】APD能为等腰三角形，点P的坐标为（2，3），（1，0），（2，62 7），或（2，627） 【提示】由点A，B的坐标可得抛物线的表达式为yax 26x5从而得到 C（0，5）
14、所 以直线AC：yx5 可设点P（m，m 26m5），则 D（m，m5） APD为等腰三角形有三种情况，由ADP45或 135用代几结合解决问题 当APAD时，FAD90，得P（一 2，3）； 当APPD时，APD90，得P（1，0）； 当ADPD时，可列方程 2 525mmm， 从而m2，得P（2，627），或（2，627） 5如图，抛物线yax 22x3 与 x轴交于A，B两点，且点B 的坐标为（1，0）直线y 2 3 x 4 9 分别与x轴，y轴交于C，F 两点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点， 过点Q作y轴的平行线， 交直线CF干点 D 点 E在线段CD的延长线上，连结QE，问：以
15、QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若 存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 x y E Q O D C BA 【答案】存在，以QD为腰的等腰QDE的面积最大值为 54 13 【提示】有题意可得抛物线的解析式为yx 22x3，点 C（ 2 3 ，0），F（0， 4 9 ），从 而 tanEDQtanOFC 3 2 ， 如图， 作QGCE于点G， 设DQt， 则QG 3 13 13 t，DG 2 13 13 t， 若DQDE，则DE2DG，从而QDE的面积为S 1 2 DEQG 6 13 t 2 显然 6 13 t 23 13 26 t 2 所以当DQEQ时，S取最大值设点Q（x，x 22x3），则 tQDx 24 3 x 23 9 ，可 得t3 时，Smax 54 13 A D O y x B C P
