1、太太 阳阳 系系2.2.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程普宁侨中普宁侨中 郑庆宏郑庆宏尝试实验，形成概念尝试实验，形成概念 1取一条细绳；取一条细绳；2把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两点上的两点F1、F2；3用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细）把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。动看看画出的图形。F1F2M观察做图过程：观察做图过程：1绳长应当绳长应当大于大于F1、F2之间的距离。之间的距离。2由于绳长固定，所以由于绳长固定，所以 M 到到两个定点的距离和也固定。两个定点的距离和也固定。动手画：动手画：1.改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与
2、绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？1.改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？F1F2M1 1、椭圆的定义、椭圆的定义 如果设轨迹上任一点如果设轨迹上任一点M到两定点到两定点的距离和为的距离和为常数常数2a，两定点之间的距离为，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：可以用集合语言表示为：P=M|MF1|+|MF2|=2a（2a2c
3、）（1 1）平面曲线；）平面曲线；（2 2）到两定点）到两定点F F1 1，F F2 2的距离和等于定长；的距离和等于定长；（3 3）定长）定长|F|F1 1F F2 2|。反思：反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？椭圆上的点要满足怎样的几何条件？探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy(对称、对称、“简简洁洁”)xF1F2(x,y)0y设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c)（
4、问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(|,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca
5、移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(|,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在).0(12222babyaxoyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F),(yxP12222 byax12222 bxay如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？OXYF1F2M
6、(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。反反之求出之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。的值可写出椭圆的标准方程。（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点的分母哪
7、一个大，则焦点就就在在哪一哪一个轴上。个轴上。并且哪个大哪个就是并且哪个大哪个就是a2。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上。分母哪个大，焦点就在哪个轴上。222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹。）的点的轨迹。12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识！再认识！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2
8、PO22221.153xy，则a ，b ；22222.146xy，则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 37 169.322yx6 147.422yx2快速练习：快速练习：1.判定下列椭圆的判定下列椭圆的焦点在那条轴上焦点在那条轴上?并指出焦点坐并指出焦点坐标。标。11625)1(22yx答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）1169144)2(22yx答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：哪个分母大哪个分母大,焦点就在哪条轴上焦点就在哪条轴上,大的分母就是大的分母就是a2.
9、变式一变式一:将将上题上题焦点改为焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？结果如何？192522xy将将上题上题改为改为两个焦点的距离为两个焦点的距离为8 8，椭圆上一点椭圆上一点P P到两到两焦点的距离和等于焦点的距离和等于1010，结果如何？，结果如何？192522yx192522xy已知两个焦点的坐标分别是已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点，椭圆上一点P到到两焦点距离的和等于两焦点距离的和等于10；2212 59xy2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在当焦点在X X轴时，方程为：轴时，方程为：当焦点在当焦点在Y Y轴时
10、，方程为：轴时，方程为：分组练习：分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距求椭圆的焦点坐标与焦距1615)1(22yx答：焦点（答：焦点（-3，0）（）（3，0）焦距焦距 2c=6116925)2(22yx答：焦点（答：焦点（0，-12）（）（0，12）焦距焦距 2c=24例例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。的和。14)1(22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：椭圆方程具有形式12222byax其中1,2ba因此31422bac两焦点坐标为)0,3(),0,3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42 a116
11、25)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?两个焦点分别是 (-2，0)，(2，0)，且过点P1F2F),62,3(例例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一:c=2法二:c=2 设椭圆标准方程为:12222byax2a=P +P 2F1F写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方
12、程 两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（0，-2）和（）和（0，2），并且经），并且经 过点过点P解解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为 )0(12222babxay c=2，且 c2=a2-b2 4=a2-b2 又又椭圆经过点椭圆经过点P2523，1)()(22232225ba联立可求得：联立可求得：6,1022ba椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 161022xy(法一法一)xyF1F2P2523，(法二法二)因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的轴上，所以设它的 标准方程为标准方程为 由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，.6410,2
13、.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay 求椭圆的标准方程的步骤：求椭圆的标准方程的步骤：（1 1）首先要判断焦点位置，设出标准方程）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先（先定位）（2 2）根据椭圆定义或待定系数法求）根据椭圆定义或待定系数法求a a,b b （后（后定量）1.求适合下列条件的椭圆方程1.a a4 4，b b3 3，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；2.b=1，焦点在y轴上15c3 3、若椭圆满足、若椭圆满足:a:a5,c5,c3,
14、3,求它的标准方程。求它的标准方程。,10|21 PFPF如图:求满足下列条件的椭圆方程解：椭圆具有标准方程12222byax其中102,82ac因此91625222cab,5,4ac所求方程为192522yx例3.求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程8|21FF 如图如图,在圆在圆 上任取一上任取一点点P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为为垂足当点垂足当点P在圆上运动时在圆上运动时,线段线段PD的的中点中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？224xyyxo解：设所得曲线上任一点的坐标为解：设所得曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆圆 上的对应点的坐标为（上的对应点的
15、坐标为（x，y），），由题意可得：由题意可得：224xy2xxyy 因为因为即即 为所求轨迹方程为所求轨迹方程所以所以224xy2244xy2214xy如图如图,设点，的坐标分设点，的坐标分别为别为(-5,0)，(5,0)直线直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程，求点的轨迹方程49xyOABM解：设点的坐标为解：设点的坐标为(x,y),因为点的坐标为因为点的坐标为(-5,0),所以，直线所以，直线AM的斜率的斜率(5);5AMykxx 同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率4(5)559yyxxx 由已知有由已知有221(5).100259xyx
16、 化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为(5);5BMykxx练习练习3 3.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .22xy+=14m(0,4)变变1 1：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值的取值范围是范围是 .2 22 2x xy y+=1 1m m-1 13 3-m m(1,2)求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识，求简意识。求简意识。12222byax0 12222babxay2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上。分母哪个大，焦点就在哪个轴上。222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹。）的点的轨迹。12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO
