1、第五节 空间直角坐标系基础知识梳理1空间直角坐标系空间直角坐标系(1)为了确定空间点的位置，我们建为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐立空间直角坐基础知识梳理标系：以单位正方体为载体，以标系：以单位正方体为载体，以O为原点，为原点，分别以射线分别以射线OA，OC，OD的方向为正方的方向为正方向，以线段向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，的长为单位长，建立三条数轴：建立三条数轴：x轴，轴，y轴，轴，z轴，如图轴，如图这时我们说建立了一个这时我们说建立了一个 ，其中点其中点O叫叫 ，x轴，轴，y轴，轴，z轴轴叫叫 空间直角坐标系空间直角坐标系坐标原点坐标原点坐标轴坐标轴(2)通过每两个坐标
2、轴的平面叫通过每两个坐标轴的平面叫 ，分别称为分别称为xOy平面，平面，yOz平面，平面，xOz平面平面坐标坐标平面平面基础知识梳理2空间点的坐标空间点的坐标过点过点P作一个平面平行于平面作一个平面平行于平面yOz(这样构造这样构造的平面同样垂直于的平面同样垂直于x轴轴)，这个平面与，这个平面与x轴的交点记轴的交点记为为Px，它在，它在x轴上的坐标为轴上的坐标为x，这个数，这个数x叫做点叫做点P的的 ；过点；过点P作一个平面平行于平面作一个平面平行于平面xOz(这这样构造的平面同样垂直于样构造的平面同样垂直于y轴轴)，这个平面与，这个平面与y轴的轴的交点记作交点记作Py，它在，它在y轴上的坐标
3、为轴上的坐标为y，这个数，这个数y就叫就叫点点P的的 ；过点；过点P作一个平面平行于坐标平作一个平面平行于坐标平面面xOy(这样构造的平面同样垂直于这样构造的平面同样垂直于z轴轴)，这个平，这个平面与面与z轴的交点记作轴的交点记作Pz，它在，它在z轴上的坐标为轴上的坐标为z，这，这个数个数z就叫做点就叫做点P的的 横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标基础知识梳理在空间直角坐标系中，任意一点在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标该如何确定？的坐标该如何确定？【思考【思考提示】一般情况下提示】一般情况下(以以点点P不在坐标平面内为例不在坐标平面内为例)，由点，由点P先先向坐标平面向坐标平面xOy作垂
4、线，设垂足为作垂线，设垂足为M，再由点再由点M向向x轴作垂线，设垂足为轴作垂线，设垂足为N，这样可以得到三条垂线段这样可以得到三条垂线段ON、NM、MP，可再结合点，可再结合点P的横、纵、竖坐标的横、纵、竖坐标应取的符号来确定坐标应取的符号来确定坐标基础知识梳理3空间两点间的距离空间两点间的距离(1)若若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则则AB .(2)特别地，点特别地，点P(x，y，z)与原点与原点O之之间的距离为间的距离为PO .北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）三基能力强化1点点M(2，3,
5、1)关于坐标原点的关于坐标原点的对称点是对称点是_答案：答案：(2,3，1)三基能力强化2在空间直角坐标系中，若点在空间直角坐标系中，若点B是是点点A(1,2,3)在坐标平面在坐标平面yOz内的射影，则内的射影，则OB的长度为的长度为_三基能力强化3有下列叙述：有下列叙述：在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在x轴上的点的轴上的点的坐标一定可记为坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在y轴上的点的轴上的点的坐标一定可记为坐标一定可记为(0，b,0)；在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在xOy平面上平面上的点的坐标一定可记为的点的坐标一定可记为(a
6、,0，c)；在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在yOz平面上的平面上的点的坐标一定可记为点的坐标一定可记为(0，b，c)其中正确叙述的个数是其中正确叙述的个数是_答案：答案：2北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）三基能力强化4以棱长为以棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线交点的坐标为对角线交点的坐标为_北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大
7、版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）三基能力强化5在坐标平面在坐标平面xOy上，到点上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有距离相等的点有_个个答案：无数答案：无数北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练1建立空间直角坐标系时应遵循以建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性充分利用几何图形的对称性建立空间直角坐标系及求空间点的坐标建立空间直角坐标系及求空间点
8、的坐标考点一考点一北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练2求某点的坐标时，一般先找这一求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负通过它到这个坐标平面的距离加上正负号号)确定第三个坐标确定第三个坐标北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练已知四面体已知四面体PABC
9、中，中，PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，PAPB2，PC1，E为为AB的中点，试建立空间直角坐标系并写出点的中点，试建立空间直角坐标系并写出点P、A、B、C、E的坐标的坐标北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练【思路点拨】【思路点拨】PA、PB、PC两两垂直，可作坐标轴建两两垂直，可作坐标轴建系系【解】【解】以以P为原点，为原点，PA、PB、PC分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴建立如右图所示的空间直角坐建立如右图所示的空间直角坐标系，则标系，则P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)
10、，C(0,0,1)，E(1,1,0)北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练【点评】【点评】建立适当坐标系的原则建立适当坐标系的原则是让更多的点落在坐标轴上，如果给出是让更多的点落在坐标轴上，如果给出的几何体是长方体、正方体等，在建立的几何体是长方体、正方体等，在建立空间直角坐标系时，一般选取从同一顶空间直角坐标系时，一般选取从同一顶点出发的三条棱所在的直线分别作为点出发的三条棱所在的直线分别作为x轴，轴，y轴，轴，z轴，这样可以使点的坐标更简单，轴，这样可以使点的坐标更简单，便于后面的计算便于后面的计算北
11、师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练1已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BB1、B1C1、A1C1的中点，且正方体的棱长为的中点，且正方体的棱长为2.建立适当的坐标系写出点建立适当的坐标系写出点E、F、G、H的坐标的坐标 北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练解：以解：以D为坐标原点，以为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空
12、间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，如图所示，如图所示，则则A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)，所以，由中点坐标公式可所以，由中点坐标公式可得得E(2,1,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，H(1,1,2)北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）北师大版高中数学必修空间直角坐标系导学课件1（公开课课件）课堂互动讲练空间中点的对称问题，主要是关于空间中点的对称问题，主要是关于坐标轴、坐标平面、及点关于点的对称坐标轴、坐标平面、及点关于点的对称问题问题空间的对称点问题空间的对称点问题考点二考点二课堂互动讲练求点求
13、点A(1,2，1)关于关于x轴及坐标平轴及坐标平面面xOy的对称点的对称点B、C的坐标，以及的坐标，以及B、C两点间的距离两点间的距离【思路点拨】【思路点拨】先通过点先通过点A向平面向平面xOy及及x轴作垂线，然后再写坐标，由坐轴作垂线，然后再写坐标，由坐标求距离标求距离课堂互动讲练【解】【解】过过A作作AMxOy交平面于交平面于M，并延，并延长到长到C，使，使CMAM，则，则A与与C关于坐标平面关于坐标平面 xOy对称，且对称，且C(1,2,1)过过A作作ANx轴于轴于N，并延长到点，并延长到点B，使，使NBAN，则，则A与与B关于关于x轴对称，且轴对称，且B(1，2,1)课堂互动讲练A(1
14、,2，1)关于坐标平面关于坐标平面xOy对称的点对称的点C(1,2,1)；A(1,2，1)关于关于x轴对称的点轴对称的点B(1，2,1)BC 4.课堂互动讲练【点评】【点评】(1)关于哪条轴对称，对关于哪条轴对称，对应坐标不变；另两个坐标变为原来的相应坐标不变；另两个坐标变为原来的相反数；反数；(2)关于原点对称，三个坐标都变为关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数；原坐标的相反数；(3)可类比平面直角坐标系中对应情可类比平面直角坐标系中对应情况进行记忆况进行记忆课堂互动讲练2例例2条件不变，求点条件不变，求点A关于坐标平关于坐标平面面yOz的对称点；若点的对称点；若点P(3,1,2)，求
15、点，求点A关关于点于点P的对称点的坐标的对称点的坐标解：点解：点A关于坐标平面关于坐标平面yOz的对称点的对称点坐标为坐标为(1,2，1)；点点A关于点关于点P的对称点的坐标为的对称点的坐标为(5,0,5)课堂互动讲练空间中两点间距离公式类同于平面空间中两点间距离公式类同于平面坐标系中两点间距离公式，不难记忆，坐标系中两点间距离公式，不难记忆，利用公式的前提是准确找到所用点的坐利用公式的前提是准确找到所用点的坐标标空间两点间距离公式的应用空间两点间距离公式的应用考点三考点三课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分14分分)已知在空间中有三角形已知在空间中有三角形ABC，其中，其中A(
16、1，2，3)，B(1，1，1)，C(0,0，5)，求三角形，求三角形ABC的面积的面积【思路点拨】【思路点拨】利用两点间的距离利用两点间的距离公式求边长公式求边长课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】【点评】利用空间两点间的距离利用空间两点间的距离公式可以判断三角形的形状，进而求出公式可以判断三角形的形状，进而求出有三角形的面积等其关键是根据点的有三角形的面积等其关键是根据点的坐标，求出有关线段的长度，即三角形坐标，求出有关线段的长度，即三角形三条边的长度，通过边长之间的数量关三条边的长度，通过边长之间的数量关系，可以得到三角形的形状，然后再利系，可以得到三角形的形状，然后再利用三角形的面积公式进行
17、计算用三角形的面积公式进行计算课堂互动讲练3(本题满分本题满分15分分)正方形正方形ABCD，ABEF的边长都是的边长都是1，而且平面，而且平面ABCD与平与平面面ABEF互相垂直，点互相垂直，点M在在AC上移动，上移动，点点N在在BF上移动，若上移动，若CMBNa(0a )(1)求求MN的长；的长；(2)求求a为何值时，为何值时，MN的长最短的长最短 课堂互动讲练解解：面面ABCD面面ABEF，面面ABCD面面ABEFAB，ABBE，BE面面ABC.2分分AB、BC、BE两两垂两两垂直直以点以点B为原点，以为原点，以BA、BE、BC所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴和轴和z轴，建立如图所示的
18、空间直角轴，建立如图所示的空间直角坐标系坐标系.5分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)当当a 时，时，MN最短为最短为 ，此，此时，时，M、N恰为恰为AC、BF的中点的中点.15分分规律方法总结1一般地，在所给几何图形中，如一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直线，那么就果出现了三条两两垂直的直线，那么就可以利用这三条直线分别为可以利用这三条直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系2在建立空间直角坐标系时，应注在建立空间直角坐标系时，应注意点意点O的任意性，原点的任意性，原点O的选择要便于解的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值尽可能使点的坐标为正值规律方法总结随堂即时巩固课时活页训练
