1、第二节第二节 数项级数敛散性判别法数项级数敛散性判别法一、正项级数及其判别法一、正项级数及其判别法二、交错级数及其敛散性二、交错级数及其敛散性三、绝对收敛于条件收敛三、绝对收敛于条件收敛第二节第二节 数项级数敛散性判别法数项级数敛散性判别法一、正项级数及其敛散性对于正项级数 ，由于 ，因此,2,1,0nun,11211nnnnnnSuSuuuuS可知数列 为单调增加数列.,21nSSS则称 为正项级数.定义 若数项级数 的一般项1nnu),2,1(0nun1nnu 定理 正项级数 收敛的充分必要条件为：它的前n 项部分和所构成的数列 有上界.nS1nnu1nnu 定理(比较判别法1)设两个正项
2、级数 与 如果满足1nnu,1nnv，),2,1(,nvunn那么(1)若 收敛,则 收敛.（大的收敛小的必收敛）1nnu1nnv(2)若 发散,则 发散.(小的发散大的必发散）1nnu1nnv证明 对于正项级数 与 ，由 则有1nnu1nnvnnvu,02121nnnnTvvvuuuS 如果 收敛,可知 有上界,从而知 有上界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知 收敛.1nnv nT1nnunS 推论 若正项级数 收敛，且存在N，当 时，有 ，则正项级数 也收敛.如果 发散,可知 无界,从而知 无界.因此，级数 也发散.1nnu nS1nnvnT说明：在比较判别法的条件中,只要从某一项起有)
3、,1,0(NNnkkvunn就可以.若正项级数 发散，且存在N，当 时，有 ，则正项级数 也发散.1nnvNn nnkvu 01nnuNn)0(kkvunn1nnu1nnv例 判定级数 的敛散性.解 (1)因为而级数 发散，由比较法知 发散.;121)1(1nn112)2(nnnn),2,1(021121nnnun121nn1121nn 因为),2,1(2112nnnunnn (2)对于正项级数112nnnn而级数 收敛，由比较法知 收敛.121nn112nnnn例 判定级数 的敛散性.12sinnn 解，),2,1(02sinnunn故 为正项级数.12sinnn若取 ，则 为等比级数且收敛
4、，nnv2112nnnnv因此，由比较判别法可知 收敛.12sinnn.22sinnnnu因当x0时，有sin x0为常数）的敛散性.pppnpnn13121111若0p1,将级数加括号有.212121131211ppp后者级数为等比级数,公比 ,级数收敛.1211pr因此，利用比较判别法可得知,当p1时，收敛.11npnpppppppp151817161514131211 项881814141414121211pppppppp综合上述有.10111时发散时收敛，当ppnnp例 判定 的敛散性.解 (1)因为而级数 收敛，由比较法知 收敛.(2)因为而级数 收敛，由比较法知 收敛.,)4)(1
5、(1)1(1nnn121)2(nnn21)4)(1(10nnnun121nn1)4)(1(1nnn2311210nnnnnun1231nn121nnn 发散 发散1r10 p级数敛散性表达式 收敛 p-级数发 散调和级数 收敛 等比级数级数名称11nn11npn1p0nnar10 r 在使用比较判别法时，需要根据待判别级数特征，选择一个比较级数，常用的比较级数为 定理(比较判别法2)设两个正项级数 与 且 若极限 则 1nnu,1nnv)0(limllvunnn),2,1(0nvn1nnu1nnv（1）当 时，级数 与 敛散性相同.l0（2）当 时，若级数 收敛，则级数 收敛.1nnu1nnv
6、0l（3）当 时，若级数 发散，则级数 发散.1nnu1nnvl 为了使用上的方便，比较判别法可以写成下面极限形式.例 判定级数 的敛散性.1211nn,1121111 22nnnnun解 所给级数的通项 112nun发散，因级数 1 11 12nnnn.11 12发散故nn11lim111lim 22nnnnnn由或由解 所给级数的通项 23nnnun由于例 判别级数 的敛散性.232nnnn,12lim2lim12lim 22332/13nnnnnnnnnnnn因为 发散，由比较法知 发散.2211nn232nnnn例 判别 的敛散性.解（1）由于 （2）由于当 时,1cos1(1)1nn
7、1311ln2(2)nnn因为 收敛，由比较法知 收敛.121nn2111cos1lim 2nnn11cos1nnnn31311ln n因为 收敛，由比较法知 收敛.nn132 1311ln2nnn 定理(比值判别法)若正项级数 后项与前项之比值的极限 ，则（1）当 时，级数收敛；（2）当 时，级数发散；（3）当 时，级数可能收敛也可能发散.1nnunnnuu1lim11 说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数的敛散性.但当 时，判别法失效.11例 判定 的敛散性.1453)2(nnnn解 (1)nnnnnnnnnuu453453limlim1
8、111,15354154153lim1nnn所以原级数收敛.,)!1(1)1(1nn（2）.101lim!)!1(limlim1nnnuunnnnn所以原级数收敛.!)!1()1(limlim111nannanuunnnnnnnn例 判定级数 敛散性.)e,0(!1aanannnn解 原级数为正项级数，其通项为，)!(nanunnnananne11lim1nnnann)1(lim当ae时，原级数收敛；当0a0),如果其收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?111)1(npnn解 记 ，则 .pnnu1|pnnnu1)1(1当p1时，收敛，111|npnnnu因此 绝对收敛.111)1(npnn发散，时，当111|10npnnnup,)1(11ppnn,01limpnn由知交错级数 发散,111)1(npnn故为条件收敛.数项级数数项级数必要条件必要条件正项级数正项级数比值判别法比值判别法比较判别法比较判别法敛散性质定义敛散性质定义级数发散级数发散交错级数交错级数任意项级数任意项级数莱氏判别法莱氏判别法判别级数类型判别级数类型绝对收敛绝对收敛判别数项级数判别数项级数敛散性的过程敛散性的过程1.若任意项级数 发散，是否 必定发散？2.若级数 发散，是否 必定发散？1nnu1|nnu 1nnu1|nnu思考题
