1、第三节第三节 可降阶的微分方程可降阶的微分方程一、一、y(n)=f(x)型的微分方程型的微分方程 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 二、三、三、型微分方程型微分方程 ),(yyfy 一、型微分方程)()(xfyn 方程特征：方程左侧为未知函数的n 阶导数 方程右侧为变量x 的函数 .)(ny)(xf 方程解法：方程两端直接依次积分 n 次.即原方程)()(xfyn 1)1(d)(Cxxfyn方程两端积分一次,得方程两端再积分一次,得21)2(d)(CCxxfyn方程两端依次积分 n 次,得含有n个任意常数的通解.第三节第三节 可降阶的微分方程可降阶的微分方程.sin2的通解求微分方程xx
2、y例，12cosd)sin2(Cxxxxxy 解次，得对所给方程依次积分三xCxxyd)cos(12，213sin31CxCxx，322142cos121CxCxCxx 3213dsin31CxCxCxxy 方程通解32214cos121CxCxCxxy 方程特征：方程左侧为未知函数的二 阶导数 方程右侧为x 与 （不含y）的函数 .y y 方程解法：方程做变换 将其化为一阶微分方程，求解一阶微分方程可得通解.过程如下：二、型微分方程),(yxfy ),(yxfpy ，),(ddpxfxp 代入原方程，得一阶微分方程.dd ,pxpypy 则（1）做变换（2）求此一阶微分方程，得通解),(1C
3、xp),(1Cxy （3）将 回代得一阶微分方程py （4）求解微分方程),(1Cxy 微分方程 两端积分，得原方程通解),(1Cxy .d),(21CxCxy.e1的通解求微分方程xxyxy例xxpxp e1解 ，代入原方程，得，则设pypy 一阶线性微分方程deee1)d()d(11Cxxpxxxxx deee1lnlnCxxxxx ，)e(de11CxCxxxx由通解公式得，)e(dd 1CxxyxxxCxxCxyxxd)e(d)e(11于是有再积分一次，得原方程的通解为2212e)1(CxCxx).2(e)1(11221CCCxCxx,1:1202 xyyxxy满足初值条件求微分方程例
4、.3 0的特解 xy.12dd2pxxxp 解得方程，代入原方程，则设,ddxpypy 此方程为可分离变量方程方程分离变量xxxppd12d2 两端积分，解得，12ln)1ln(ln Cxp 化简得)1(21xCp .)1(21xCy 将 回代得py ，代入上式，得以3 3100Cpyxx.)1(3 2xy 所以将此方程两端积分，得,3 d)1(3232Cxxxxy.1 120Cyx代入，得再以.133xxy所求特解为三、型微分方程),(yyfy 方程特征：方程左侧为未知函数的二 阶导数 方程右侧为y 与 （不含x）的函数 .y y 方程解法：方程做变换 将其化为一阶微分方程，求解一阶微分方程可得通解.过程如下：),(yyfpy ，),(ddpyfypp 代入原方程，得y 的一阶微分方程yppxyypypydddddd ,则（1）做变换（2）求此一阶微分方程，得通解),(1Cyp),(1Cyy （3）将 回代得一阶微分方程py （4）求解微分方程),(1Cyy 微分方程两端分离变量dxCydy),(1方程两端积分，得通解21),(CxCydy.02的通解求方程 yyy解,dydPpy 则),(ypy 设代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即，由0 PdydPy,1yCP 可得.12xCeCy 原方程通解为,1yCdxdy 例
